清华大学流体力学课件--量纲与相似

1™量纲分析法是用于寻求一定物理过程中相关物理量之间规律性联系的一种方法。它对于正确地分析、科学地表达物理过程是非常必要的。™两个规模不同的流动相似是进行流体力学试验时必须面对的问题。™本章在量纲分析法的基础上探讨流动的相似理论，对流体力学试验研究有重要的指导意义。第七章第七章量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论EXIT§7—1量纲分析§7—2相似理论EXIT本章小结第七章第七章量纲分析与相似理论量纲分析与相似理论§7—1量纲分析EXITD量纲、无量纲量D量纲和谐原理DΠ定理D量纲、无量纲量D量纲和谐原理DΠ定理一.量纲、无量纲量在量度物理量数值大小的标准（单位）确定之后，一个具体的物理量就对应于一个数值，有了比较意义上的大小，这是物理量的量的特征。在量度物理量数值大小的标准（单位）确定之后，一个具体的物理量就对应于一个数值，有了比较意义上的大小，这是物理量的量的特征。量纲是指物理量所包含的基本物理要素及其结合形式，表示物理量的类别，是物理量的质的特征。量纲是指物理量所包含的基本物理要素及其结合形式，表示物理量的类别，是物理量的质的特征。EXIT基本量纲具有独立性，比如与温度无关的动力学问题可选取长度L、时间T和质量M为基本量纲。基本量纲具有独立性，比如与温度无关的动力学问题可选取长度L、时间T和质量M为基本量纲。γβα,,诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出诱导量纲可由量纲公式通过基本量纲导出0,0,0==≠γβα0,0,0=≠≠γβα0,0,0≠≠≠γβαdimLTMxαβγ=如21dimLTν−=运动粘性系数11dimLTMμ−−=动力粘性系数EXIT称为量纲指数则x为几何学的量则x为运动学的量则x为动力学的量量纲基本量纲诱导量纲221∞∞−=UppCpρ无量纲（量纲为一）量无量纲（量纲为一）量相同量纲量的比值相同量纲量的比值几个有量纲量通过乘除组合而成几个有量纲量通过乘除组合而成如角度，三角函数定义：物理量的所有量纲指数为零定义：物理量的所有量纲指数为零如压力系数EXIT2正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，其各项的量纲指数都分别相同。正确反映客观物理规律的函数关系式或方程式，其各项的量纲指数都分别相同。二.量纲和谐原理任何表示客观物理规律的数学关系式，其数学形式不随单位制变换而改变形式。任何表示客观物理规律的数学关系式，其数学形式不随单位制变换而改变形式。客观物理规律必定可以通过无量纲量之间的关系式来表达。客观物理规律必定可以通过无量纲量之间的关系式来表达。EXITΠ物理过程的有量纲表达形式为f(x1,x2,…,xn)=0，其中m个物理量的量纲被选为基本量纲，余下n-m个物理量可各自与这m个物理量组合成无量纲量Π1,Π2,…,Πn-m，Π定理的结论是：物理过程的无量纲表达形式为F(Π1,Π2,…,Πn-m)=0物理过程的有量纲表达形式为f(x1,x2,…,xn)=0，其中m个物理量的量纲被选为基本量纲，余下n-m个物理量可各自与这m个物理量组合成无量纲量Π1,Π2,…,Πn-m，Π定理的结论是：物理过程的无量纲表达形式为F(Π1,Π2,…,Πn-m)=0三.Π定理物理过程涉及n个物理量，其中有m个物理量的量纲是互相独立的，选这些量纲为基本量纲，可组成n-m个无量纲量，物理过程则可由这n-m个无量纲量的关系式描述。否则就违反了量纲和谐原理。物理过程涉及n个物理量，其中有m个物理量的量纲是互相独立的，选这些量纲为基本量纲，可组成n-m个无量纲量，物理过程则可由这n-m个无量纲量的关系式描述。否则就违反了量纲和谐原理。EXIT初速为零的自由落体运动位移ss～g,tg,t选为基本量纲三个量只能组成一个无量纲量s/gt2初速为零的自由落体运动规律s/gt2=C做一次实验测得C=1/2，就不用再做类似实验（包括在月球上做实验）。做一次实验测得C=1/2，就不用再做类似实验（包括在月球上做实验）。