圆压轴八大模型题(1)-弧中点的运用

圆压轴题八大模型题（一）引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型1弧中点的运用在⊙O中，点C是⌒AD的中点，CE⊥AB于点E.（1）在图1中，你会发现这些结论吗？①AP＝CP＝FP；②CH＝AD；②AC2＝AP·AD＝CF·CB＝AE·AB.（2）在图2中，你能找出所有与△ABC相似的三角形吗？【分析】(1)①由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得：∠CAD＝∠B＝∠ACE;∠PCF＝∠PFC,所以AP＝CP＝FP.(1)②由垂径定理和弧中点的性质得，⌒DC＝⌒AC＝⌒AH,再由弧叠加得：⌒CH＝⌒AD,所以CH＝AD.(1)③由共边角相似易证：△ACE∽△ABC,△ACP∽△ADC,△ACF∽△BCA,进而得AC2＝AEAB;AC2＝APAD;AC2＝CFCB;(2)垂径定理的推论得：C0⊥AD,易证：Rt△ABC∽Rt△ACE∽Rt△CBE∽Rt△ACF∽Rt△BDF∽Rt△ACG∽Rt△CGF.此外还有Rt△APE∽Rt△AOG∽Rt△ABD∽Rt△CPG.运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题.建议：将下列所有例题与习题转化到图1或图2上观察、比较、思考和总结。【典例】（2018·湖南永州）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，＝，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．（1）求证：CF＝BF；（2）若cos∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线．OHPFEDCBAABCDEFPGO（图1）（图2）【分析】（1）延长CD与圆相交，由垂径定理得到＝，再由＝得到＝＝，等弧所对的角相等，等角对等边。（2）由垂径定理的推论得OC⊥BE，再由锐角三角函数得到边BH、OH的长度，由对应边成比例得BE∥CM，由∠MCO＝∠BHO＝90°证得结论。证明：（1）延长CD交⊙O于G，如图，∵CD⊥AB，∴＝，∵＝，∴＝，∴∠CBE＝∠GCB，∴CF＝BF；（2）连接OC交BE于H，如图，∵＝，∴OC⊥BE，在Rt△OBH中，cos∠OBH＝＝，∴BH＝×6＝，OH＝＝，∵＝＝，＝＝，∴＝，而∠HOB＝∠COM，∴△OHB∽△OCM，∴∠OCM＝∠OHB＝90°，∴OC⊥CM，∴直线CM是⊙O的切线．【点拔】弧中点得到弧等、弦等、圆周角等，进一步引出角平分线、垂径定理、相似三角形。再结合勾股定理、同角或等角的余角相等、中位线定理，垂径定理、相似三角形的性质定理。可以组合出综合性比较强的有关的习题组。抓边等角等是关键，要善于分解图形。【变式运用】1.（2018·四川宜宾）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F，DB交AC于点G，若＝，（图1-1）（图4）（图1-2）则＝．（）2.（2010·泸州）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC。(1)求证：AE⊥DE；(2)设以AD为直径的半圆交AB于F，连接DF交AE于G，已知CD＝5，AE＝8，求FGAF值。（1）证明：在ABCD中，∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°∵AE与DE平分∠BAD和∠ADC∴∠EAD＝12∠BAD，∠EDA＝12∠ADC，∴∠AED＝180°－（∠EAD＋∠EDA）＝180°－（12∠BAD＋12∠ADC）＝180°－12（∠BAD＋∠ADC）＝180°－90°＝90°∴AE⊥DE（2）解：在ABCD中，∵AD∥BC∴∠EAD＝∠AEB，且∠BAE＝∠DAE∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，同理：DC＝EC＝5又∵AB＝DC，∴AB＝BE＝DC＝EC＝5，∴BC＝AD＝10在Rt△AED中，由勾股定理可得：DE＝22221086ADAE∵∠BAE＝∠EAD，∠AFD＝∠AED＝90°∴△AFG∽△AED，∴8463AFAEFGED3.（2012·泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是AD的中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。(1)求证：P是线段AQ的中点；(2)若⊙O的半径为5，AQ＝，求弦CE的长。（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，∴⌒AC＝⌒AE．又∵C是⌒AD的中点，∴⌒AC＝⌒CD，∴⌒AE＝⌒CD．∴∠ACP＝∠CAP．∴PA＝PC，∵AB是直径．∴∠ACB＝90°．∴∠PCQ＝90°﹣∠ACP，∠CQP＝90°﹣∠CAP，∴∠PCQ＝∠CQP．∴PC＝PQ．（图1-4）（图1-3）ABCDEFG图9∴PA＝PQ，即P是AQ的中点；（2）解：∵⌒AC＝⌒CD，∴∠CAQ＝∠ABC．又∵∠ACQ＝∠BCA，∴△CAQ∽△CBA．∴1532104ACAQBCAB．