消元法

如果对你有帮助，请下载使用！1消元法山西省寿阳县第一中学校李建军一、内容概述消元法是指将许多关系式中的若干个元素，通过有限次地变换消去其中的某些元素，从而使问题获得解决的一种解题方法.消元法属于化归（转化）思想的范畴，是实施化归思想的重要方式和策略，广泛应用在函数与方程、不等式、数列、三角与向量、解析几何等数学问题的解决过程中。学习和掌握消元法，不但对巩固基础知识、提高解题能力有重要作用，而且有利于培养思维能力、积淀数学素养.中学阶段常用的消元法有三类：一类是直接消元。比如运算消元法、公式消元法等；第二类是间接消元。比如参数（换元）消元法等。第三类是综合消元。本专题分三讲，毎讲通过几个例题的解决，体验这类消元法在解题中的具体应用，进一步体会该方法对转化思想的完美诠释,增强解题的方向性和有效性。二、例题讲解直接消元法在高中数学解题的过程中，和谐统一是化归的大方向。所以将条件和结论中诸多不同的元，通过加减乘除等运算方式或者已有的公式直接消元，达到化简和计算的结果。请看下面的题目：例1．（必修四P）已知,2tan求cossincossin的值。如果对你有帮助，请下载使用！2解：（方法一）由同角三角函数关系得：2cossintan，所以cos2sin.所以31cos3coscoscos2coscos2cossincossin。（方法二）将式子cossincossin的分子、分母同除以cos得1tan1tan1cossin1cossincossincossin，将2tan代入可得：原式=31。评析：本题涉及三个元：tancossin、、,方法一利用同角三角函数关系将切化为弦，消去一个元，再用代入消元的方法消去另一个元，最后用约分(除法)消去第三个元，从而使问题得到解决。方法二也是利用同角三角函数关系弦化切，用除法消去一个元，再用代入消元得到结果。例2.（2017年文科课标卷Ⅲ改编）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=-1，b1=1，若335ab，求{bn}的通项公式。解：设的公差为d，的公比为q，则,.由得d+q=3.①由得②联立①和②解得（舍去），因此的通项公式评析：本题涉及到等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式的诸多基本量，从要解决的问题是bn的通项公式来分析只需求出公比q即可。所以解题的思路就是寻找诸多元之间的关系，代入整理得出关于d和q两个方程，然后通过运算消元求得q，得出结果。如果对你有帮助，请下载使用！3例3．已知函数f(x)=|2x－3|，若0＜2a＜b+1，且f(2a)=f(b+3)，则T=3a2+b的取值范围是．解：从已知条件和函数f(x)的图象可以知道两个变量a、b满足abba2133232320，解得：410a而由绝对值函数解析式可推出a与b的内在联系:3－4a=4b+3．T=3a+b中消去一个变量b得T=3a2－2a又因为0＜a＜41，所以函数的值域为(165-，0).评析：函数T是关于a、b的二元函数，消元的想法自然而然。分析已知条件不难发现f(2a)=f(b+3)的作用就是可以达到直接消元的目的，从而使问题明朗化。小结：本讲我们选了三角、数列、函数方面的三个高考题，通过分析大家已经发现消元法在分析问题中的指向性很明显，而直接消元是最基础的、最常用的一种消元方法。希望对大家有所帮助和启发。间接消元法相对于直接消元法而言，间接消元法更注重整体把握，需要借助换元或引入参数来达到消元的目的。评析：本题利用两个不同关联量之间的内在关系，巧妙利用换元后达到了消元的效果，从而使问题得到很好的解决。评析：本题通过参数换元将两元x和y统一成一元，达到消元解如果对你有帮助，请下载使用！4决问题的目的，这也是常见的一种消元方法，多见于有几何意义的二次曲线中。评析：本题涉及到的4个元，先通过双曲线a,b,c之间的关系消掉b，然后通过整体换元的方法消元，最终只剩下了一个元e，使得问题得到解决。所以整体换元在解决离心率等两元函数最值时非常重要。小结：这一讲我们通过3个例题，学习了利用换元、整体换元、引入参数的方法实现了消元的目的，顺水推舟般的使问题得到了解决，再一次感受到消元在问题转化过程中的作用。综合消元法例1.（2015广东）在等差数列na中，2576543aaaaa，则82aa。解：（方法一）设等差数列的公差为d，根据等差数列的通项公式及2576543aaaaa可得：541da。则82aa2（da41）=10（方法二）由等差数列的性质可知：56473822aaaaaaa因为2576543aaaaa，所以2555a，即55a，所以82aa10评析：大家可以看到本题无论是已知条件还是所求结果都含有多个未知元，方法一根据等差数列的通项，经过换元消元成两个基本量元，并利用整体换元求得结果；方法二根据等差数列的性质代入消元，统一到一元，大大简化了运算，使得问题得到轻松解决。