消元法在解题中的应用

消元法在解题中的应用[方法精要]在一些较复杂的题目中，若含有两个或两个以上的未知数时，为了保证先求出其中的一种数量，往往要通过对某些数量的比较，设法先消去一个或几个未知量，从而把一道数量关系复杂的题目变成简单的题目解出来，这种解题方法就是消元法．用消元法解题时注意以下几点：1．把条件写成几个等式，并排列在一起进行比较，如果有一种量的数相同，就很容易把这种量消去．2．如果两种量的数都不相同，可以用一个数去乘等式的两边，使其中的一个量的数相同然后消去这个量．3．解答后，可以把结果代入条件列出的每一个等式中计算，检验是否符合题意．题型一消元法在平面向量中的应用例1设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，OE→＝e，且2a＝b，c＝b＋d,2e＝3b＋4d，求证：点C是线段AE的中点．破题切入点本题涉及到的向量比较多，观察结论，根据结论的要求，只需证明c＝12(a＋e)，因此，只要不断消元，即可得到向量c，a，e的关系．证明因为2a＝b，c＝b＋d，所以b＝2a，d＝c－2a，代入2e＝3b＋4d，可得2e＝3×2a＋4×(c－2a)，整理得c＝12(a＋e)，所以点C是线段AE的中点．题型二消元法在解析几何中的应用例2已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a1，b0)的焦距为2c，离心率为e，若点(－1,0)与(1,0)到直线xa－yb＝1的距离之和S≥45c，则e的取值范围是________．破题切入点根据已知的不等式找a，c所满足的不等式，转化为关于离心率e的不等式，通过这个不等式解得双曲线的离心率的范围．答案[52，5]解析∵S＝|－b－ab|a2＋b2＋|b－ab|a2＋b2＝2abc≥45c，∴2c2≤5ab，即4c4≤25a2(c2－a2)，即4c4－25a2c2＋25a4≤0，即4e4－25e2＋25≤0，解得54≤e2≤5，即52≤e≤5.总结提高消元思想是中学数学的重要思想方法之一，它既可以显性的表现为具体的技能，如降幂、减少变量的个数等，又指导着思维的方向，如对题设或结论的简化意识等，在解题的动态思维过程中，如能紧扣消元的数学思想，重视消元法的应用，就会尝到柳暗花明又一村带来的乐趣．1．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a0，且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)的值为()A．2B.154C.174D．a2答案B解析因为f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，则f(－x)＋g(－x)＝a－x－ax＋2，联立可得g(x)＝2，又因为g(2)＝a，故a＝2.因为f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，g(2)＝a，则f(2)＝a2－a－2＋2－a＝22－2－2＋2－2＝154.2．(2013·浙江)已知α∈R，sinα＋2cosα＝102，则tan2α的值为()A.43B.34C．－34D．－43答案C解析因为sinα＋2cosα＝102，又sin2α＋cos2α＝1，联立解得sinα＝－1010，cosα＝31010，或sinα＝31010，cosα＝1010，故tanα＝sinαcosα＝－13，或tanα＝sinαcosα＝3，代入可得tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×－131－－132＝－34，或tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×31－32＝－34.3．设m1，在约束条件y≥x，y≤mx，x＋y≤1下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为()A．(1,1＋2)B．(1＋2，＋∞)C．(1,3)D．(3，＋∞)答案A解析画出可行域，或分别解方程组y＝x，y＝mx，y＝x，x＋y＝1，y＝mx，x＋y＝1得到三个区域端点(0,0)，(12，12)，(1m＋1，mm＋1)，当且仅当直线z＝x＋my过点(1m＋1，mm＋1)时，z取到最大值z＝m2＋1m＋12，解得m∈(1,1＋2)．4．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率e＝12，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋2bx＋c＝0的两个实根分别是x1和x2，则点P(x1，x2)到原点的距离为()A.2B.72C．2D.74答案A解析因为e＝ca＝12，所以a＝2c，由a2＝b2＋c2，得ba＝32，x1＋x2＝－2ba＝－3，x1·x2＝ca＝12，点P(x1，x2)到原点(0,0)的距离d＝x21＋x22＝x1＋x22－2x1x2＝2.5．过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为()A．4B．8C．12D．16答案D解析抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2,0)，直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程为y＝－x＋2代入抛物线方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|＝2|x1－x2|＝16.6．