近年考研数学三概率论部分题目整合及其答案

1概率论-考研题参考答案第一章随机事件与概率一．选择题：1．（95）假设事件A和B满足1)|(=ABP，则（）（A）A是必然事件．（B）0)|(=ABP．（C）BA⊃．（D）BA⊂．解：因1)()()|(==APABPABP，有)()(APABP=，0)()()(=−=−ABPAPBAP，若=−BA∅，则BA⊂．选择：（D）．注：此题有误，不能由0)(=−BAP推出=−BA∅．2．（96）设BA,为任意两个事件且BA⊂，0)(BP，则下列选项必然成立的是（）（A）)|()(BAPAP．（B）)|()(BAPAP≤．（C）)|()(BAPAP．（D）)|()(BAPAP≥．解：因BA⊂，有)()()()()()|(APBPAPBPABPBAP≥==，选择：（B）．3．（98）设CBA,,是三个相互独立的随机事件，且1)(0CP，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（）（A）BA+与C．（B）AC与C．（C）BA−与C．（D）AB与C．解：相互独立即互不影响，只有答案（B）中的两个事件AC、C都与同一事件C有关，二者相互有影响，选择：（B）．4．（00）设CBA,,三个事件两两独立，则CBA,,相互独立的充分必要条件是（）（A）A与BC独立．（B）AB与CAU独立．（C）AB与AC独立．（D）BAU与CAU独立．解：相互独立即互不影响，只有答案（A）中的两个事件A与BC互不影响，选择：（A）．5．（00）在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的．在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t，电炉就断电．以E表示事件“电炉断电”，而)4()3()2()1(TTTT≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于（）（A）})1({0tT≥．（B）})2({0tT≥．（C）})3({0tT≥．（D）})4({0tT≥．解：当0)3(tT≥时，有)3(T、)4(T两个温度值不低于0t，选择：（C）．6．（01）对于任意二事件A和B，与BBA=U不等价．．．的是（）（A）BA⊂．（B）AB⊂．（C）=BA∅．（D）=BA∅．解：显然BBA=U等价于BA⊂，也就等价于BA⊃，并且有==−BABA∅，选择：（D）．7．（03）对于任意二事件A和B，（）2（A）若≠AB∅，则BA,一定独立．（B）若≠AB∅，则BA,有可能独立．（C）若=AB∅，则BA,一定独立．（D）若=AB∅，则BA,一定不独立．解：设=AB∅，有0)(=ABP；设BA,独立，则)()()(BPAPABP=，二者之间没有推导关系．选择：（B）．8．（03）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：=1A{掷第一次出现正面}，=2A{掷第二次出现正面}，=3A{正、反面各出现一次}，=4A{正面出现两次}，则事件（）（A）321,,AAA相互独立．（B）432,,AAA相互独立．（C）321,,AAA两两独立．（D）432,,AAA两两独立．解：因=43AA∅，且显然0)(,0)(43APAP，有)()(0)(4343APAPAAP≠=，可知43,AA不独立，故（B）、（D）是错误的；又因为)(21)(21APAP==，且2142)(3==AP，而21AA表示两次都出现正面，31AA表示第一次正面第二次反面，32AA表示第一次反面第二次正面，有)()(41)(2121APAPAAP==，)()(41)(3131APAPAAP==，)()(41)(3232APAPAAP==，但321AAA是不可能事件，)()()(0)(321321APAPAPAAAP≠=，选择（C）．9．（06）设BA,为两个随机事件，且1)|(,0)(=BAPBP，则必有（）（A）)()(APBAPU．（B）)()(BPBAPU．（C）)()(APBAP=U．（D）)()(BPBAP=U．解：因1)()()|(==BPABPBAP，有)()(BPABP=，则)()()()()(APABPBPAPBAP=−+=U，选择（C）．10．（07）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为)10(pp，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（）（A）2)1(3pp−．（B）2)1(6pp−．（C）22)1(3pp−．（D）22)1(6pp−．解：第4次射击恰好第2次命中目标表示前三次射击中命中目标一次且第四次射击又命中目标，故所求概率为222113)1(3)1(pppppC−=⋅−，选择（C）．11．（09）设事件A与事件B互不相容，则（）（A）0)(=ABP．（B）)()()(BPAPABP=．（C）)(1)(BPAP−=．（D）1)(=BAPU．3解：因事件A与B互不相容，有0)(=ABP，则1)()(==BAPABPU，选择：（D）．二．填空题：1．（95）设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为．解：设A表示两件中至少有一件是不合格品，B表示两件都是不合格品，则4530)(210241416=+==CCCCnnAPA，456)()(21024====CCnnBPABPB，故2.0306)()()|(===APABPABP．填空：0.2．2．（97）设BA,是任意两个随机事件，则=++++)})()()({(BABABABAP．解：根据事件并对交的分配律，有BBAABABA=+=++))((，BBAABABA=+=++))((，则()()})()()({(PBBPBABABABAP==++++∅0)=．填空：0．3．（05）从数4,3,2,1中任取一个数，记为X，再从X,,1L中任取一个数，记为Y，则==}2{YP．