高中数学必修2空间几何体

第1页版权所有不得复制年级高一学科数学编稿老师刘聚林课程标题空间几何体一校林卉二校黄楠审核王百玲一、考点突破本讲内容在高考中主要以选择题、填空题为主，分值在5分左右，难度较低，属容易题，重点考查空间几何体的三视图和体积、表面积的计算，尤其是给定三视图求空间几何体的体积或表面积，更是近几年高考的热点。二、重难点提示重点：空间几何体的结构特征、三视图及表面积和体积的计算。难点：由三视图还原实物图，进而解决表面积或体积问题。空间几何体空间几何体的结构特征空间几何体的三视图和直观图空间几何体的表面积与体积综合应用能力提升类例1如图，在正方体1111ABCDABCD中，点P是上底面1111ABCD内一动点，则三棱锥PABC的正（主）视图与侧（左）视图的面积的比值为________。一点通：正视图反映几何体的长和高，侧视图反映几何体的宽和高。解：依题意得三棱锥P－ABC的正（主）视图与侧（左）视图分别是一个三角形，且这第2页版权所有不得复制两个三角形的底边长都等于正方体的棱长，底边上的高也都相等，因此三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积之比等于1。例2（1）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A.388πB.83C.82D.283（2）某器物的三视图如图所示，根据图中数据可知该器物的表面积为（）A.4πB.5πC.8πD.9π一点通：根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体的体积公式或表面积公式进行计算。解：（1）由几何体的三视图可知该几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是283V，故选D。（2）由三视图知该器物是一个球体与圆锥体的组合体，其表面积等于球的表面积与圆锥体的侧面积以及底面积的和，所以其表面积ππππS9111511422，故选D。综合运用类例1已知某一几何体的正（主）视图与侧（左）视图如图所示，则下列图形中，可以第3页版权所有不得复制是该几何体的俯视图的图形有（）A.①②③⑤B.②③④⑤C.①②④⑤D.①②③④一点通：由正视图和侧视图看出几何体的前面和左面的轮廓，然后再想象实物图的可能情况，最后得到俯视图。解：根据给出的正（主）视图和侧（左）视图可知，该组合体由上、中、下三个几何体组合而成，由于正（主）视图和侧（左）视图中三层均为矩形，所以这些几何体可能是一些长方体、底面为直角三角形的直三棱柱或由圆柱组合而成。而第⑤个俯视图中，有两处与已知不符，一是上层几何体的俯视图不正确，由于上层几何体的正（主）视图与侧（左）视图为两个相同的矩形，所以其俯视图中矩形的两边长应该相等；二是下层几何体的俯视图不正确，如果下层几何体的底面为俯视图所示的三角形，则在正（主）视图中底层的矩形应有一条中位线，这与已知不符，所以排除⑤，故选D。例2（1）已知一个实心铁质的几何体的正（主）视图、侧（左）视图和俯视图都是半径为3的圆，将6个这样的几何体熔铸成一个实心正方体，则该正方体的表面积为（）A.23216B.3216C.23210D.3210（2）如图①所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的简单几何体。当这个几何体如图②水平放置时，液面高度为20cm，当这个几何体如图③水平放置时，液面高度为28cm，则这个简单几何体的总高度为（）A.29cmB.30cmC.32cmD.48cm一点通：利用体积相等来解决。解：（1）由所给几何体的正（主）视图、侧（左）视图和俯视图都是半径为3的圆知该几何体为半径为3的球，这样的6个球熔铸成一个实心正方体，设其棱长为a，则6×43π×33＝a3，∴36a，3222166πaS，故选A。（2）设这个简单几何体的总高度为xcm，则由两次不同的放置方式中没有液体的部分体积相等得22(20)1(28)3xx，解得29x。因此，这个简单几何体的总高度为29cm，故选A。思维拓展类例1某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的第4页版权所有不得复制线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则ab的最大值为（）A.22B.32C.4D.52一点通：构造长方体模型，寻找a，b之间的关系，利用基本不等式来解决。解：由三视图的意义，长度为7的一条棱可视为长、宽、高分别为x、y、z的长方体的对角线，而共点的三个面的对角线分别为6、a、b，依题意7222zyx,22222222,,6xybyzaxz，∴22222142()6xyzab，从而228ab由222()2abab得：222()4abab，当且仅当ab时等号成立，故ab的最大值为4，选C。例2如图，半径为R的球O中有一内接圆柱。当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是。一点通：搞清球的半径与圆柱的底面半径和高的关系是解决本题的关键。解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为222Rr，故圆柱的侧面积为2222222222)]([2)(2222RπrRrπrRrπrRrπS侧当且仅当222=rRr，即22rR时等号成立，此时圆柱的侧面积最大为22R，则球的表面积与该圆柱的侧面积之差是222422RRR。