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第2讲不等式选讲近五年高考试题统计与命题预测年份卷别题号考查角度命题预测2019Ⅰ23应用均值不等式及其拓展证明不等式命题趋势:题目属于选做题,解答题形式,每年必考,考查难度中等.第一问主要考查含绝对值不等式的解法,第二问主要考查不等式的证明及不等式中参数范围问题及不等式中的恒成立问题.命题的热点是绝对值不等式的求解,以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解,此部分命题形式单一、稳定,难度中等,备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用.命题规律:绝对值不等式的解法是高考热点,命题主要在数形结合、分类讨论、函数与方程诸方面发力;不等式的证明不是每年必考模型,有隔年涉及的趋势,主要是结合绝对值三角不等式和均值不等式通过研究最值实施命题,偶有涉及柯西不等式,一般是分析法和综合法的结合,属中档题.Ⅱ23绝对值不等式的解法,不等式恒成立Ⅲ23均值不等式求最值,应用均值不等式证明不等式2018Ⅰ23绝对值不等式的解法、不等式的恒成立问题Ⅱ23绝对值不等式的解法、不等式的恒成立问题Ⅲ23含绝对值函数图象的画法、不等式的恒成立问题2017Ⅰ23含绝对值不等式的解法、求参数的取值范围Ⅱ23基本不等式的应用、一些常用的变形及证明不等式的方法Ⅲ23含绝对值不等式的解法、函数最值的求解2016Ⅰ24含绝对值函数图象的画法、含绝对值不等式的解法Ⅱ24含绝对值不等式的解法、比较法证明不等式Ⅲ24含绝对值不等式的解法、绝对值不等式的性质2015Ⅰ24含绝对值不等式的解法、求参数的取值范围Ⅱ24证明不等式的方法,充要条件的证明1.(2019全国Ⅰ,理23)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1𝑎+1𝑏+1𝑐≤a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.解:(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎𝑎𝑏𝑐=1𝑎+1𝑏+1𝑐.所以1𝑎+1𝑏+1𝑐≤a2+b2+c2.(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)3(b+c)3(a+c)33=3(a+b)(b+c)(a+c)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac)=24.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.2.(2019全国Ⅱ,理23)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)0,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x1时,f(x)=-2(x-1)20;当x≥1时,f(x)≥0.所以,不等式f(x)0的解集为(-∞,1).(2)因为f(a)=0,所以a≥1.当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)0.所以,a的取值范围是[1,+∞).3.(2018全国Ⅰ,理23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=-2,𝑥≤-1,2𝑥,-1𝑥1,2,𝑥≥1.故不等式f(x)1的解集为𝑥𝑥12.(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a0,|ax-1|1的解集为0x2𝑎,所以2𝑎≥1,故0a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].4.(2018全国Ⅱ,理23)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2.所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).f(x)=2𝑥+4,𝑥≤-1,2,-1𝑥≤2,-2𝑥+6,𝑥2.一、解含有绝对值的不等式1.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c0)型不等式的解法(1)若c0,则|ax+b|≤c等价于-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c等价于ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的值解出即可.(2)若c0,则|ax+b|≤c的解集为⌀,|ax+b|≥c的解集为R.2.|x-a|+|x-b|≥c(c0),|x-a|+|x-b|≤c(c0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x对应的点到a,b对应的点的距离之和与距离之差,因此对形如|x-a|+|x-b|c(c0)或|x-a|-|x-b|c(c0)的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观.3.|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)(g(x)0)型不等式的解法(1)|f(x)|g(x)⇔f(x)g(x)或f(x)-g(x).(2)|f(x)|g(x)⇔-g(x)f(x)g(x).二、含绝对值不等式的常用解法1.基本性质法:对a∈(0,+∞),|x|a⇔-axa,|x|a⇔x-a或xa.2.平方法:两边平方去掉绝对值符号.3.零点分区间法(或叫定义法):含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.4.