可见不同的消元思路就有了不同的解题方法。评析：解析几何中的“设而不求”其实就是一种消元法.通过设辅助元，再消去辅助元或者通过辅助元建立方程，利用韦达定理整体消如果对你有帮助，请下载使用！5元从而使问题转化方法2：评析：方法一利用代入消元法消掉y，然后用基本不等式完成第二次消元，得出结果；方法二构造基本不等式一次消两元，求得最小值。可见不同的消元方法产生不同的解法，希望大家在今后的学习中注意总结，进一步体会。小结：通过本专题三讲九个例题的分析相信大家对于消元法在数学问题的转化解决过程中的重要作用有所了解了，可以说有转化的地方就应该有消元。另外其实还有一些消元的方法，比如放缩消元、裂项消元、递推消元等，因为在中学阶段不常用，所以没有涉及，有兴趣的同学可以进一步了解。三、配套练习第一讲课后练习：1.记Sn为等比数列na的前n项和，已知S2=2，S3=-6.求na的通项公式；2.在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，设B=2A，则ab的取值范围为．3.已知函数f(x)满足：f(x)+2f(-x)=x2+2x，试确定f(x)的解析式。第二讲课后练习1.已知a2+8b2≥b(a+b)对于任意a，b∈Ｒ恒成立，则求实数λ的取值范围。2.求函数y=sinx-cosx+2sinxcosx的值域。如果对你有帮助，请下载使用！63.求椭圆13422yx上一点P到直线3x+4y=12的距离最大值。第三讲课后练习1.已知2x+3y=12,且x、y均为正数，那么xy的最大值为。2.设圆222150xyx的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.3.已知x、y、z是正实数，求2222zyxyzxyt的最大值。配套练习答案第一讲参考答案：1.解：设等比数列的公比为q，由S2=2，S3=-6得：21)1(61)1(2131qqaqqa两式相比解得：221qa所以an=(-2)n2.解：由正弦定理可知:AAAAAAABabcos2sincossin2sin2sinsinsin,又因为A、B、C为锐角三角形的内角所以有2322ACAB解得46A,所以ab的范围是3,23.解：由f(x)+2f(-x)=x2+2x可知f(-x)+2f(x)=(-x)2-2x,联立两个式子消元可得：f(x)=xx2312第二讲参考答案：1.解：当b=0时显然恒成立；当b不为0时两边同除以b2，原不等式可整理为如果对你有帮助，请下载使用！708)2baba（，设bat即082tt恒成立，所以0恒成立，解得8,42.解：因为（sinx-cosx）2=1-2sinxcosx,所以不妨设sinx-cosx=t,则2sinxcosx=2-1t,(其中t22-，)所以y=12tt,所以2-1-miny,45maxy，即函数的值域为452-1-，3.设点Psin3,cos2,P到直线3x+4y=12的距离为d,由点到线的距离公式可得:512)sin(212512sin34cos6d所以P点到直线的最大距离是512212。第三讲参考答案：1.解：法1.由2x+3y=12得：1223xy，所以xy=x2(4)3x,其中0x6由二次函数的最值可知其最大值为6。法2.2解：（Ⅰ）因为||||ACAD，ACEB//，故ADCACDEBD，所以||||EDEB，故||||||||||ADEDEAEBEA.又圆A的标准方程为16)1(22yx，从而4||AD，所以4||||EBEA.由题设得)0,1(A，)0,1(B，2||AB，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：13422yx（0y）.（Ⅱ）当l与x轴不垂直时，设l的方程为)0)(1(kxky，),(11yxM，),(22yxN.由134)1(22yxxky得01248)34(2222kxkxk.则3482221kkxx，341242221kkxx.如果对你有帮助，请下载使用！8所以34)1(12||1||22212kkxxkMN.过点)0,1(B且与l垂直的直线m：)1(1xky，A到m的距离为122k，所以1344)12(42||22222kkkPQ.故四边形MPNQ的面积341112||||212kPQMNS.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为)38,12[.当l与x轴垂直时，其方程为1x，3||MN，8||PQ，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为)38,12[.3.解：法1：分子分母同除以y2得：1)()(222yzyxyzyxt,