2015全国卷理科数学1卷

12015年全国普通高考新课标理科数学1卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设复数z满足1+z1z=i，则|z|=（A）1（B）2（C）3（D）2（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A）32（B）32（C）12（D）12（3）设命题P：nN，2n2n，则P为（A）nN,2n2n（B）nN,2n≤2n（C）nN,2n≤2n（D）nN,2n=2n（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312（5）已知M（x0，y0）是双曲线C：2212xy上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若1MF2MF＜0，则y0的取值范围是（A）（-33，33）（B）（-36，36）（C）（223，223）（D）（233，233）（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）2A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）设D为ABC所在平面内一点3BCCD，则（）（A）1433ADABAC(B)1433ADABAC（C）4133ADABAC(D)4133ADABAC(8)函数()fx=cos()x的部分图像如图所示，则()fx的单调递减区间为(A)（）,k(b)（）,k(C)（）,k(D)（）,k（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5（B）6（C）7（D）8（10）25()xxy的展开式中，52xy的系数为（A）10（B）20（C）30（D）603（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16+20，则r=（A）1（B）2（C）4（D）812.设函数()fx=(21)xexaxa,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得0()fx0，则a的取值范围是（）A.[-，1）B.[-，）C.[，）D.[，1）二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若函数f(x)=xln（x+2ax）为奇函数，则a=（14）一个圆经过椭圆221164xy的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为。（15）若x,y满足约束条件10040xxyxy，则yx的最大值为.（16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）nS为数列{na}的前n项和.已知na＞0，2nnaa=43nS.（Ⅰ）求{na}的通项公式：（Ⅱ）设,求数列}的前n项和4（18）如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。（1）证明：平面AEC⊥平面AFC（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。5xyw21()niixx21()niiww1()()niiixxyy1()()niiiwwyy46.656.36.8289.81.61469108.8表中w1=x1,，w=181niiw（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)uv,22(,)uv，……，(,)nnuv,其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()=()niiiniiuuvvuu，=vu6（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xoy中，曲线C：y=24x与直线ykxa(a＞0)交与M,N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。（21）（本小题满分12分）已知函数f（x）=31,()ln4xaxgxx.(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线()yfx的切线；（Ⅱ）用min,mn表示m,n中的最小值，设函数()min(),()(0)hxfxgxx，讨论h（x）零点的个数.78请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于E（I）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；（Ⅱ）若3OACE，求∠ACB的大小.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线1C:x=2，圆2C：22121xy,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（I）求1C，2C的极坐标方程；（II）若直线3C的极坐标方程为4R，设2C与3C的交点为M,N,求2CMN的面积9（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数=|x+1|-2|x-a|，a0.（Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)1的解集；（Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围10参考答案1、A2、D试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.3、C试题分析：p:2,2nnNn，故选C.4、A试题分析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C=0.648，故选A.5、A6、B7、A试题分析：由题知11()33ADACCDACBCACACAB=1433ABAC，故选A.8、D11试题分析：由五点作图知，1+4253+42，解得=，=4，所以()cos()4fxx，令22,4kxkkZ，解得124k＜x＜324k，kZ，故单调减区间为（124k，324k），kZ，故选D.9、C试题分析：执行第1次，t=0.01,S=1,n=0,m=12=0.5,S=S-m=0.5,2mm=0.25,n=1,S=0.5＞t=0.01,是，循环，执行第2次，S=S-m=0.25,2mm=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，执行第3次，S=S-m=0.125,2mm=0.0625,n=3,S=0.125＞t=0.01,是，循环，执行第4次，S=S-m=0.0625,2mm=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，执行第5次，S=S-m=0.03125,2mm=0.015625,n=5,S=0.03125＞t=0.01,是，循环，执行第6次，S=S-m=0.015625,2mm=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，执行第7次，S=S-m=0.0078125,2mm=0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t=0.01,否，输出n=7，故选C.10、C试题分析：在25()xxy的5个因式中，2个取因式中2x剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y,故52xy的系数为212532CCC=30，故选C.11、B12、D试题分析：设()gx=(21)xex，yaxa，由题知存在唯一的整数0x，使得0()gx12在直线yaxa的下方.因为()(21)xgxex，所以当12x时，()gx＜0，当12x时，()gx＞0，所以当12x时，min[()]gx=12-2e，当0x时，(0)g=-1，(1)0ge，直线yaxa恒过（1,0）斜率且a，故(0)(0)1yag，且1(1)3geaa，解得32e≤a＜1，故选D.13、114、试题分析：设圆心为（a，0），则半径为4||a，则222(4||)||2aa，解得32a，故圆的方程为22325()24xy.15、试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.1316、试题分析：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sinsinBCBEEC，即oo2sin30sin75BE，解得BE=6+2，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sinsinBFBCFCBBFC，即oo2sin30sin75BF，解得BF=62，所以AB的取值范围为（62，6+2）.17、试题解析：（Ⅰ）当1n时，211112434+3aaSa，因为0na，所以1a=3，当2n时，2211nnnnaaaa=14343nnSS=4na，即111()()2()nnnnnnaaaaaa，因为0na，所以1nnaa=2，所以数列{na}是首项为3，公差为2的等差数列，所以na=21n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，nb=1111()(21)(23)22123nnnn，所以数列{nb}前n项和为12nbbb=1111111[()()()]235572123nn=11646n.18、14∴222EGFGEF，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.……6分（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以,GBGC的方向为x轴，y轴正方向，||GB为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－3，0），E(1,0,2)，F（－1,0，22），C（0，3，0），∴AE=（1，3，2），CF=（-1，-3，22）.…10分故3cos,3||||AECFAECFAECF.所以直线AE与CF所成的角的余弦值为33.……12分19、解：15∴y关于x的回归方程为100.668yx.……6分20、试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)Maa，(22,)Na，或(22,)Ma，(2,)Naa.∵12yx，故24xy在x=22a处的到数值为a，C在(22,)aa处的切线方程为(2)yaaxa，即0axya.故24xy在x=-22a处的到数值为-a，C在(22,)aa处的切线方程为(2)yaaxa，即0axya.故所求切线方程为