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11．1．1证明完备度量空间的闭子集是一个完备的子空间，而任一度量空间的完备子空间必是闭子集．(1)设X是完备度量空间,MX是闭的.要证M是一个完备的子空间.证xm,xnM,xmxn0m,nxm,xnX,xmxn0m,n,X是完备度量空间,xX,使得xnx.xnM,xnxMX是闭的xM.xm,xnM,xmxn0,m,nxM,使得xnxM是一个完备的子空间.(2)设X是一度量空间,M是X的一个完备子空间.要证M是闭子集.即,若xnM,xnx.要证xM.证因为收敛列是基本列,所以xnM,xmxn0,m,n,又M是完备度量空间,所以xM,使得xnx.xnxxnxxxM.1.1.2(Newton法)f是定义在a,b上的二次连续可微的实课后答案网值函数，xa,b,使得fx0,fx 0.求证存在x的邻域Ux，使得x0Ux迭代序列xn1xnfxnfxnn0,1,2,是收敛的，并且limnxnx证明Txxfxfx,ddxTx1fx2fxfxfx2fxfxfx2,fx0,fx 0.fx在点x处连续,limxxfxfxfx20,x的邻域Ux,使得fxfxfx21,fx 0xUx.|TxTy|fff2|xy||xy|x,yUx.于是,对x0Ux,xn1Txnn0,1,2,是收敛的.设xnxUx.Txxfx0.联合fx0xUxfx0xUxfx 0xUxxx,课后答案网x.1.1.3．设X, 是度量空间，映射T:XX满足 Tx,Ty x,yx y并已知T有不动点.求证此不动点是惟一的.证明用反证法.如果T有两个不动点x1 x2,即有,一方面Tx1x1Tx2x2 Tx1,Tx2 x1,x2;另一方面,由假设 Tx1,Tx2 x1,x2 x1,x2 x1,x2矛盾.1.1.4设T是度量空间上的压缩映射，求证T是连续的．证明只要证xnx0TxnTx0.由假设,0,1使得 Tx,Ty x,y,故有xnx0 xn,x00 Txn,Tx0 xn,x0 Txn,Tx00TxnTx0.1.1.5设T是压缩映射，求证Tn也是压缩映射，并说明逆命题不一定成立.(1)因为T是压缩映射,所以0,1,使得 Tx,Ty x,y,从而 T2x,T2y Tx,Ty2 x,y.假定 Tnx,Tnyn x,y成立,则有 Tn1x,Tn1y Tnx,Tnyn x,yn1 x,y.课后答案网于是根据数学归纳法原理, Tnx,Tnyn x,y对n成立.又01 0n1.故有 Tnx,Tny x,y.即Tn是压缩映射.(2)逆命题不一定成立.例如fxx2:0,10,1.f2xx2:0,10,1是压缩映射.但是fxx2:0,10,1不是压缩映射.事实上,如果fx:0,10,1是压缩映射,即:01,使得|fx2fx1||x2x1| |fx2fx1||x2x1|x1,x20,1.即差商|fx2fx1||x2x1|是有界的.但是如果取x11n,x22x12nn 2,|fx2fx1||x2x1|n112n.即知差商|fx2fx1||x2x1|是无界的,矛盾.(3)如果存在正整数n,使得Tn是压缩映射,那么T有唯一不动点.事实上,根据不动点定理,x0使得Tnx0x0.则有TnTx0Tx0||||Tn1x0TTnx0即Tx0也是Tn的不动点.又Tn是压缩映射,那么Tn有唯一不动点,即得Tx0x0.这就证明了T有不动点.课后答案网是T的两个不动点x1 x2.即有Tx1x1Tx2x2,那么Tnx1Tn1Tx1Tx1x1Tn1x1Tx1x1Tnx2Tn1Tx2Tx2x2Tn1x2Tx2x2即x1,x2是Tn的两个不动点,因为Tn是压缩映射,所以Tn有唯一不动点,从而x1x2,矛盾.1.1.6设M是n中的有界闭集，映射T:MM满足 Tx,Ty x,yx,yM,x y.求证T在M中存在唯一的不动点.证 Tx,Tx0 x,x0, x,x00 Tx,Tx00.再由三角形不等式,得到| x,Tx x0,Tx0| x,x0 Tx,Tx0.由此可见,fxdef x,Tx在M上连续.因为M是n中的有界闭集,所以x0M使得 x0,Tx0fx0minxMfxminxM x,Tx.如果 x0,Tx00,那么x0就是不动点.今假设 x0,Tx0 0.根据假设,我们有 Tx0,T2x0 x0,Tx0minxM x,Tx.但是Tx0,T2x0M,这与 x0,Tx0是最小值矛盾.故 x0,Tx00,即存在不动点x0.课后答案网不动点的唯一性是显然的.事实上,如果存在两个不动点x1,x2,则从 x1,x2 Tx1,Tx2 x1,x2即得矛盾.