2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷(理科)

试卷第1页，总21页2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合𝐴＝{𝑥|𝑥2−𝑥−60}，集合𝐵＝{𝑥|𝑥−10}，则(∁𝑅𝐴)∩𝐵＝（）A.(1, 3)B.(1, 3]C.[3, +∞)D.(3, +∞)2.设复数𝑧满足(𝑧+2𝑖)⋅𝑖=3−4𝑖，则复数𝑧在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑎2+𝑎8=15−𝑎5，则𝑆9等于()A.18B.36C.45D.604.已知𝑚，𝑛是两条不同的直线，𝛼，𝛽，𝛾是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A.若𝑚 // 𝛼，𝑛 // 𝛼，则𝑚 // 𝑛B.若𝛼⊥𝛾，𝛽⊥𝛾，则𝛼 // 𝛽C.若𝑚 // 𝛼，𝑛 // 𝛼，且𝑚⊂𝛽，𝑛⊂𝛽，则𝛼 // 𝛽D.若𝑚⊥𝛼，𝑛⊥𝛽，且𝛼⊥𝛽，则𝑚⊥𝑛5.(𝑥2+2)(1𝑥2−1)5的展开式的常数项是（）A.−3B.−2C.2D.36.已知𝑥1＝1𝑛12，𝑥2＝𝑒−12，𝑥3满足𝑒−𝑥3=ln𝑥3，则下列各选项正确的是（）A.𝑥1𝑥3𝑥2B.𝑥1𝑥2𝑥3C.𝑥2𝑥1𝑥3D.𝑥3𝑥1𝑥27.中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示数1∼9的一种方法．例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1∼9这9数字表示两位数的个数为（）A.13B.14C.15D.168.在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵＝3，𝐴𝐷＝4，𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝑂，过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐵𝐷，垂足为𝐸，则𝐴𝐸→⋅𝐸𝐶→=()试卷第2页，总21页A.725B.1225C.125D.144259.函数𝑓(𝑥)=(21+𝑒𝑥−1)sin𝑥图象的大致形状是()A.B.C.D.10.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.72B.60C.36D.2411.已知函数𝑓(𝑥)＝sin(2𝑥−𝜋6)，若方程𝑓(𝑥)=35的解为𝑥1，𝑥2(0𝑥1𝑥2𝜋)，则sin(𝑥1−𝑥2)＝()A.−45B.−35C.−√23D.−√3312.已知函数𝑓(𝑥)＝(𝑘+4𝑘)ln𝑥+4−𝑥2𝑥，𝑘∈[1, +∞)，曲线𝑦＝𝑓(𝑥)上总存在两点𝑀(𝑥1, 𝑦1)，𝑁(𝑥2, 𝑦2)使曲线𝑦＝𝑓(𝑥)在𝑀、𝑁两点处的切线互相平行，则𝑥1+𝑥2的取值范围为（）A.[4, +∞)B.(4, +∞)C.[165,+∞)D.(165,+∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=1，𝑎𝑛=1+𝑎1+...+𝑎𝑛−1(𝑛∈𝐍∗, 𝑛≥2)，则当𝑛≥1时，𝑎𝑛=________．试卷第3页，总21页设当𝑥＝𝜃时，函数𝑓(𝑥)＝sin𝑥+√3cos𝑥取得最大值，则tan(𝜃+𝜋4)＝________+√3．已知函数𝑓(𝑥)＝𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑎2在𝑥＝1处有极小值10，则𝑎−𝑏＝________．在三棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶中，𝑆𝐵＝𝑆𝐶＝𝐴𝐵＝𝐵𝐶＝𝐴𝐶＝2，侧面𝑆𝐵𝐶与底面𝐴𝐵𝐶垂直，则三棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶外接球的表面积是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。在锐角△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶对应的边分别是𝑎，𝑏，𝑐，且cos2𝐴+sin(3𝜋2−𝐴)+1＝0．