EXIT例7-1从无量纲表达看，似乎物理过程涉及的因素减少了，其实涉及的物理量并未减少，只是这些物理量组合成了若干无量纲量相互关联。比起有量纲表达来，无量纲表达更接近于相关物理量之间规律性联系的实质，也更具普遍性。从无量纲表达看，似乎物理过程涉及的因素减少了，其实涉及的物理量并未减少，只是这些物理量组合成了若干无量纲量相互关联。比起有量纲表达来，无量纲表达更接近于相关物理量之间规律性联系的实质，也更具普遍性。应用Π定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物理量时，既不能遗漏，也不要多列。应用Π定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物理量时，既不能遗漏，也不要多列。EXITDρμvd首先确定对绕流阻力有关的物理量：根据对已有资料的分析可知，圆球绕流阻力D与流体物理性质（流体密度ρ和动力粘滞系数μ）、流动边界几何特性（圆球直径d）和流体运动特征（来流速度v）有关，共5个物理量，用函数关系式表示为：f(D,ρ,μ,d,v)=0首先确定对绕流阻力有关的物理量：根据对已有资料的分析可知，圆球绕流阻力D与流体物理性质（流体密度ρ和动力粘滞系数μ）、流动边界几何特性（圆球直径d）和流体运动特征（来流速度v）有关，共5个物理量，用函数关系式表示为：f(D,ρ,μ,d,v)=0用Π定理推求圆球绕流阻力D的表达式用Π定理推求圆球绕流阻力D的表达式1EXIT例7-2写出无量纲方程:列出n-3=5-3=2个无量纲Π数:3选取三个物理量的量纲为基本量纲：在流体物性、几何特性、运动特征三个方面各选取一个物理量，即ρ、d、v，它们的量纲是相互独立的，可选为基本量纲。2221dvDρ=Πvdρμ=Π2)(21Π=Πf4EXIT31222π84π2121Π===dvDAvDCDρρ21Π===μρνvdvdeR)(21Π=Πf无量纲方程令)(eRfCD=绕流阻力系数雷诺数圆柱绕流阻力系数与雷诺数有关，其值由实验确定。EXIT§7—2相似理论EXITD流动相似概念D相似准则D相似理论的应用D流动相似概念D相似准则D相似理论的应用本节在量纲分析基础上，先针对不可压缩流体，讨论两个规模不同的流动相似问题。流动相似问题是进行有关流体力学模型试验时必须面对的问题。本节在量纲分析基础上，先针对不可压缩流体，讨论两个规模不同的流动相似问题。流动相似问题是进行有关流体力学模型试验时必须面对的问题。一.流动相似概念流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角度相等。几何相似还应包括流场相应边界性质相同，如固体壁面，自由液面等。流场几何形状相似，相应长度成比例，相应角度相等。几何相似还应包括流场相应边界性质相同，如固体壁面，自由液面等。长度比尺mplll/=λEXIT几何相似几何相似EXIT以几何相似为前提。流体质点流过相应的位移所用时间成比例。在对应瞬时，流场速度图相似，即相应点速度大小成比例，方向相同。长度比尺mplll/=λ时间比尺mpttt/=λEXIT运动相似运动相似长度比尺mplll/=λ时间比尺mpttt/=λ在对应位置和对应瞬时，流场中各种成分的力（时变惯性力、位变惯性力、质量力、压差力和粘性力）矢量图都相似，即相应点力的大小成比例，方向相同。并且五种成分力的相似比例数也相同，即力多边形相似。在对应位置和对应瞬时，流场中各种成分的力（时变惯性力、位变惯性力、质量力、压差力和粘性力）矢量图都相似，即相应点力的大小成比例，方向相同。并且五种成分力的相似比例数也相同，即力多边形相似。作用力比尺mpFFF/=λEXIT动力相似动力相似4在两个相似流动中，对应的无量纲量是相同的。在两个相似流动中，对应的无量纲量是相同的。不可压流体的流动都受N-S方程的控制，那么怎样保证两个不同规模的流动是相似的呢？两个相似的不可压缩流体流动的无量纲解应是相等的，这意味着控制流动的无量纲方程和无量纲边界条件和初始条件应是完全一样的。