又∵AB＝10，∴AC＝6，BC＝8．根据直角三角形的面积公式，得：AC•BC＝AB•CH，∴6×8＝10CH．∴CH＝245．又∵CH＝HE，∴CE＝2CH＝485．4．（2014•泸州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE•CA．（1）求证：BC＝CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝，求DF的长．（1）证明：∵DC2＝CE•CA，∴DCCACEDC，△CDE∽△CAD，∴∠CDB＝∠DAC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴BC＝CD；（2）解：方法一：如图，连接OC，∵BC＝CD，∴∠DAC＝∠CAB，又∵AO＝CO，∴∠CAB＝∠ACO，∴∠DAC＝∠ACO，∴AD∥OC，∴PCPOPDPA，∵PB＝OB，CD＝22，∴2322PCPC∴PC＝42又∵PC•PD＝PB•PA∴42•（42＋22）＝OB•3OB∴OB＝4，即AB＝2OB＝8，PA＝3OB＝12，在Rt△ACB中，AC＝22228(22)214ABBC，∵AB是直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°（图1-5）图a∴∠FDA＋∠BDC＝90°，∠CBA＋∠CAB＝90°∵∠BDC＝∠CAB，∴∠FDA＝∠CBA，又∵∠AFD＝∠ACB＝90°，∴△AFD∽△ACB∴214722AFFDACCB在Rt△AFP中，设FD＝x，则AF＝7x，∴在Rt△APF中有，222(7)(62)12xx，求得DF＝322．方法二；连接OC，过点O作OG垂直于CD，易证△PCO∽△PDA，可得PCPOPDPA，△PGO∽△PFA，可得PGPOPFPA，可得，PCPGPDPF，由方法一中PC＝42代入22222PCPCPCPCDF，即可得出DF＝322．5．（2015•泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）若AE＝6，CD＝5，求OF的长．【解答】（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A，∴∠EAC＝∠ABC，∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCE是平行四边形；（2）解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD与点N，M，∵AE是⊙O的切线，由切割线定理得，AE2＝EC•DE，∵AE＝6，CD＝5，∴62＝CE（CE＋5），解得：CE＝4，（已舍去负数），由圆的对称性，知四边形ABDC是等腰梯形，且AB＝AC＝BD＝CE＝4，又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，设OF＝x，OH＝y，FH＝z，（图1-6）图b∵AB＝4，BC＝6，CD＝5，∴BF＝12BC﹣FH＝3﹣z，DF＝CF＝12BC＋FH＝3＋z，易得△OFH∽△DFM∽△BFN，∴DFOFDMOH，BFOFBMOH，即532zxy，①32zxy②，①＋②得：692xy，①÷②得：3534zz，解6923534xyzz得3413yxz，∵x2＝y2＋z2，∴2291169xx，∴x＝4721，∴OF＝4721．6.如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上的两点，AB＝13，AC＝5.(1)如图①，若P是弧AB的中点，求PA的长；(2)如图②，若P是弧BC的中点，求PA的长.解：（1）如答图①，连接PB，∵AB是⊙O的直径且P是⌒AB的中点，∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∠APB＝90°又∵在等腰三角形△ABC中有AB＝13，∴（2）如答图②，连接BC，与OP相交于M点，作PH⊥AB于点H，∵P点为⌒BC的中点，∴OP⊥BC，∠OMB＝90°，图c（图1-7）图d图①图②又∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACB＝∠OMB.∴OP∥AC.∴∠CAB＝∠POB.又∵∠ACB＝∠OHP＝90°，∴△ACB∽△0HP.∴ABOP＝ACOH又∵AB＝13,AC＝5,OP＝132，∴，解得OH＝52∴AH＝OA＋OH＝9.∵在Rt△OPH中，有。∴在Rt△AHP中有.∴PA＝7.如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．解：（1）证明：如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD＝45°.∴∠DAB＝∠ABD＝45°。∴△DAB为等腰直角三角形。∴DO⊥AB.∵PD为⊙O的切线，∴OD⊥PD.∴DP∥AB.（2）在Rt△ACB中，，∵△DAB为等腰直角三角形，∴.∵AE⊥CD，∴△ACE为等腰直角三角形。∴.在Rt△AED中，（图1-8）图e图f，∴.∵AB∥PD，∴∠PDA＝∠DAB＝45°.∴∠PAD＝∠PCD。又∵∠DPA＝∠CPD，∴△PDA∽△PCD.∴.∴PA＝PD，PC＝PD.又∵PC＝PA＋AC，∴PD＋6＝PD，解得PD＝.