椭圆双曲线知识点梳理

一轮复习讲义椭圆与双曲线要点梳理1．椭圆的概念(1)第一定义：在平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的．集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数：①若，则集合P为椭圆；②若，则集合P为线段；③若，则集合P为空集．忆一忆知识要点椭圆焦距aca＝cac要点梳理(2)第二定义：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线(F不在l上)的距离的比是常数e时，则这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的，定直线叫椭圆的，常数是椭圆的．(0e1)焦点准线离心率2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距F1F2＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2性质准线x＝±a2cy＝±a2c[难点正本疑点清源]椭圆方程中的a、b、c、e与坐标系无关，而焦点坐标、顶点坐标等与坐标系有关．因此确定椭圆方程需要三个条件，两个定形条件：a、b；一个定位条件：焦点坐标．(1)椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2(如右图)，它的三边长分别为a、b、c.易见c2＝a2－b2，且若记∠OF1B2＝θ，则cosθ＝ca＝e.(2)椭圆的定义中应注意常数大于F1F2.因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于F1F2时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于F1F2时，其轨迹不存在．1．椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.2．求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0e1)．3．求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点，(2)对称轴是否为坐标轴．方法与技巧122(1)tan.2PFFSb△xF1F2oyPA2B2B1A112max().PFFSbc△设P是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2=θ,则222210yxabab几个重要结论：(2)当P为短轴端点时，(3)当P为短轴端点时，∠F1PF2为最大.(4)椭圆上的点A1距F1最近，A2距F1最远.≤|≤|.acPFac忆一忆知识要点xF1F2oyPA2B2B1A1(6)焦半径公式00(,)xy10|PFaex|20|PFaex|(5)过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短.22||bCDaCD忆一忆知识要点1．双曲线的概念(1)第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做．这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的．集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a、c为常数且a0，c0：①当时，P点的轨迹是双曲线；②当a＝c时，P点的轨迹是；③当时，P点不存在．忆一忆知识要点双曲线焦点焦距acac两条射线要点梳理(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离的比是常数e(e1)的动点C的轨迹叫做双曲线．忆一忆知识要点2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形要点梳理范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx准线x＝±a2cy＝±a2c离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、的关系cc2＝a2＋b2(ca0，cb0)忆一忆知识要点要点梳理[难点正本疑点清源]1.双曲线中a，b，c的关系双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如右图)，它的三边长分别是a、b、c.易见c2＝a2＋b2，若记∠AOB＝θ，则e＝ca＝1cosθ.2．双曲线的定义用代数式表示为|MF1－MF2|＝2a，其中2aF1F2，这里要注意两点：(1)距离之差的绝对值．(2)2aF1F2.这两点与椭圆的定义有本质的不同：①当MF1－MF2＝2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；②当MF1－MF2＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；③当2a＝F1F2时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；④当2a|F1F2|时，动点轨迹不存在．3．渐近线与离心率x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线的斜率为ba＝b2a2＝c2－a2a2＝e2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大!①e的范围：②e的含义：2221(),abcbeaaa(1,)(0,),,bbeeaa当时，且增大也增大e增大时，渐近线与实轴的夹角增大.(1)双曲线的离心率cea1e21.bea三、双曲线的重要结论xyO忆一忆知识要点221(),1bbeeaa要点梳理(2)等轴双曲线:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的离心率为:2e等轴双曲线的两渐近线渐近线为y=±x,22(0)xyxyO等轴双曲线的两渐近线互相垂直.忆一忆知识要点要点梳理(3)特征三角形Mxyob2A1A2B1Bca222cabxyo2Fbca忆一忆知识要点要点梳理(4)“共渐近线”的双曲线与共渐近线的双曲线方程为22221xyab，为参数2222(0)xyab忆一忆知识要点要点梳理求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程为ax±by＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．探究提高