高等数学上册第五章与第六章精选题及答案精析

1问题1:曲边梯形的面积问题2:变速直线运动的路程存在定理反常积分定积分定积分的性质定积分的计算法牛顿-莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba一、主要内容重要结论21、问题的提出实例1（求曲边梯形的面积A）iniixfA)(lim10曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.3实例2（求变速直线运动的路程）iniitvs)(lim10设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程S.方法:分割、近似、求和、取极限.42、定积分的定义设函数)(xf在],[ba上有界，在],[ba中任意若干若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取一点i（iix），定义],,[],,[],,[12110nnxxxxxx5怎样的分法，baIdxxf)(iinixf)(lim10.也不论在小区间],[1iixx上的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，在区间],[ba上的定积分，记为记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba我们称这个极限I为函数)(xf作乘积iixf)(),2,1(i点i怎样并作和iinixfS)(1，6可积的两个充分条件：当函数)(xf在区间],[ba上连续时，定理1定理2设函数)(xf在区间],[ba上有界，称)(xf在区间],[ba上可积.且只有有限个间断点，则)(xf在区间],[ba上可积.3、存在定理74、定积分的性质badxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(性质1babadxxfkdxxkf)()((k为常数)性质2badxxf)(bccadxxfdxxf)()(假设bca性质38则)0(0)(dxxfba)(ba性质5如果在区间],[ba上)0(0)(xf，推论：则dxxfba)(dxxgba)()(ba如果在区间],[ba上)()(xgxf，（1）dxxfba)(dxxfba)()(ba（2）dxba1dxbaab性质49如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则在积分区间],[ba上至少存在一个点，使dxxfba)())((abf)(ba性质7(定积分中值定理)设M及m分别是函数则)()()(abMdxxfabmba.)(xf在区间],[ba性质6上的最大值及最小值，积分中值公式105、牛顿—莱布尼茨公式如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(在],[ba上具有导数，且它的导数是)()()(xfdttfdxdxxa)(bxa定理1定理2（原函数存在定理）如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(就是)(xf在],[ba上的一个原函数.11定理3（微积分基本公式）如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba.)]([)(babaxFdxxf也可写成牛顿—莱布尼茨公式.],[],[:上的增量它的任一原函数在区间上的定积分等于一个连续函数在区间表明baba126、定积分的计算法dtttfdxxfba)()]([)(换元公式（1）换元法（2）分部积分法分部积分公式bababavduuvudv][13７、反常积分(1)无穷限的反常积分adxxf)(babdxxf)(lim当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称反常积分发散.bdxxf)(baadxxf)(lim14(2)无界函数的反常积分当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(badxxf)(atlimbtdxxf)(badxxf)(tadxxf)(btlim（C为瑕点）15aaaxfxfdxxfdxxf为奇函数时当为偶函数时当，0,)(2)(0;)(cos)(sin2200dxxfdxxf,)(sin2)(sin00dxxfdxxxf若函数f(x)是周期为T的连续函数，则.)()(0TTaadxxfdxxf※※※二、重要结论16nnnnnnnnnnIn,3254231,22143231为正偶数为大于1的正奇数2200cossinxdxxdxInnn17P243题8,7:,)(,证明下面各题为正整数设lklk0cos)1(kxdx2cosaakxdx0sin)2(kxdx2sinaakxdx0sinsin)3(lxdxkx2sinsinaalxdxkx0cossin)4(lxdxkx2cossinaalxdxkx0coscos)5(lxdxkx2coscosaalxdxkx周期函数kxkxxxxxcos,sin,2cos,2sin,cos,sin,1※1821)6(2dx2122aadxkxdx2sin)7(22sinaakxdxkxdx2cos)8(22cosaakxdxkxkxxxxxcos,sin,2cos,2sin,cos,sin,1中的任何两个不相同的元素的乘积在长度为2pi的区间上的积分为零；除1以外的任何元素的平方在长度为2pi的区间上的积分为pi三角函数的正交性19一、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练掌握定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法三、典型例题20(1998考研)例1.求思考题求极限).2212(lim12121nnnnnnnnn21P254，6例222例3P270，1123例4解.12ln02dxex求,sintex令.sincos,sinlndtttdxtx则62)sincos(cosdtttt原式262sincosdtttxt02ln262626sinsintdttdt.23)32ln(24例5.如图,曲线C的方程为.d)()(302xxfxx是它的一个拐点,线,其交点为(2,4),设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切43211234xO1l2ly)(xfyC25例6)(||)(10xfdtxttxf，求设2640023442)tan1ln()3(cos1sin)2(1sin)1(dxxdxxxxdxexx20)(sin)(cos)(sindxxfxfxfux220))(cos())(sin())(cos(duufufuf20)(sin)(cos)(sin2dxxfxfxf220dx4I思考题27.123)2(;94)1(:2122xxxdxxxdx求下列反常积分例728.2)1(.324xxxdx求例829P264，1必要充分充要不一定tt30例9.},1min{222dxxx求解1,11,},1min{22xxxxxx是偶函数,dxxx},1min{2220原式21102122dxxdxx.2ln232