高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)

年月日＿＿＿＿＿＿系＿＿＿＿＿＿级＿＿＿＿＿＿班学号＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿…………………………………⊙……密………………………………………⊙……封……………………………………⊙…线…………………………………高数试卷01-1-第三章微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设,1)x(f)x(f)x(f0)x(f0)x(f00000（）是否为极值点不能断定的极值点　　不是　的极小值点是的极大值点　　是0000x)D()x(fx)C()x(fx)B()x(fx)A(2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数x)x(fxx)x(fy00（）0)x(f)B(0)x('f)A(00　　　　　或不存在　　　且　0)x(f)D(0)x(f0)x(f)C(0'003、的凸区间是xeyx（）),2((D)),(2(C)2),((B)2),((A)4、在区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的函数是（）(A)xxsin)x(f(B)2)1x()x(f(C)32x)x(f(D)1x)x(f25、设f(x)和g(x)都在x=a处取得极大值，F(x)=f(x)g(x)，则F(x)在x=a处（）(A)必取得极大值(B)必取得极小值(C)不取极值(D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数)x1(xy322（）(A)[-1,1](B)[0,1](C)[-2,2](D)]54,53[7、x2exy的凹区间是（）(A))2,((B))2,((C))1(，(D))1(，8、函数)x(f在0xx处连续，若0x为)x(f的极值点，则必有（）．(A)0)(0xf(B)0)(0xf(C)0)(0xf或)(0xf不存在(D))(0xf不存在9、当a=()时，处取到极值在3x3sin3xasinxf(x)（）(A)1(B)2(C)3(D)010、间是适合罗尔定理条件的区使函数)x1(x)x(f322（）]54,53[)D(]2,2[)C(]1,1[)B(]1,0[)A(　　　　　　　　　　　　11、，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若)x(fy)x(fx00（）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点，　必为曲线的拐点，　)x(fx)D()x(fx)C())x(fx()B())x(fx()A(000000二、填空题1、__________________ey82x的凸区间是曲线．2、______________2xyx的极小值点是函数．年月日＿＿＿＿＿＿系＿＿＿＿＿＿级＿＿＿＿＿＿班学号＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿…………………………………⊙……密………………………………………⊙……封……………………………………⊙…线…………………………………高数试卷01-2-3、的凸区间为曲线x3eyx_____________________．4、函数f（x）＝xx3在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点＝．5、设曲线y＝a23bxx以点（1，3）为拐点，则数组（a，b）＝．6、函数1x3xy3在区间[2,0]上的最大值为，最小值为．7、函数xsinlny在[65,6]上的罗尔中值点=．8、1xy在区间[1，3]的拉格朗日中值点ξ=_______________．9、______________2xyx的极小值点是函数．10、______________2xyx的极小值点是函数。11、y＝x＋x1，－51x的最小值为．12、xxy的单调减区间是．13、xarctanxy在且仅在区间______________上单调増．14、函数f(x)＝x＋2cosx在区间[0,2]上的最大值为．15、函数y＝3x4xx223的单调减少区间是．16、已知点（1，3）是曲线23bxaxy的拐点，则a=，b=．17、的单调递减区间为ee2)x(fxx.三、计算题1、的极值和单调区间求函数4x9x6xy23。2、求极限)1xxxln1(lim1x．3、求函数y＝23x4xx23的单调区间、凹凸区间、拐点．4、设常数0k，试判别函数()lnxfxxke在0,内零点的个数．5、求函数10x6x23xy23的单调区间和极值．。6．)1-e1x1(limx0x．7．上的最大值与最小值在求函数1,1x45y．8．求曲线xxyln的单调区间和凹凸区间.．9.求曲线34223xxxy的单调区间和凹凸区间.10．求函数xxey图形的凹凸区间及拐点．11、的拐点求曲线3{32ttytx.12、求函数4x9x6xy23的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．年月日＿＿＿＿＿＿系＿＿＿＿＿＿级＿＿＿＿＿＿班学号＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿…………………………………⊙……密………………………………………⊙……封……………………………………⊙…线…………………………………高数试卷01-3-13、上的最大值、最小值，在求函数4127x18x6x2y23．14、的单调性和凹凸性讨论函数)x(1lnf(x)215、讨论函数xxln)x(f的单调性和凹凸性．16、求曲线)1ln(2xy的凹凸区间和拐点．17.