2017年高等数学上试题和答案解析

完美WORD格式专业整理知识分享华南农业大学期末考试试卷（A卷）2016~2017学年第1学期考试科目：高等数学AⅠ考试类型：（闭卷）考试考试时间：120分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分得分评阅人一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．函数21ln11xyxx的定义域是。2．设arcsinyx，则dy=。3．lim()xxxaxa。4．不定积分21xxeedx=。5．反常积分11(1)dxxx=。二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设1sin,0()1sin,0xxfxxxx，那么0lim()xfx不存在的原因是（）A．(0)f无定义B．0lim()xfx不存在C．0lim()xfx不存在D．0lim()xfx和0lim()xfx都存在但不相等2．设偶函数()fx二阶可导，且''(0)0f，那么0x（）得分得分2A．不是()fx的驻点B．是()fx的不可导点C．是()fx的极小值点D．是()fx的极大值点3．设202()sinxxtdt，则'()x（）A．42sinxxB．22sinxxC．22sinxxD．42sinxx4．下列函数中不是函数sin2x的原函数的有（）A．2sinxB．2cosxC．1sin22xD．1cos22x5．求由曲线xya与直线xa，2xa（0a）及0y所围成的图形绕y轴旋转一周所生成的旋转体的体积。（）A．12aB．aC．212aD．22a三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1.求极限20cos(sin)13limxxx。2.设2,1(),1xxfxaxbx，试确定a，b的值，使得()fx在1x可导。3.设参数方程(sin)(1cos)xattyat确定y是x的函数，求dydx和22dydx。得分1.5CM完美WORD格式专业整理知识分享4．计算不定积分2(ln)xdx。5．设方程sin()yexy确定隐函数()yyx并满足()02y，求2'xy。6．设曲线322yaxbxcx在1x处有极小值0，且(0,2)为拐点，求,,abc的值。7．计算定积分1154xdxx。4四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）1．证明不等式：当1x时，2(1)2xeex。2．一抛物线的轴平行于x轴，开口向左且通过原点与点(2,1),求当它与y轴所围的面积最小时的方程。3.已知函数()fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f，(1)1f。证明：（1）存在(0,1)，使得()1f；（2）存在两个不同的点，(0,1)，使得()()1ff。得分1.5CM完美WORD格式专业整理知识分享华南农业大学期末考试试卷（A卷）2016~2017学年第1学期考试科目：高等数学AⅠ参考答案一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．[1,1]2．212dxxx3．2ae4．arctanxeC5．ln2二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．C2．C3．A4．C5．D三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1.求极限20cos(sin)13limxxx。解：20cos(sin)13limxxx0sin(sin)cos6limxxxx．．．．．．．．．．．．．．．．2分001sin(sin)sin=cos[]6sinlimlimxxxxxxx．．．．．．．．．．．．．．．5分1=6．．．．．．．．．．．．．．．．7分2.设2,1(),1xxfxaxbx，试确定a，b的值，使得()fx在1x可导。解：因为211()1limlimxxfxx．．．．．．．．．．．．．．．．1分11()()limlimxxfxaxbab．．．．．．．．．．．．．．．．2分而(1)1f，因为()fx在1x处连续，所以11()()(1)limlimxxfxfxf，故1ab．．．．．．．．．．．．．．．．3分2'00(1)(1)(1)1(1)limlim2xxfxfxfxx．．．．．．．．．．．．．．．．4.5分'00(1)(1)(1)1(0)limlimxxfxfaxbfaxx．．．．．．．．．．．．．．．．6分因为()fx在1x处可导，所以''(1)(1)ff，从而2a，所以1b．．．．．．．．．．．．．．．．7分3.设参数方程(sin)(1cos)xattyat确定y是x的函数，求dydx和22dydx。1.5CM6解：sinsincot(1cos)1cos2dyatttdxatt．．．．．．．．．．．．．．．．3分22(cot)'2[(sin)]'tdydxatt．．．．．．．．．．．．．．．．5分21csc22(1cos)tat41csc42ta．．．．．．．．．．．．．．．．7分4．计算不定积分2(ln)xdx。解：222(ln)(ln)(ln)xdxxxxdx．．．．．．．．．．．．．．．．2分2(ln)2lnxxxdx．．．．．．．．．．．．．．．．4分2(ln)2ln2lnxxxxxdx．．．．．．．．．．．．．．．．6分2(ln)2ln2xxxxxC．．．．．．．．．．．．．．．．7分5.设方程sin()yexy确定隐函数()yyx并满足()02y，求2'xy。解：方程两边对x求导，得'cos()(1')yeyxyy．．．．．．．．．．．．．．．．3分cos()'cos()yxyyexy．．．．．．．．．．．．．．．．5分又2x，得0y，．．．．．．．．．．．．．．．．6分代入得2'=0xy．．．．．．．．．．．．．．．．7分6．设曲线322yaxbxcx在1x处有极小值0，且(0,2)为拐点，求,,abc的值。解：2'32,yaxbxc．．．．．．．．．．．．．．．．1分完美WORD格式专业整理知识分享''62,yaxb．．．．．．．．．．．．．．．．2分由题意得20000223206020abcabcabcab．．．．．．．．．．．．．．．．6分解得1,0,3abc．．．．．．．．．．．．．．．．7分7．计算定积分1154xdxx。解：令54tx，则12dxtdt．．．．．．．．．．．．．．．．1分21113514()254txdxtdttx．．．．．．．．．．．．．．．．3分1231(5)8tdt．．．．．．．．．．．．．．．．4分31311(5)83tt．．．．．．．．．．．．．．．．6分16．．．．．．．．．．．．．．．．7分四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）1．证明不等式：当1x时，2(1)2xeex。证明：设2()(1)(1)2xefxexx．．．．．．．．．．．．．．．．1分'()xfxeex．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以''()0xfxee．．．．．．．．．．．．．．．．3分所以'()xfxeex单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．4分当1x时，'()'(1)0fxf．．．．．．．．．．．．．．．．5分所以当1x时，2()(1)(1)2xefxexx单调递增．．．．．．．．．．．．．．6分所以当1x时，()(1)fxf，即2(1)2xeex．．．．．．．．．．．．．．7分2．一抛物线的轴平行于x轴，开口向左且通过原点与点(2,1),求当它与y轴所1.5CM8围的面积最小时的方程。解：设2xaybyc．．．．．．．．．．．．．．．．1分它通过原点，因此0c．．．．．．．．．．．．．．．．2分又通过(2,1)，所以2ba．．．．．．．．．．．．．．．．3分所以满抛物线为2(2)(0)xayaya这抛物线与y轴的另一交点是2(0,1)a．．．．．．．．．．．．．．．．4分它与y轴所围面积为2122042()[(2)]136aaSaayaydyaa．．．．．．．．．．．．．．．．5分令32821'()036Saaa得4,2aa（舍）．．．．．．．．．．．．．．．．6分所以246xyy．．．．．．．．．．．．．．．．7分3．已知函数()fx在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f，(1)1f。证明：（1）存在(0,1)，使得()1f；（2）存在两个不同的点，(0,1)，使得()()1ff。解：（1）令()()1gxfxx，．．．．．．．．．．．．．．．．2分则()gx在[0,1]上连续，且(0)10g，(1)10g，故由零点定理知存在(0,1)，使得()()10gf，即()1f。．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）由题设及拉格朗日中值定理知，存在(0,)，(,1)，使得()(0)1()0fff，．．．．．．．．．．．．．．．．5分(1)()1(1)()111fff，从而1()()11ff．证毕．．．．．．．．．．．．．．．．．7分