2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用(四)

12019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（四）23.已知函数3223log32afxxxx（0a且1a）．（Ⅰ）若()fx为定义域上的增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）令ae，设函数324ln63gxfxxxx，且120gxgx，求证：1226xx．24.已知函数()2xfxexax=--.(1)Rx时，证明：1xex；(2)当2a=时，直线1ykx=+和曲线()yfx=切于点()(),1Amnm，求实数k的值；(3)当10x时，不等式0xf恒成立，求实数a的取值范围.25.已知函数()lnafxaxxx=-+-(a为常数)有两个不同的极值点.(1)求实数a的取值范围；(2)记()fx的两个不同的极值点分别为12,xx，若不等式()()()21212fxfxxxl++恒成立，求实数l的取值范围.226.已知函数1lnfxaxx（aR）.（1）讨论函数fx极值点的个数，并说明理由；（2）若1x，2xfxaxaxa恒成立，求a的最大整数值.27.已知函数221,2ln1fxxxgxaxaR.（1）求函数hxfxgx的极值；（2）当0a时，若存在实数,km使得不等式gxkxmfx恒成立，求实数a的取值范围.28.设yfx是二次函数，方程0fx有两个相等的实根，且22fxx.（1）求yfx的表达式；（2）若直线01xtt，把yfx的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.329.已知函数1ln2fxxaxx（aR）.（1）若曲线yfx在点1,1f处的切线经过点2,3，求a的值；（2）若fx在区间1,14上存在极值点，判断该极值点是极大值点还是极小值点，并求a的取值范围；（3）若当0x时，0fx恒成立，求a的取值范围.30.已知函数()lnfxxa=+，()(),bgxxabRx=-?.(1)若曲线()yfx=与曲线()ygx=在点()()1,1f处的切线方程相同，求实数,ab的值；(2)若xgxf恒成立，求证：当2a时，1b.31.2xfxeax，其中e是自然对数的底数，aR.（1）求函数fx的单调递增区间；（2）若k为整数，1a，且当0x时，11kxfxx恒成立，其中fx为fx的导函数，求k的最大值.432.已知f（x）=2xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．33.已知数列{xn}按如下方式构成：xn∈（0，1）（n∈N*），函数f（x）=ln（xx11）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴交点的横坐标为xn+1（Ⅰ）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＞2x（Ⅱ）证明：xn+1＜xn3（Ⅲ）若x1∈（0，a），a∈（0，1），求证：对任意的正整数m，都有lognxa+log1nxa+…+logmnxa＜21•（31）n﹣2（n∈N*）34.已知函数f（x）=]3,1[),1(55]1,0[,2xxfxxx（Ⅰ）求f（25）及x∈[2，3]时函数f（x）的解析式（Ⅱ）若f（x）≤xk对任意x∈（0，3]恒成立，求实数k的最小值．535.已知函数1()(2)afxaxxa，其中0a．（Ⅰ）若1a，求()fx在区间[0,3]上的最大值和最小值．（Ⅱ）解关于x的不等式()0fx．36.若实数x，y，m满足xmym，则称x比y靠近m．（Ⅰ）若1x比x靠近1，求实数x有取值范围．（Ⅱ）（i）对0x，比较ln(1)x和x哪一个更靠近0，并说明理由．（ii）已知函数na的通项公式为112nna，证明：1232enaaaa．37.已知函数2()e(e1)1xfxaxax（e是自然对数的底数，a为常数）．（1）若函数1()()()2gxfxxfx，在区间[1,+∞)上单调递减，求a的取值范围．（2）当(e2,1)a时，判断函数()fx在(0,1)上是否有零点，并说明理由．638.已知函数()lnfxxx．（1）求函数()fx的极值点．（2）设函数()()(1)gxfxax，其中aR，求函数()gx在[1,e]上的最小值．39.已知函数1()ln2fxxx，(0,)x∞．（1）求函数()fx的图象在点(2,(2))f处的切线方程．（2）求函数()fx的单调递增区间．40.设m∈R，函数f（x）=ex﹣m（x+1）+41m2（其中e为自然对数的底数）（Ⅰ）若m=2，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）已知实数x1，x2满足x1+x2=1，对任意的m＜0，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，求x1的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）有一个极小值点为x0，求证f（x0）＞﹣3，（参考数据ln6≈1.79）741.已知函数f（x）=x2﹣x3，g（x）=ex﹣1（e为自然对数的底数）．