不可压流体的流动都受N-S方程的控制，那么怎样保证两个不同规模的流动是相似的呢？两个相似的不可压缩流体流动的无量纲解应是相等的，这意味着控制流动的无量纲方程和无量纲边界条件和初始条件应是完全一样的。二.相似准则用流动的时间、长度、流速和压强特征量T、L、P、U,将方程的自变量和应变量无量纲化：用流动的时间、长度、流速和压强特征量T、L、P、U,将方程的自变量和应变量无量纲化：(,,)(~,~,~)xyzLxLyLz=tTt=~uu~U=pPp=~带‘～’的量成为无量纲量。带‘～’的量成为无量纲量。EXIT将无量纲变量代入连续方程0~~=⋅∇uukuuu~~~~~)~~(~~222∇+∇−−=∇⋅+LUpLPgLUtTUνρ∂∂0=⋅∇uukuuu21)(∇+∇−−=∇⋅+∂νρ∂pgtN-S方程得到无量纲方程和)~~~(~kjizyx∂∂∂∂∂∂++≡∇其中EXIT另一方面，也要将定解条件无量纲化，即给出在无量纲边界上的边界条件及在无量纲时间初值时的初始条件。接着再将无量纲N-S方程对流项前的系数归一，得到另一方面，也要将定解条件无量纲化，即给出在无量纲边界上的边界条件及在无量纲时间初值时的初始条件。接着再将无量纲N-S方程对流项前的系数归一，得到相似流动的无量纲方程和边界条件、初始条件应该完全一样，所以两个相似流动对应的必须相等。它们都是无量纲量，分别反映了时变惯性力、重力、压差力和粘性力在流动的动力平衡中相对于位变惯性力的重要性。相似流动的无量纲方程和边界条件、初始条件应该完全一样，所以两个相似流动对应的必须相等。它们都是无量纲量，分别反映了时变惯性力、重力、压差力和粘性力在流动的动力平衡中相对于位变惯性力的重要性。ukuuu~~~~~)~~(~~222∇+∇−−=∇⋅+LUpUPUgLtTULνρ∂∂LTUgLUPULU,,,22ρνEXIT根据以上四个无量纲量（有的作了取倒数、开方等改形）得到流动的相似准数：根据以上四个无量纲量（有的作了取倒数、开方等改形）得到流动的相似准数：UTStL≡¾斯特劳哈尔数UFrgL≡¾弗劳德数2PEuUρ≡¾欧拉数νULeR≡¾雷诺数它们分别是时变惯性力、重力、压差力、粘性力相似的准数。它们分别是时变惯性力、重力、压差力、粘性力相似的准数。EXIT时变惯性力位变惯性力表征UTStL≡¾斯特劳哈尔数UFrgL≡¾弗劳德数2PEuUρ≡¾欧拉数νULeR≡¾雷诺数位变惯性力重力位变惯性力粘性力位变惯性力压差力表征表征表征EXIT流动的特征量一般应取流动中容易测量到的、能显著体现流动特征，或者对流动起到重要控制作用的量。如流动的特征量一般应取流动中容易测量到的、能显著体现流动特征，或者对流动起到重要控制作用的量。如这些特征量常取在边界处，使相似准数中自然融进边界条件的相似。这些特征量常取在边界处，使相似准数中自然融进边界条件的相似。¾T取为周期性运动的周期¾U取为无穷远方来流速度¾P取为与无穷远方的压差¾L取为绕流物体的特征长度或圆管直径EXIT5不可压缩流体流动相似准则重力相似准则：保证两现象的弗劳德数相等重力相似准则：保证两现象的弗劳德数相等非恒定相似准则：保证两现象的斯特劳哈尔数相等非恒定相似准则：保证两现象的斯特劳哈尔数相等压差力相似准则：两现象欧拉数相等压差力相似准则：两现象欧拉数相等粘性相似准则：保证两现象的雷诺数相等粘性相似准则：保证两现象的雷诺数相等EXIT当作用力主要为表面张力时，流动相似还要保证韦伯数相等。韦伯数为σρ2LUWe=表面张力相似准则：表面张力相似准则：对于高速气流，当作用力主要为弹性力时，流动相似还要保证马赫数相等。马赫数为cUMa=弹性力相似准则：弹性力相似准则：EXIT韦伯数表征流动的惯性力和表面张力之比马赫数表征流动的惯性力和弹性力之比表面张力和弹性力相似准则以上准则中，雷诺准则、弗劳德准则和欧拉准则运用较为广泛。在研究气流速度很大，接近或超过音速时，则要考虑满足马赫准则。当流动规模较小，表面张力作用显著时，则要满足韦伯准则。一般模型试验中，当水流表面流速大于0.23m/s，水深大于1.5cm时，表面张力作用可忽略不计。所以，对于不可压缩流体恒定流，一般只要同时满足雷诺、弗