几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点的距离求解.5.数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解.三、不等式的证明1.证明不等式的常用结论(1)绝对值的三角不等式定理1:若a,b为实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.定理2:设a,b,c为实数,则|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.推论1:||a|-|b||≤|a+b|.推论2:||a|-|b||≤|a-b|.(2)三个正数的算术-几何平均不等式:如果a,b,c∈R+,那么𝑎+𝑏+𝑐3≥𝑎𝑏𝑐3,当且仅当a=b=c时等号成立.(3)基本不等式(基本不等式的推广):对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均值不小于它们的几何平均值,即𝑎1+𝑎2+…+𝑎𝑛𝑛≥𝑎1·𝑎2·…·𝑎𝑛𝑛,当且仅当a1=a2=…=an时等号成立.(4)一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(𝑎12+𝑎22+…+𝑎𝑛2)(𝑏12+𝑏22+…+𝑏𝑛2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.2.证明不等式的常用方法(1)比较法;(2)综合法与分析法;(3)反证法和放缩法;(4)数学归纳法.3.放缩的常用方法(1)放大或缩小分母:对于分子分母均取正值的分式,如需放大,则只要把分子放大或分母缩小;如需缩小,则只要把分子缩小或分母放大.(2)添加或舍弃一些正项(或负项):证明不等式时,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证明的目的.如:22𝑘=2𝑘+𝑘=1𝑘2𝑘+𝑘-1,1𝑘2𝑘+𝑘+1(k∈N*,k1),𝑘+1−𝑘=1𝑘+1+𝑘12𝑘等.如:𝑎2+1|a|,𝑛(𝑛+1)n;a+122+34a+122;(3)利用常用的结论:如:1𝑘21𝑘(𝑘-1)=1𝑘-1−1𝑘;1𝑘21𝑘(𝑘+1)=1𝑘−1𝑘+1(程度大);1𝑘21𝑘2-1=1(𝑘-1)(𝑘+1)=121𝑘-1-1𝑘+1(程度小);n𝑛(𝑛+1)2𝑛+12.(4)利用基本不等式:如:𝑛(𝑛+1)𝑛+(𝑛+1)2.四、含绝对值不等式的恒成立问题的解题规律1.根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值,转化为分段函数,然后利用数形结合解决.2.巧用“||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值.(1)求|a|-|b|的范围:若a±b为常数M,可利用||a|-|b||≤|a±b|⇔-|M|≤|a|-|b|≤|M|确定范围.(2)求|a|+|b|的最小值:若a±b为常数M,可利用|a|+|b|≥|a±b|=|M|,从而确定其最小值.3.f(x)a恒成立⇔f(x)maxa,f(x)a恒成立⇔f(x)mina.考点1考点2考点3解:(1)当a=2时,不等式为|x-2|+|x-1|≥7,所以𝑥1,2-𝑥+1-𝑥≥7,或1≤𝑥≤2,2-𝑥+𝑥-1≥7,或𝑥2,𝑥-2+𝑥-1≥7,所以不等式的解集为(-∞,-2]∪[5,+∞).(2)f(x)≤1即|x-a|≤1,解得a-1≤x≤a+1,而f(x)≤1的解集是[0,2],所以𝑎-1=0,𝑎+1=2,解得a=1.绝对值不等式的解法例1设函数f(x)=|x-a|.(1)当a=2时,解不等式f(x)≥7-|x-1|;(2)若f(x)≤1的解集为[0,2],求a的值.考点1考点2考点3考点1考点2考点3对应训练1已知函数f(x)=13|x-a|(a∈R).(1)当a=2时,解不等式𝑥-13+f(x)≥1;(2)设不等式𝑥-13+f(x)≤x的解集为M,13,12⊆M,求实数a的取值范围.考点1考点2考点3解:(1)当a=2时,原不等式可化为|3x-1+|x-2|≥3.①当x≤13时,原不等式可化为-3x+1+2-x≥3,解得x≤0,此时得不等式的解集为{x|x≤0}.②当13x2时,原不等式可化为3x-1+2-x≥3,解得x≥1,此时得不等式的解集为{x|1≤x2}.③当x≥2时,原不等式可化为3x-1+x-2≥3,解得x≥32,此时得不等式的解集为{x|x≥2}.综上所述,当a=2时,不等式可化为𝑥-13+f(x)≥1的解集为{x|x≤0或x≥1}.考点1考点2考点3(2)不等式𝑥-13+f(x)≤x⇔|3x-1|+|x-a|≤3x,因为不等式的解集包含13,12,所以不等式3𝑥-1+𝑥-𝑎≤3x在13,12上恒成立,所以不等式3𝑥-1+𝑥-𝑎≤3x⇔3x-1+𝑥-𝑎≤3x,所以可得𝑥-𝑎≤1,即a-1≤x≤a+1,所以𝑎-1≤13,𝑎+1≥12,解得-12≤a≤43,即实数a的取值范围是-12,43.考点1考点2考点3不等式的证明例2(2019湖北黄冈段考)已知函数f(x)=|x+3|+|x-1|,其最小值为t.(1)求t的值;(2)若正实数a,b满足a+b=t,求证:1𝑎+4𝑏≥94.(1)解:因为|x+3|+|x-1|=|x+3|+|1-x|≥|x+3+1-x|=4,所以f(x)min=4,即t=4.(2)证明:由(1)得a+b=4,故𝑎4+𝑏4=1,1𝑎+4𝑏=1𝑎+4𝑏𝑎4+𝑏4=14+1+𝑏4𝑎+𝑎𝑏≥54+2𝑏4𝑎×𝑎𝑏=54+1=94,当且仅当b=2a,即a=43,b=83时取等号,故1𝑎+4𝑏≥94.考点1考点2考点3考点1考点2考点3对应训练2(2019贵州贵阳高三5月适应性考试)(1)若a0,b0,求证:𝑚2𝑎+𝑛2𝑏≥𝑚+𝑛2𝑎+𝑏;(2)若α≠𝑘π2,k∈Z,且cos4𝛽sin2𝛼+sin4𝛽cos2𝛼≥-𝑥+𝑚−𝑥-1+3对于x∈R恒成立,求实数m的取值范围