（1）求角𝐴的大小；（2）若△𝐴𝐵𝐶的面积𝑆＝3√3，𝑏＝3．求sin𝐶的值．在等比数列{𝑎𝑛}中，公比𝑞∈(0, 1)，且满足𝑎4＝2，𝑎32+2𝑎2𝑎6+𝑎3𝑎7＝25．（1）求数列{𝑎𝑛}的通项公式；（2）设𝑏𝑛＝log2𝑎𝑛，数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，当𝑆11+𝑆22+𝑆33+⋯+𝑆𝑛𝑛取最大值时，求𝑛的值．如图，在多面体𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹中，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是边长为4√33的菱形，∠𝐵𝐶𝐷＝60∘，𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝑂，平面𝐹𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐸𝐹 // 𝐴𝐵，𝐹𝐵＝𝐹𝐶，𝐸𝐹=2√33．（1）求证：𝑂𝐸⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷；（2）若△𝐹𝐵𝐶为等边三角形，点𝑄为𝐴𝐸的中点，求二面角𝑄−𝐵𝐶−𝐴的余弦值．某种规格的矩形瓷砖(600𝑚𝑚×600𝑚𝑚)根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷砖质量𝑥(𝑘𝑔)都服从正态分布𝑁(𝜇, 𝜎2)，并把质量在(𝜇−3𝜎, 𝜇+3𝜎)之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩下的称为正品．（1）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查，求至少有1片是废品的概率；（2）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分试卷第4页，总21页别为𝑎(𝑚𝑚)、𝑏(𝑚𝑚)，则“尺寸误差”(𝑚𝑚)为|𝑎−600|+|𝑏−600|，按行业生产标准，其中“优等”、“一级”“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围分别是[0, 0.2]、(0.2, 0.5]，(0.5, 1.0]（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于1.0𝑚𝑚的瓷砖），每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元，现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片瓷砖，相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率．尺寸误差00.10.20.30.40.50.6频数103030510510（甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）(𝑖)记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为𝜉（元），求𝜉的分布列．(𝑖𝑖)由图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷砖只有“优等”、“一级”两种，求5片该规格的正品瓷砖卖出的钱数不少于36元的概率．附：若随机变量𝑍服从正态分布𝑁(𝜇, 𝜎2)，则𝑃(𝜇−3𝜎𝑍𝜇+3𝜎)≈0.9974；0.997410≈0.9743，0.84＝0.4096，0.85＝0.32768已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑎𝑥−𝑥+1−𝑎(𝑎∈𝐑)．(1)求函数𝑓(𝑥)的单调区间；(2)若存在𝑥1，使𝑓(𝑥)+𝑥1−𝑥𝑥成立，求整数𝑎的最小值．