解：设iA表示4,3,2,1,==iiX，B表示2=Y，有41)|(,31)|(,21)|(,0)|(4321====ABPABPABPABP，则)|()()|()()|()()|()()(}2{44332211ABPAPABPAPABPAPABPAPBPYP+++===4813414131412141041=×+×+×+×=．填空：4813．4．（12）设CBA,,是随机事件，CA,互不相容，21)(=ABP，31)(=CP，则=)|(CABP．解：因)()()|(CPCABPCABP=，且21021)()()(=−=−=ABCPABPCABP，32)(1)(=−=CPCP，则433/22/1)()()|(===CPCABPCABP，填空：43．三．解答题：1．（98）设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份．（1）求先抽到的一份是女生表的概率p；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q．解：（1）设B表示先抽到的一份是女生表，321,,AAA分别表示抽到每一个地区的报名表，则9029255311573110331)|()()|()()|()()(332211=×+×+×=++==ABPAPABPAPABPAPBPp；4（2）又设C表示后抽到的一份是男生表，有)()()()()()|(CBPBCPBCPCPBCPCBPq+===，因)|()()|()()|()()(332211ABCPAPABCPAPABCPAPBCP++=92242025531148157319710331=××+××+××=，)|()()|()()|()()(332211ACBPAPACBPAPACBPAPCBP++=90412419252031147158319610731=××+××+××=，故612090419292=+=q．2．（02）设BA,为任意二事件，其中A的概率不等于0或1，证明：)|()|(ABPABP=是事件A与B独立的充分必要条件．证：必要性：事件A与B独立，有)()()(BPAPABP=，因A的概率不等于0或1，则)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP===，)()()()()()()|(BPAPBPAPAPBAPABP===，故)|()|(ABPABP=；充分性：)|()|(ABPABP=，因)(1)()()(1)()()()|()()()|(APABPBPAPABPAPBAPABPAPABPABP−−=−−====，则)]()()[()](1)[(ABPBPAPAPABP−=−，即)()()()()()()(ABPAPAPBPAPABPABP−=−，故)()()(BPAPABP=，A与B相互独立．5第二章随机变量及其分布一．选择题：1．（95）设X的密度函数为)(xϕ，且)()(xxϕϕ=−，)(xF是X的分布函数，则对任意实数a，有（）（A）∫−=−adxxaF0)(1)(ϕ．（B）∫−=−adxxaF0)(21)(ϕ．（C）)()(aFaF=−．（D）1)(2)(−=−aFaF．解：由于)()(xxϕϕ=−，有)(1)(1)()()(aFdxxdxxdxxaFaaa−=−===−∫∫∫∞−+∞−∞−ϕϕϕ，可得（A）、（C）、（D）都是错误的；又因∫∫∫∫−=−==−+∞+∞aaadxxdxxdxxdxxaF000)(21)()()()(ϕϕϕϕ，选择：（B）．2．（95）设随机变量X与Y均服从正态分布，)5,(~),4,(~22µµNYNX，记}5{},4{21+≥=−≤=µµYPpXPp，则（）（A）对任何实数µ，都有21pp=．（B）对任何实数µ，都有21pp．（C）只对µ的个别值，才有21pp=．（D）对任何实数µ，都有21pp．解：因)4,(~2µNX，有)1(1)1()44()4(}4{1Φ−=−Φ=−−Φ=−=−≤=µµµµXFXPp，且)5,(~2µNY，有)1(1)55(1)5(1}5{2Φ−=−+Φ−=+−=+≥=µµµµYFYPp，总有21pp=成立，选择：（A）．3．（97）设X是一随机变量，2)(,)(σµ==XDXE（0,σµ常数），则对任意常数c，必有（）（A）222)()(cXEcXE−=−．（B）22)()(µ−=−XEcXE．（C）22)()(µ−−XEcXE．（D）22)()(µ−≥−XEcXE．解：因)(])([)()(2)]([)()2()(222222XDcXEXDcXcEXEXDccXXEcXE≥−+=+−+=+−=−，且22)()]([)(µ−=−=XEXEXEXD，选择：（D）．4．（98）设)(1xF与)(2xF分别为随机变量1X与2X的分布函数，为使)()()(21xbFxaFxF−=是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（）（A）52,53−==ba．（B）32,32==ba．（C）23,21=−=ba．（D）23,21−==ba．解：根据分布函数的规范性知：0)()(21=−∞=−∞FF，1)()(21=+∞=+∞FF，则0)()()(21=−∞−−∞=−∞bFaFF，babFaFF−=+∞−+∞=+∞)()()(21，要使得)(xF是某一随机变量的分布函数，必须有1)(=−=+∞baF，只有（A）满足，y−a0ax6选择：（A）．5．（99）假设随机变量X服从指数分布，则随机变量}2,min{XY=的分布函数（）（A）是连续函数．（B）至少有两个间断点．（C）是阶梯函数．（D）恰好有一个间断点．解：设0),e(~λλX，求出Y的分布函数，分段点2,0，当0y时，0}{}}2,{min{)(=≤=≤=yXPyXPyFY，当20≤y时，yyxyxYdxyXPyXPyFλλλλ−−−−=−==≤=≤=∫e1ee}{}}2,{min{)(00，当2≥y时，1}{}}2,{min{)(=Ω=≤=PyXPyFY，由于)0()(lim0)e1(lim)(lim000YYyyyYyFyFyF===−=−++→−→→λ，即)(yFY在0=y处连续，而1)(lime1)e1(lim)(lim2222=≠−=−=+−−→−−→→yFyFY