不定积分

第5章不定积分5.1原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数y＝f(x)出发，去求它的导数f'(x)那么，我们能不能从一个函数的导数f’(x)出发，反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢?[定义]已知f(x)是定义在某区间上的一个函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间上的任何一点x处都有F'(x)＝f(x)，那么称函数F(x)为函数f(x)在该区间上的一个原函数。例1求下列函数的一个原函数：⑴f(x)＝2x⑵f(x)＝cosx解：⑴∵(x2)'＝2x∴x2是函数2x的一个原函数⑵∵(sinx)'＝cosx∴sinx是函数cosx的一个原函数这里为什么要强调是一个原函数呢?因为一个函数的原函数不是唯一的。例如在上面的⑴中，还有(x2＋1)'＝2x，(x2－1)'＝2x所以x2、x2＋1、x2－1、x2＋C(C为任意常数)都是函数f(x)＝2x的原函数。[定理5.1]设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，C是一个任意常数，那么，⑴F(x)＋C也是f(x)在该区间I上的原函数⑵f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示为F(x)＋C证明：⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x)∴F(x)＋C也是f(x)的原函数⑵略这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那么它就有无穷多个原函数，它们都可以表示为F(x)＋C的形式。[定义5.2]函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx，其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量。求函数f(x)的不定积分就是求它的全体原函数，因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C其中C是任意常数，叫做积分常数。例2求下列不定积分⑴∫x5dx⑵∫sinxdx解：⑴∵是x5的一个原函数∴⑵∵－cosx是sinx的一个原函数∴661xCxdxx6561Cxxdxcossin二、不定积分的几何意义设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则曲线y＝F(x)称为f(x)的一条积分曲线，曲线y＝F(x)＋C表示把曲线y＝F(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲线族。例4求斜率为2x且经过点(1,0)的曲线。解：设所求曲线为y＝f(x)，则f’(x)＝2x，故y＝x2＋C，∵曲线过点(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C，解得C＝－1，因此，所求曲线为y＝x2－1。三、基本积分公式由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本求导公式反推，可得基本积分公式⑴∫dx＝x＋C⑵∫xαdx＝(α≠-1)⑶⑷⑸∫exdx＝ex＋C⑹∫sinxdx＝－cosx＋C⑺∫cosxdx＝sinx＋C⑻∫sec2xdx＝tanx＋C⑼∫csc2xdx＝－cotx＋C⑽⑾Cx111Cxdxx||ln1CaadxaxxlnCaxdxxaarcsin122Caxdxxaarctan122说明：冪函数的积分结果可以这样求，先将被积函数的指数加1，再把指数的倒数放在前面做系数。[注意]不能认为arcsinx＝－arccosx，他们之间的关系是arcsinx＝π／2－arccosxdxxx215求例Cxdxxdxxx23252321:解dxx2116求例两式都是本题的解又解CxdxxdxxCxdxxarccos)11(11arcsin11:222四、不定积分的性质⑴[∫f(x)dx]'＝f(x)该性质表明，如果函数f(x)先求不定积分再求导，所得结果仍为f(x)⑵∫F'(x)dx＝F(x)＋C该性质表明，如果函数F(x)先求导再求不定积分，所得结果与F(x)相差一个常数C⑶∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx(k为常数)该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号的前面⑷∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于这两个函数的不定积分的和或差五、基本积分公式的应用例7求∫(9x2＋8x)dx解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C例11求∫3xexdxdxxx24110求例Cxxxdxxdxxdxxxxdxxxarctan3111)1(11111:32222424解CeCeedxedxexxxxxx3ln13)3ln()3()3(3:解5.2不定积分的计算一、直接积分法对被积函数进行简单的恒等变形后直接用不定积分的性质和基本积分公式即可求出不定积分的方法称为直接积分法。运用直接积分法可以求出一些简单函数的不定积分。dxx211求例Cxxxdxxdxdxxdxxxdxx23222312)12(1:解dxxxx223)3)(1(求再如Cxxxxdxxxxdxxxxxdxxxx1||ln361)113131(3333)3)(1(:2222322解一、第一换元法(凑微分法)如果被积函数的自变量与积分变量不相同，就不能用直接积分法。