注假如把条件M是n中的有界闭集去掉,只假定 Tx,Ty x,yx,yM,x y,结论一般不对.例如,X1,Tx2xarctanx Tx,Ty|TxTy|212|xy||xy| x,y.由此可见,映射T满足假定: Tx,Ty x,yx,yM,x y,但是Txx arctanx2,这是不可能的,因此映射T没有不动点.1.1.7对于积分方程xt01etsxsdsyt为一给定函数，为常数，||1，求证存在惟一解xt0,1.证明xt01etsxsdsyt etxt01esxsdsetytztdefetxt,tetyt,则有ztt01zsds,令T:zt t01zsds. Tu,Tvmaxt0,101usds01vsds||maxt0,101|usvs|ds||maxt0,1|utvt||| u,v.课后答案网 S x=(ξ1,ξ2,···,ξn···) S ρ(x,y)=∞Xk=112k|ξk−ηk|1+|ξk−ηk|, x=(ξ1,ξ2,···),y=(η1,η2,···). S ρ(x,y) (1),(2)! #$%& ’( ρ(x,y) #(3),)*+f(t)=t1+t=1−11+t↑⇒f(|a+b|)≤f(|a|+|b|),|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|. z=(ζ1,ζ2,···,ζk,···),-.ρ(x,y)=∞Xk=112k|ξk−ηk|1+|ξk−ηk|=∞Xk=112k|(ξk−ζk)+(ζk−ηk)|1+|(ξk−ζk)+(ζk−ηk)|≤∞Xk=112k|ξk−ζk|1+|ξk−ζk|+∞Xk=112k|ζk−ηk|1+|ζk−ηk|=ρ(x,z)+ρ(z,y)./0( ’ρ(x,y) #(3).12S$ 34 5S 6 {x(m)}$S 78 x(m)=x(m)1,x(m)2,···,x(m)k,···.-ρ(x(m+p),x(m))=∞Xi=112i|x(m+p)i−x(m)i|1+|x(m+p)i−x(m)i|→0(m→∞,∀p∈N).9:;=∀k∈N, x(m+p)k−x(m)k →0(m→∞,∀p∈N).(1)?@A BC D k∈N,B∀ε0,E NkFG,∞Xi=112i x(m+p)i−x(m)i 1+ x(m+p)i−x(m)i ε2k+1(mNk,∀p∈N).HI JkK LM&NOPQR.K S ,G x(m+p)k−x(m)k 1+ x(m+p)k−x(m)k ε2⇒ x(m+p)k−x(m)k ε21−ε2∵ε1ε21−12=ε.9:;T (1) U )*+(1)*VW∀k∈N,x(m) C XYZ x(m)k[$ 78 9 6 C XYZ x(m)k[\] ^E x∗kFGx(m)k→x∗k(Mm→+∞)._ ‘x∗ab===(x∗1,x∗2···x∗n,···).课后答案网 5x(m)→x∗(Mm→+∞).?@A 0$c ρ x(m),x∗=∞Xn=112k|x(m)n−x∗n|1+ x(m)n−x∗n →0Mm→∞.d0$c B∀ε0,E N,FG∞Xn=112k|x(m)n−x∗n|1+ x(m)n−x∗n ε(∀mN).(2)(2)$cBefgKShijk lmnopq rs t un0Kvop ^wcjk I xy3oz ∞Xn=112k|x(m)n−x∗n|1+ x(m)n−x∗n =n0Xn=112k|x(m)n−x∗n|1+ x(m)n−x∗n |{z}.{K+∞Xn=n0+112k|x(m)n−x∗n|1+ x(m)n−x∗n |{z}efgK(3) ’(3) efgK|oε2,}c∞Xn=n0+112k|x(m)n−x∗n|1+ x(m)n−x∗n ∞Xn=n0+112k=12n0ε2⇐=n01−log2ε.H n01−log2ε, ’(3) .{K|oε2,)*+BC n≤n0,E NnFG x(m)n−x∗n ε2(n=1,2,···n0).HNab===max{N1,N2,···Nn0},~.MmN ,n0Xn=112k|x(m)n−x∗n|1+ x(m)n−x∗n n0Xn=112k x(m)n−x∗n n0Xn=112k·ε2∞Xn=112k·ε2=ε2. $(2) U :{x(m)} %\] x∗, (%,S)$ 课后答案网¸‘˛z£N»ü=†fiï Œ Î/Î'Ëô'J,¸‘/$Î≥Œ Î/ÎÆ,¸‘/$Î¥X¥H˛Œ Α/$Î≥,¸‘/$ÎÆŒ Î/Î¥í£[Q§Œ ÎË,¸‘/$Σ[QN§Uï£[Q§/Îj Én£[Q§X/çî £[Q§X/ç'£[QN§X/ç∂£[QN§/í[QNØ[fl6ï‚[QØ[¥£[Q§Œ