中考“勾股定理”题型归纳

页中考“勾股定理”题型归纳勾股定理是我国劳动人民智慧的结晶，是研究几何的基础和数形结合的典型代表，更是历年中考不可缺少的组成部分，为了方便同学们的学习与运用，并及时了解中考中有关勾股定理的题型，现就中考试题归纳剖析如下，供参考.一、求线段的长度例1（滨州市）如图，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为（）A.21B.15C.6D.以上答案都不对分析由于AD是高，所以可得到两个直角三角形，这样可分别利用勾股定理求得线段BD和CD.解因为AD是高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，即△ADB与△ADC都是直角三角形.因为AB＝17，AC＝10，AD＝8，所以由勾股定理，得BD＝22ABAD＝22178＝15，CD＝22ACAD＝22108＝6，所以BC＝BD+CD＝15+6＝21.故应选A.说明利用勾股定理求解有关线段的大小是中考中随时都会遇到的问题，同学们一定要掌握其运用，并避免出现错误.二、求图形的周长例2（牡丹江市）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.分析由于两直角边长分别为6m，8m，于是，可利用勾股定理求出其斜边的长，而题目只说明扩充成等腰三角形，并没有指明等腰三角形的底边和腰，所以应分情况求解.解在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理，得AB＝10，扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD应分以下三种情况：①如图1，当AB＝AD＝10时，可求CD＝CB＝6，于是，△ABD的周长为32m；②如图2，当AB＝BD＝10时，可求CD＝4，由勾股定理，得AD＝45，于是，△ABD的周长为(20+45)m；③如图3，当AB为底时，DCBA＝BD＝x，则CD＝x－6，由勾股定理，得x＝253，于是，△ABD的周长为803m.说明本题事实上也是一道运用勾股定理解决生活中的实际问题，由于题设中问题不明确，所以求解时应注意分类，以避免漏解.三、数学风车例3（安顺市）如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是＿＿＿.分析观察图乙可知，风车的外围周长是由8条线段构成，其中有4条分别相等，且有四条边的长等于6，只需用勾股定理求出另一条边即可.解依题意，由勾股定理，得图乙中最长的一条边长＝22512＝13，所以这个风车的外围周长＝4×(6+13)＝76.说明近年来中考中经常以“赵爽弦图”为背景设的试题，求解时只要能灵活运用勾股定理的知识即可.四、拼图验证勾股定理例4（新疆自治区）如图1是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.ADCBADBCADBC图1图2图3页（1）画出拼成的这个图形的示意图.（2）证明勾股定理.分析将四个全等的直角三角形拼成一个正方形，再利用面积的不变性来验证.解方法不惟一.如，（1）如图2所示.（2）证明：因为大正方形的面积表示为(a+b)2，大正方形的面积也可表示为c2+4×12ab，所以(a+b)2＝c2+4×12ab，即a2+2ab+b2＝c2+2ab，所以a2+b2c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.又如，（1）如图3所示.（2）证明：因为大正方形的面积表示为c2，又可以表示为12ab×4+(b－a)2，所以c2＝12ab×4+(b－a)2，即c2＝2ab+b2－2ab+a2，所以c2＝a2+b2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.说明为了正确求解，可联想课本和资料上的例习题，并通过动手操作即可正确求解.五、勾股树例5（达州市）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A.13B.26C.47D.94abc图3abccccbbbaaa图2cbacbacbacbacc图1的面积等于边长的平方，而其平方等于与之紧邻的两个正方形边长的平方和，同样这两个与最大正方形紧邻的正方形边长的平方又分别等于正方形A、B边长的平方和与正方形C、D边长的平方和，此时，正方形A、B、C、D的边长已知.解因为正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，所以最大正方形的面积＝32+52+22+32＝47.故应选C.说明本题中的勾股只有四个分枝，若将这四个分枝再进一步的延伸，将会得到许许多多的分枝，情况仍会和这一样，请同学们通过求解，用心去体会.六、确定最短线路例6（青岛市）如,1，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要＿＿＿cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要＿＿＿cm.分析要求最短细线的长，得先能确定最短线路，于是，可画出长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求得.若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，即相当于长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n(3+1+3+1)，同样可以用勾股定理求解.解如图2，依题意，得从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B时，最短距离为AB，此时，由勾股定理，得AB＝2268＝10，即所用细线最短为10cm.若从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，则长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1变成n(3+1+3+1)，即8n，由勾股定理，得2268n＝23664n，即所用细线最短为23664ncm，或22916ncm.说明对于从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B的最短细线不能理解为就是n个底面周长.七、方案设计BA6cm3cm1cm图1图2BA（恩施自治州）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB＝50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝PA+PB，图2是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A′，连接BA′交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2＝PA+PB.（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2＝PA+PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.分析为了便于运用勾股定理求解有关线段的长，可适当引垂线，并结合对称等几何知识即可求解.解（1）如图1中，过B作BC⊥AP，垂足为C，则由勾股定理，得PC＝22504010＝40.在Rt△PBC中，由勾股定理，得BP＝22BCPC＝224040＝402.所以S1＝402+10（km）.如图2中，过B作BC⊥AA′垂足为C，由轴对称知PA＝PA′，则A′C＝50，又BC＝40，所以由勾股定理，得BA′＝224050＝1041，所以S2＝BA′＝1041（km）.显然，S1＞S2.（2）如图2，在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA′，由轴对称知MA＝MA′，所以MB+MA＝MB+MA′＞A′B，所以S2＝BA′为最小.（3）过A作关于X轴的对称点A′，过B作关于Y轴的对称点B′，连接A′B′，交X轴BAPX图1CGYXBAQPO图3A′B′CBAPXA′图2M，交Y轴于点Q，则P，Q即为所求.过A′、B′分别作X轴、Y轴的平行线交于点G.由勾股定理，得A′B′＝2210050＝505，所以所求四边形的周长为(50+505)km.说明本题既是一道对图形的操作题，又是一道利用勾股定理进行方案设计的试题，求解时一定要注意动手动脑，发挥想象，避免错误的出现.八、阅读理解例8（龙岩市）阅读下列材料：正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形.数学老师给小明同学出了一道题目：在如图1所示正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△ABC，使AB＝AC＝5，BC＝2；小明同学的做法是：由勾股定理，得AB＝AC＝2221＝5，BC＝2211＝2，于是画出线段AB、AC、BC，从而画出格点△ABC.（1）请你参考小明同学的做法，在如图所示的正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△A′B′C′（A′点位置如图2所示），使A′B′＝A′C′＝5，B′C′＝10.（直接画出图形，不写过程）；（2）观察△ABC与△A′B′C′的形状．．，猜想∠BAC与∠B′A′C′有怎样的数量关系，并证明你的猜想.分析（1）通过阅读，我们可以在正方形网格中找到5和10的线段，由于5＝25＝2234，10＝2213，于是可以画出符合要求的三角形.（2）由所画的三角形的图形形状可以猜想∠BAC＝∠B′A′C′，此时，知道两个三角形的三边长，可以利用相似三角形去验证.CBA图1A′图2C′B′页解（1）因为A′B′＝A′C′＝2234＝5，B′C′＝2213＝10，所以画图不惟一，如，如图2所示的△A′B′C′.（2）猜想：∠BAC＝∠A′B′C′.证明：因为ABAB＝ACAC＝55，BCBC＝25＝55，即ABAB＝ACAC＝BCBC，所以△ABC∽△A′B′C′，所以∠BAC＝∠A′B′C′.说明本题是一道阅读理解题，题目的背景是正方形的网格，要求通过阅读，利用勾股定理和相似三角形求解.