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，则|PF||PA|的最小值是()A.12B.22C.32D.232答案B解析由题意知x≥0，则焦点F(1,0)，|PF|＝x＋1，|PA|＝x＋12＋y2＝x＋12＋4x，当x＝0时，|PA||PF|＝1；当x0时，1|PA||PF|＝1＋4xx＋12≤1＋4x2x2＝2(当且仅当x＝1时取等号)．因此当x≥0时，1≤|PA||PF|≤2，22≤|PF||PA|≤1，|PF||PA|的最小值是22.7．已知双曲线：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，则k1k2的值为()A．2B．3C.3D.6答案B解析由题意知e＝ca＝2，则b2＝3a2，双曲线方程可化为3x2－y2＝3a2，设A(m，n)，M(x，y)，则B(－m，－n)，k1k2＝y－nx－m·y＋nx＋m＝y2－n2x2－m2＝3x2－3a2－3m2＋3a2x2－m2＝3.8．已知圆C1：x2＋y2－2x－2y－2＝0和圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0，则过两圆交点的公共弦所在直线方程为________．答案2x＋2y－1＝0解析联立两圆的方程，消去二次项即得公共弦所在直线的方程2x＋2y－1＝0.9．设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋1y2)(1x2＋4y2)的最小值为________．答案9解析(x2＋1y2)(1x2＋4y2)＝5＋1x2y2＋4x2y2≥5＋21x2y2·4x2y2＝9，当且仅当x2y2＝12时“＝”成立．10．设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OD→＝d，m，n，p，q是不同时为零的实数，如果ma＋nb＋pc＋qd＝0，且(m＋n)2＋(p＋q)2＝0.求证：A，B，C，D共线或AB∥CD.证明因为(m＋n)2＋(p＋q)2＝0，m，n，p，q是不同时为零的实数，∴m＝－n，p＝－q，代入ma＋nb＋pc＋qd＝0得n(b－a)＝－q(d－c)∴nAB→＝qCD→，∵n≠0，(否则m，p，q均为零)，∴AB→＝qnCD→，∴AB→∥CD→，即A，B，C，D共线或AB∥CD.11.如图，已知抛物线C：y2＝－2px(p0)上横坐标为－3的一点，与其焦点的距离为4.(1)求p的值；(2)设动直线y＝x＋b(b3)与抛物线C相交于A、B两点，问在直线l：y＝2上是否存在与b的取值无关的定点M，使得∠AMB被直线l平分？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)由已知得|－3－p2|＝4，∵p0，∴p＝2.(2)令A(x1，y1)，B(x2，y2)，设存在点M(a,2)满足条件，由已知得kAM＝－kBM，即有y1－2x1－a＋y2－2x2－a＝0，x1＝－y214，x2＝－y224；整理得y1y2(y1＋y2)＋4a(y1＋y2)－2(y21＋y22)－16a＝0；由y＝x＋b，y2＝－4x得y2＋4y－4b＝0，即y1＋y2＝－4，y1y2＝－4b有－4b·(－4)＋4a(－4)－2[(－4)2＋8b]－16a＝0，∴a＝－1，因此存在点M(－1,2)，而当b3时线段AB在点M(－1，2)的左上方，满足题意．12．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12，且经过点M(1，32)．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足PA→·PB→＝PM→2？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．解(1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，由题意得1a2＋94b2＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y＝k1(x－2)＋1，代入椭圆C的方程得，(3＋4k21)x2－8k1(2k1－1)x＋16k21－16k1－8＝0.因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，所以Δ＝[－8k1(2k1－1)]2－4(3＋4k21)·(16k21－16k1－8)＝32(6k1＋3)0，所以k1－12.又x1＋x2＝8k12k1－13＋4k21，x1x2＝16k21－16k1－83＋4k21，因为PA→·PB→＝PM→2，即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝54，所以(x1－2)(x2－2)(1＋k21)＝PM→2＝54.即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k21)＝54.所以[16k21－16k1－83＋4k21－2·8k12k1－13＋4k21＋4]·(1＋k21)＝4＋4k213＋4k21＝54，解得k1＝±12.因为k1－12，所以k1＝12.于是存在直线l1满足条件，其方程为y＝12x.