例如求∫cos2xdx，被积函数的自变量是2x，积分变量是x。这时，我们可以设被积函数的自变量为u，如果能从被积式中分离出一个因子u’(x)来，那么根据∫f(u)u'(x)dx＝∫f(u)du＝F(u)＋C就可以求出不定积分。这种积分方法叫做凑微分法。[讲解例题]例2求∫2sin2xdx解：设u＝2x，则du＝2dx∫2sin2xdx＝∫sin2x·2dx＝∫sinudu＝－cosu＋C＝－cos2x＋C注意：最后结果中不能有u，一定要还原成x。解：设u＝x2＋1，则du＝2xdxdxxx42)1(3求例CxCuduudxxx323442)1(616121)1(解：设u＝x2，则du＝2xdx设u＝cosx，则du＝-sinxdxdxxex225求例CeCeduexdxedxxexuuxx22222xdxtan7求例dxxxxdxcossintan:解CxCuduudxxxxdx|cos|ln||ln1)sin(cos1tan当计算熟练后，换元的过程可以省去不写。例求∫sin3xcosxdx解：∫sin3xcosxdx＝∫sin3xd(sinx)＝sin4x＋Cdxxx1求例dxxxxdxxx]11)1[(1:解Cxxxdxxdx23252123)1(32)1(52)1()1()1()1(41二、第二换元积分法例如，求，把其中最难处理的部分换元，令则原式＝，再反解x＝u2＋1，得dx＝2udu，代入这就是第二换元积分法。dxx1111xudxu11duuduuudxx)111(212111CxxCuu|11|ln212]1ln[2(1)如果被积函数含有，可以用x＝asint换元。(2)如果被积函数含有，可以用x＝atant换元。dxxxsin求例tdtdxtxtx2,,:2则令解CxCttdttdtttdxxxcos2cos2sin22sinsin22xadxxa22116求例taxatdtadxaxttaxcos,cos,arcsin,sin:22则设解CaxCtdttatdtadxxaarcsincoscos12222xa(3)如果被积函数含有，可以用x＝asect换元。dxxa22117求例taxatdtadxtaxsec,sec,tan:222则设解CxxaCaxaxaCtttdttatdtadxxa221221222lnlntanseclnsecsecsec122axdxax22118求例taaxtdttadxtaxtan,tansec,sec:22则设解CaxxCaaxaxCtttdttatdttadxax22122122lnlntanseclnsectantansec1以下结果可以作为公式使用：⑿∫tanxdx＝ln|secx|＋C⒀∫cotdx＝－ln|cscx|＋C⒁∫secxdx＝ln|secx＋tanx|＋C⒂∫cscxdx＝－ln|cscx＋cotx|＋C⒃⒄⒅Caxaxaaxdxln2122Caxxaxdx2222lnCxaxaxadxxa222222arcsin25.3分部积分法一、分部积分公式考察函数乘积的求导法则：[u(x)·v(x)]'＝u'(x)·v(x)＋u(x)·v'(x)两边积分得u(x)·v(x)＝∫u'(x)v(x)dx＋∫u(x)v'(x)dx于是有∫u(x)·v'(x)dx＝u(x)·v(x)－∫u'(x)·v(x)dx或表示成∫u(x)dv(x)＝u(x)·v(x)－∫v(x)du(x)这一公式称为分部积分公式。二、讲解例题例1求∫xexdx解:令u(x)＝x，v'(x)＝ex则原式为∫u(x)·v'(x)dx的形式∵(ex)'＝ex∴v(x)＝ex，由分部积分公式有∫xexdx＝x·ex－∫exdx＝xex－ex＋C例2求∫xcos2xdx解：令u(x)＝x，v'(x)＝cos2x，则v(x)＝sin2x于是∫xcos2xdx＝xsin2x－∫sin2xdx＝xsin2x＋cos2x＋C2121212141有时，用分部积分法求不定积分需要连续使用几次分部积分公式才可以求出结果。例5：求∫x2e-2xdx解：令u(x)＝x2，v'(x)＝e-2x，则v(x)＝于是xe221dxexexdxexxxx)21(22122222)2121(21212222222dxexeexdxxeexxxxxxCexeexxxx2222412121由此可见：作一次分部积分后，被积函数中幂函数的次数可以降低一次。如果所得到的积分式还需要用分部积分法解，那么，可以再用分部积分公式做下去。为了简化运算过程，下面介绍:三、分部积分法的列表解法例如：求∫x2sinxdxx2sinx求导↓+↓积分2x--cosx∫x2sinxdx＝-x2cosx-∫2x(-cosx)dx[分部积分法的列表解法]例如：求∫x2sinxdxx2sinx求导↓↓积分2x-cosx∫x2sinxdx＝-x2cosx＋∫2xcosxdx＝-x2cosx＋2xsinx-∫2sinxdx求导↓２↓积分-sinx＝-x2cosx＋2xsinx＋2cosx＋C求导↓０↓积分+cosx＋－－＋＋例4：求∫xlnxdxxlnx求导↓↓积分1?这说明把lnx放在右边用分部积分法解不下去。把lnx放在左边用分部积分法解：lnxx求导↓+↓积分-x122xCxxxdxxxxxdxx4ln22ln2ln222则[一般原则]对数函数、反三角函数、幂函数应放在左边，指数函数、三角函数应放在右边。有些单独一个函数的不定积分也要用分部积分法解。例3：求∫lnxdxlnx1求导↓+↓积分-xx1=xlnx－∫dx=xlnx－x＋C例6求∫arcsinxdxarcsinx1求导↓+↓积分-x例71求导↓↓积分x211xdxax22求22ax22axx例8求∫exsin3xdx解：∫exsin3xdx＝exsin3x－3∫excos3xdx＝exsin3x－3excos3x－9∫exsin3xdx移项得∫exsin3xdx＝ex(si3nx－3cos3x)＋C5.4有理函数积分法一、有理函数的定义有理函数是指分子、分母都是多项式的分式函数，形如1