求函数2824xxy在区间]3,1[上的最大值与最小值．18.求函数133xxy在区间[-2，0]上的最大值和最小值．19.试确定常数a、b、c的值，使曲线cbxaxxy23在x=2处取到极值，且与直线3x3y相切于点（1，0）．四.综合题(第1-2题每题6分，第3题8分，总计20分)1．证明：当x)2,0(时，(sin)(cos)xxx．2、x1)x1x(lnx10x22时，当．3、证明：2cotarctanxarcx．4、设)x(在[0,1]上可导，f(x)＝(x－1))x(，求证：存在x0(0，1)，使)0()x(f0’．5、试用拉格朗日中值定理证明：当0ba时，bbabalnaba．6、证明：当0x时，xxx1arctan)1ln(．7、x)x1ln(x1x,0x时证明：当．8、证明：当x0时，有1+x1x21．9、证明当xsin6xx0x3时，．10、证明：若0x，则x1x)x1(nl．11、)1ln(212xxxx时，证明：当12、证明：多项式13)(3xxxf在[0，1]内不可能有两个零点．13、证明当x13x21x时，.14、xcosxsinx2x0时证明：当年月日＿＿＿＿＿＿系＿＿＿＿＿＿级＿＿＿＿＿＿班学号＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿…………………………………⊙……密………………………………………⊙……封……………………………………⊙…线…………………………………高数试卷01-4-答案：一、选择1、A2、D3、A4、D5、D6、B7、A8、C9、B10、A11、A二、填空1、[2,2]2、1ln2x3、,33,24、25、39,226、2,17、28、3129、1ln210、1ln211、5612、1x413、-1414、3615、）上单调递减，在（32116、29,2317、)2ln21，（三、计算题1、解：令231293(3)(1)0,yxxxx可得驻点：121,3xx……2分列表可得函数的单调递增区间为(,1)(3,)，单调递减区间为(1,3)……5分极大值为1|0,xy极小值3|4xy……7分2、解：原式＝1111lnlnln1limlimlim1(1)lnln12ln1xxxxxxxxxxxxxxx……6分年月日＿＿＿＿＿＿系＿＿＿＿＿＿级＿＿＿＿＿＿班学号＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿…………………………………⊙……密………………………………………⊙……封……………………………………⊙…线…………………………………高数试卷01-5-3、解：令26242(32)(1)0,yxxxx可得驻点：1221,3xx……2分列表可得函数的单调递增区间为2(,1)(,)3，单调递减区间为2(1,)3……4分又令1220yx得316x.……5分所以凸区间为1(,)6,凹区间为1(,)6.拐点为119(,3)627.……7分4、解：11()fxxe……1分当(0,)xe时,()0fx,所以()fx在[0,]e上单调增加;……2分又()0fek,x充分接近于0时,()0fe,……3分故()fx在(0,)e内有且仅有一个零点.……4分同理,()fx在(,)e内也有且仅有一个零点.……6分5、解：解23363(2)(1)0,yxxxx可得驻点：121,2xx……2分列表可得函数的单调递增区间为(,1)(2,)，单调递减区间为(1,2)……5分极大值为127|,2xy极小值2|0xy……7分6、解：原式＝01limxxxexxex……2分＝01lim1xxxxexee……4分＝01lim22xxxxexee……6分年月日＿＿＿＿＿＿系＿＿＿＿＿＿级＿＿＿＿＿＿班学号＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿…………………………………⊙……密………………………………………⊙……封……………………………………⊙…线…………………………………高数试卷01-6-7、解：当x单调增加时，函数()54gxx单调减少，所以函数()54yxx也是单调减少。……2分在区间[1,1]函数()54yxx是单调的减函数。所以当1x时，函数取得最大值max3yy；……4分所以当1x时，函数取得最小值min1yy。……6分8、解：'21ln,xyx令'0y，于是xe。当0xe时，'0y，函数单调增加；当ex时，'0y，函数单调减少。……2分所以函数的单调增区间为：(0,)e；函数的单调减区间为：(,)e。……4分而''32ln3,xyx令''0y，于是32xe。……5分函数的凸区间为：32(0,)e；函数的凹区间为：32(,)e。……6分9、解：因为'26242(1)(32)yxxxx，所以令'0,y得到1221,3xx。……2分函数的单调增区间为：2(,1),(,)3；函数的单调减区间为：2(1,)3。……4分又由于''122yx，于是函数的凸区间为：1(,);6函数的凹区间为：1(,)6。……6分年月日＿＿＿＿＿＿系＿＿＿＿＿＿级＿＿＿＿＿＿班学号＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿…………………………………⊙……密………………………………………⊙……封……………………………………⊙…线…………………………………高数试卷01-7-10、解：因为：''',(2)xxxyexeyxe，……2分令'''0,0yy，得到：121,2yy。所以函数的单调增区间为：(,1)，函数的单调减区间为：(1,)。……4分函数的凸区间为：(,2)，函数的凹区间为：(2,)。函数的拐点为：2(2,2)e。……6分11、解：322224)1(3,233ttdxydttdxdy……3分令04)1(33222ttdxyd得1,121tt从而得曲线的可能拐点为)4,1()2,1(和，又二阶导数在该两点左右异号。所以)4,1()2,1(和为曲线的拐点……6分12、解：令.3,1x