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝐶的参数方程为{𝑥=cos𝛼+√3sin𝛼,𝑦=sin𝛼−√3cos𝛼（𝛼为参数），坐标原点𝑂为极点，𝑥轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线𝑙的极坐标方程为𝜌cos(𝜃+𝜋6)=2．(1)求曲线𝐶和直线𝑙的直角坐标方程；(2)直线𝑙与𝑦轴的交点为𝑃，经过点𝑃的动直线𝑚与曲线𝐶交于𝐴，𝐵两点，证明：|𝑃𝐴|⋅|𝑃𝐵|为定值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）试卷第5页，总21页已知函数𝑓(𝑥)＝|𝑥−1|+|2𝑥+𝑚|(𝑚∈𝑅)．（1）若𝑚＝2时，解不等式𝑓(𝑥)≤3；（2）若关于𝑥的不等式𝑓(𝑥)≤|2𝑥−3|在𝑥∈[0, 1]上有解，求实数𝑚的取值范围．试卷第6页，总21页参考答案与试题解析2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先确定𝐴，再求出∁𝑅𝐴，而后可求(∁𝑅𝐴)∩𝐵．【解答】𝐴＝{𝑥|−2𝑥3}，∁𝑅𝐴＝{𝑥|𝑥≤−2或𝑥≥3}，(∁𝑅𝐴)∩𝐵＝{𝑥|𝑥≥3}＝[3, +∞)．2.【答案】B【考点】共轭复数复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数的运算法则，进行正确的计算即可．【解答】解：设复数𝑧=𝑎+𝑏𝑖，∴(𝑧+2𝑖)⋅𝑖=𝑎𝑖−(𝑏+2)=3−4𝑖⇒𝑏+2=−3，𝑎=−4；∴𝑎=−4，𝑏=−5，∴复数𝑧=−4−5𝑖，∴𝑧=−4+5𝑖，复数𝑧在复平面内对应的点位于第二象限．故选𝐵.3.【答案】C【考点】等差数列的性质【解析】由等差数列的通项公式知𝑎2+𝑎8＝15−𝑎5⇒𝑎5＝5，再由等差数列的前𝑛项和公式知𝑆9=92×2𝑎5．【解答】解：∵𝑎2+𝑎8=15−𝑎5，试卷第7页，总21页∴2𝑎5=15−𝑎5，∴𝑎5=5，∴𝑆9=92×2𝑎5=45．故选𝐶.4.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用空间中直线与平面之间的位置关系【解析】在𝐴中，𝑚与𝑛相交、平行或异面；在𝐵中，𝛼与𝛽相交或平行；在𝐶中，𝛼与𝛽相交或平行；在𝐷中，由线面垂直、面面垂直的性质定理得𝑚⊥𝑛．【解答】解：由𝑚，𝑛是两条不同的直线，𝛼，𝛽，𝛾是三个不同的平面，知：在𝐴中，若𝑚 // 𝛼，𝑛 // 𝛼，则𝑚与𝑛相交、平行或异面，故𝐴错误；在𝐵中，若𝛼⊥𝛾，𝛽⊥𝛾，则𝛼与𝛽相交或平行，故𝐵错误；在𝐶中，若𝑚 // 𝛼，𝑛 // 𝛼，且𝑚⊂𝛽，𝑛⊂𝛽，则𝛼与𝛽相交或平行，故𝐶错误；在𝐷中，若𝑚⊥𝛼，𝑛⊥𝛽，且𝛼⊥𝛽，则线面垂直、面面垂直的性质定理得𝑚⊥𝑛，故𝐷正确．故选𝐷.5.【答案】D【考点】二项式定理及相关概念【解析】(𝑥2+2)(1𝑥2−1)5的展开式的常数项是第一个因式取𝑥2，第二个因式取1𝑥2；第一个因式取2，第二个因式取(−1)5，故可得结论．【解答】第一个因式取𝑥2，第二个因式取1𝑥2，可得1×𝐶54×(−1)4=5；第一个因式取2，第二个因式取(−1)5，可得2×(−1)5＝−2∴(𝑥2+2)(1𝑥2−1)5的展开式的常数项是5+(−2)＝36.【答案】B【考点】指数函数与对数函数的关系【解析】本题可以选择0，1两个中间值采用搭桥法处理．【解答】试卷第8页，总21页依题意，因为𝑦＝ln𝑥为(0, +∞)上的增函数，所以𝑥1＝1𝑛12ln1＝0；应为𝑦＝𝑒𝑥为𝑅上的增函数，且𝑒𝑥0，所以0𝑥2＝𝑒−12，𝑒0＝1；𝑥3满足𝑒−𝑥3=ln𝑥3，所以𝑥30，所以𝑒−𝑥30，所以ln𝑥30＝ln1，又因为𝑦＝ln𝑥为(0, +∞)的增函数，所以𝑥31，综上：𝑥1𝑥2𝑥3．7.【答案】D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分析可得6根算筹可以表示的数字组合，进而分析每个组合表示的两位数个数，由加法原理分析可得答案．【解答】根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×7＝14个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×2＝4个两位数；则一共可以表示12+4＝16个两位数；8.【答案】D【考点】平面向量数量积的性