（1）求证：当x≥0时，g（x）≥x+21x2；（2）记使得kf（x）≤g（x）在区间[0，1]恒成立的最大实数k为n0，求证：n0∈[4，6]．42.设函数3211()(3)332fxxaxax，其中aR，函数()fx有两个极值点12,xx，且101x．（1）求实数a的取值范围；（2）设函数'1()()()xfxaxx，当12xxx时，求证：|()|9x．43.已知14)(2xtxxf的两个极值点为α，β，记A（α，f（α）），B（β，f（β））（Ⅰ）若函数f（x）的零点为γ，证明：α+β=2γ．（Ⅱ）设点C(mt4,0)，D(mt4,0)，是否存在实数t，对任意m＞0，四边形ACBD均为平行四边形．若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由．844.已知函数ln(),xfxx()(0)gxkxk，函数()max(),(),Fxfxgx其中max,ab,,,.aabbab（Ⅰ）求()fx的极值；（Ⅱ）求()Fx在1,e上的最大值(e为自然对数底数).45.已知函数2()2ln,fxxaxaR．（Ⅰ）若()fx在1x处取得极值，求实数a的值；（Ⅱ）若不等式()0fx对任意[1,)x恒成立，求实数a的取值范围.9参考答案23.（Ⅰ）2123lnfxxxxa，由()fx为增函数可得，0fx恒成立，则由21230lnxxxa32123lnxxa，设3223mxxx，则266mxxx，若由610mxxx和610mxxx可知mx在0,1上单调递减，在1,上单调递增，所以min11mxm，所以11lna，当1a时，易知ae，当01a时，则10lna，这与11lna矛盾，从而不能使0fx恒成立，所以1ae．（Ⅱ）322332gxxx32ln4ln63xxxx233ln62xxx，因为120gxgx，所以211133ln62xxx22223(3ln6)02xxx，所以221212123()3ln()6()02xxxxxx，212121[()2]2xxxx1212ln()2+=0xxxx（），212121()+2xxxx1212ln()2()0xxxx，所以212121()+2()2xxxx1212ln()xxxx，令12xxt，lngttt，111tgttt，gt在0,1上增，在1,上减，11gtg，所以212121()2()12xxxx，整理得21212()4()20xxxx，解得1226xx或1226xx（舍），所以1226xx得证．1024.(1)记()1xFxex=--，∵()'1xFxe=-，令()'0Fx=得0x=，当(),0x??，()'0Fx，()Fx递减；当()0,x??，()'0Fx，()Fx递增，∴()()min00FxF==，()10xFxex=--?，得1xex?.(2)切点为(),Amn，()1m，则21222mmnkmnemmkemì=+ïï=--íïï=--î，∴()2110mmem--+=，∵1m，∴10mem--=由(1)得0m=.所以1k=-.(3)由题意可得20xexax--?恒成立，所以2xexax-£，下求()2xexGxx-=的最小值，()()()()()22221111111'xxxxexxexxexGxxxx轾----------臌===，由(1)1xex?知10xex--?且1x£.所以()'0Gx，()Gx递减，∵1x£，∴()()11GxGe?-.所以1ae?.25.(1)()()22'0xaxafxxx-+=.由函数()lnafxaxxx=-+-(a为常数)有两个不同的极值点.即方程20xaxa-+=有两个不相等的正实根.∴121220040xxaxxaaaì+=ïï=íïïD=-î，∴4a.11(2)由(1)知12xxa+=，12xxa=，4a，∴()()()2121212121212lnxxfxfxaxxxxaxxxxl++=-++-+，所以lnaal-恒成立.令()lnaFaa=-，4a.∵()2ln1'0aFaa-=，()Fa递增，∴()()ln242FaF=-，ln22l?.26.（1）fx的定义域为0,，且11axfxaxx.当0a≤时，0fx≤在0,上恒成立，函数fx在0,上单调递减.∴fx在0,上没有极值点；当0a时，令0fx得10,xa；列表所以当1xa时，fx取得极小值.综上，当0a≤时，fx在0,上没有极值点；当0a时，fx在0,上有一个极值点.（2）对1x，2xfxaxaxa恒成立等价于ln1xxxax对1x恒成立，设函数ln1xxxgxx（1x），则2ln21xxgxx（1x），12令函数ln2xxx，则11xx（1x），当1x时，110xx，所以x在1,上是增函数，又31ln30，42ln40，所以存在03,4x，使得00x，即00gx，且当01,xx时，0x，即0gx，故gx在01,x在上单调递减；当0,xx时，0x，即0gx，故gx在0,x上单调递增；所以当1,x时，gx有最小值00000ln1xxxgxx，由00x得00ln20xx，即00ln2xx，所以00000021xxxgxxx，所以0ax，又03,4x，所以实数a的最大整数值为3.27.（I）由题意得2()(1)2ln(1)hxxax，1x，∴22[(1)]'()1xahxx，①当0a时，则'()0hx，此时()hx无极值；②当0a时，令'()0hx，则11xa；令'()0hx，则1xa；∴()hx在(1,1]a上递减，在(1,)a上递增；∴()hx有极小值(1)(1ln)haaa，无极大值；（II）当0a时，由（1）知，()hx在(1,1]a上递