1.在画三视图时，要想象几何体的后面、右面、下面各有一个屏幕，一组平行光线分别从前面、左面、上面垂直照射，我们画的是影子的轮廓，再验证几何体的轮廓线，看到的画实线，看不到的画虚线，并且注意务必做到长对正、高平齐、宽相等。2.根据三视图想象空间几何体，通常是根据俯视图去判断是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的结构特征，最终确定是简单几何体还是组合体。3.求几何体的表面积时，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台、球，再通过这些基本的柱、锥、台、球的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积。问题：怎样画一个组合体的三视图？答：首先明确组合体的结构特征，弄清组合体是由哪些基本几何体组成的，是采用什么第5页版权所有不得复制方式构成的。确定好表面的交线、外部可见轮廓线、内部不可见轮廓线。定好正视、俯视、侧视的方向，注意用好“长对正、高平齐、宽相等”的作图原则，便可完成三视图的绘制。（答题时间：60分钟）一、选择题1.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A.32B.16＋162C.48D.16＋3222.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为（）A.280B.292C.360D.3723.已知三棱锥的正（主）视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（）4.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）第6页版权所有不得复制5.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）①正方形②圆锥③三棱台④正四棱锥A.①②B.①③C.①④D.②④*6.如图，一个正三棱柱的侧（左）视图是边长为3的正方形，则它的外接球的表面积等于（）A.8πB.25π3C.9πD.28π3二、填空题7.如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为________。8.一个几何体的三视图如图所示，已知正（主）视图是底边长为1的平行四边形，侧（左）视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形，则该几何体的体积V是________。第7页版权所有不得复制9.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________。10.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是____________。*11.下图是长和宽分别相等的两个矩形。给定三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图。其中真命题的序号是________（写出全部正确命题的序号）三、解答题12.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形。86（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S。13.有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比。第8页版权所有不得复制一、选择题1.B2.C3.B4.B5.D6.B提示：结合直观图和侧（左）视图可知该正三棱柱的底面正三角形的高为3，正三棱柱的高为3，正三棱柱的外接球的球心位于上下底面正三角形中心连线的中点上，连接球心和底面三角形的顶点及底面三角形的中心，根据勾股定理可得外接球的半径53=6R，所以正三棱柱外接球的表面积为32542πRπS。二、填空题7.238.39.310.2311.①②③提示：只需①底面是等腰直角三角形的直三棱柱，让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；②直四棱柱的两个侧面是正方形或一正四棱柱平躺；③圆柱平躺，即可使得三个命题均为真命题。三、解答题12.解：由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD；（1）1864643V（2）该四棱锥的两个侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为22184422h，另两个侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为2226452h因此112(64285)4024222S13.解：第一个球、第二个球、第三个球的直径分别是正方体的棱长、面对角线长、体对角线长，设这三个球的半径分别为1r、2r、3r，正方体的棱长为a，则12,ra222,ra323ra，故这三个球的表面积之比为232221232221321::4:4:4::rrrrπrπrπSSS3:2:1)23(:)22(:)2(222aaa