胡海岩机械振动基础第一章课件

1第一章单自由度系统的振动振动工程研究所振动分类（自由度）•单自由度•多自由度（有限自由度）－大自由度•连续体（无限自由度）振动工程研究所振动分类（运动特点）•简谐振动•周期振动（可分解为若干简谐振动之和）•非周期确定性振动（可分解为无限个简谐振动之和）*概周期振动*一般确定性运动•随机振动•混沌振动振动工程研究所研究的起点----单自由度系统的确定振动•是以后研究复杂系统的基础。•有助于理解实际工程振动问题。•很多实际问题可简化为单自由度问题。振动工程研究所1.0.1简谐振动的表示•三要素：振幅、频率、相位（概念复习）简谐振动的三种表示法–三角函数法1.0振动的描述utat()sin()0)()sin()(20020tutatu)2sin()(00tatu注意位移、速度、加速度之间得相位关系振动工程研究所–复数法ImImImQuatPReReReaaaaabc000002OOO0)j(jj00ttaeeaez旋转向量法（几何法）——纵轴投影振动工程研究所复数法的位移、速度、加速度关系)j(jj00ttaeeaez2/)2/(0)(000jtjtjejaeaejzjtjtjeaeaez1)(20)(2000振动工程研究所三种表示法的差异三角函数最直接、最常用。旋转向量法是三角函数几何表示，用得不多，直观。复数法与三角函数是一致的。向Y轴投影取虚部振动工程研究所•简谐振动的合成频率相同的两简谐振动合成后仍为简谐振动，且频率不变。)sin()Im(})]sinsin(j)coscosIm{[(]Im[)()()(0jjj22112211)(j2)(j121002010taeaeeaaaaeaeatutututttt)sin()()sin()(20221011tatutatu用复数法振动工程研究所•不同频率的简谐振动的合成不再是简谐振动1.周期振动(频率可通约))sin()()sin()(22221111tatutatunm21nTmTTnmTT21012,)()()()()()(2122110tututunTtumTtuTtu证明关键整数倍数振动工程研究所)](2sin[)()22sin()22cos(2)(1212121212tttattatu2.调制信号——用高频传递低频信号024681012-4-2024utu1+u2a(t)F1F2F3两个振幅相同，而相位不同、频率接近且可通约的谐振动合成振动工程研究所几个概念•拍:周期振动的一种•拍频:注意是拍的节律,不是包络线频率(差一倍)•包络线:有两条振动工程研究所024681012-4-2024utu1+u2a(t)F1F2F3ataaaattataat()cos[()()]()tansin[()()]cos[()()]122212212111221211221212atatdef()cos()22221212)(21t两个振幅、相位、频率都不同的谐振动合成同振幅谐振动的包络线通过零点。由两个频率接近的简谐振动合成的拍是一种普遍的物理现象。振动工程研究所李沙育（Lissajous）图•振动方向相互垂直的简谐振动合成•示波器观测频率与象位的传统工具振动工程研究所1.1单自由度系统振动方程•振动系统的组成三要素：质量，刚度，阻尼必须要素•振动系统的数学模型:运动方程（力平衡给出方程）kmcu(t)f(t))()()()(tftuktuctum振动工程研究所ffuuk21fs•弹性恢复力与弹簧两端的相对位移（变形）成正比，方向相反。•弹簧受力有势能；松弛完全放势能（无阻尼）。ftktkututsdef()()[()()]12方程中的弹性项振动工程研究所•粘性阻尼力与物体在介质中的相对运动速度成正比，方向相反。（最简阻尼形式）ftutuctfd)]()([)(212u1udff方程中的阻尼项振动工程研究所•根据D’Alembert原理（动静转换），质量块（无变形）提供与外力大小相同、方向相反的惯性力umfmuftftmutm()()()方程中的惯性项振动工程研究所建模步骤•建立坐标系原点为静止点坐标正向为标示外力方向•分离体法（材力，结力）对质点标明惯性力、弹性力、阻尼力•力平衡达朗贝尔原理振动工程研究所由繁入简方程分类•单自由度系统振动方程•自由振动方程——无外激励偏离静平衡初始条件•无阻尼自由振动方程略去阻尼突出自由振动的特点)()()()(tftuktuctum0)()()(tuktuctum0)()(tuktum振动工程研究所1.2无阻尼单自由度系统的自由振动0)()(tkutum&&00)0(,)0(uuuu方程初始条件(定解条件)注意特点二阶常系数齐次方程振动工程研究所解的形式与试探解微分方程解=通解（+特解）utuest()0)(2ukms（1）试探解的提出与代入（2）用初始条件定系数数学理论实际经验振动工程研究所因为,故得到有特征方程（以s为变量的代数方程）特征解（根）为其中为固有圆频率.或固有频率（固有周期？）msk200usnjndefkmHz21mkfdefn振动工程研究所自由运动方程的通解可取为:或其中或为积分常数。由初始条件定。无阻尼系统的自由振动是简谐振动utatn()sin()utatatnn()cossin1221,aa,aauuuunn0202100(),tanauaun1020,振动工程研究所无阻尼自由振动的时间域响应(时间历程)可表达为或utututnnn()cossin00)tansin()()(0012020uutuutunnn（易记忆）振动工程研究所ffkufku2211uf1u23u2kk1两个并联弹簧刚度增加,两个串联弹簧刚度削弱,kfkk12kkkkk1212刚度元件的串并联振动工程研究所例:升降机钢丝绳中最大张力0vmk0v振动工程研究所uuv0000,nkm解：初始条件方程固有频率振幅auuvvmknn020200()Tkavmk20由振动而引起的钢丝绳中最大动张力为钢丝绳中总张力的最大值是TTTmgvmk1200kuum振动工程研究所1.3等效单自由度系统•物理系统多样数学模型唯一(等效性)•工程实际简化例子汽车乘员抗颠簸性研究翼尖挂弹环境研究摩天轮刹车性能研究振动工程研究所摆•振动系统中不存在弹性元件，恢复力由摆锤重力提供。(势能提供者为重力，地球是储能元件)0)(sin)(tlgtlmO0)(sin)(2tmgltml动力矩方程或力矩平衡方程sin振动的幅度很小时振动工程研究所小角度简化方程为0)()(tlgt系统振动的固有频率lgn周期与摆线长关系22π4ngTl振动工程研究所!7!5!3sin75318.107.102.110TT0)(6)()(3tlgtlgt系统振动的Duffin方程周期误差与角度关系2360大角度简化方法振动工程研究所刚体摆质量为m，质心C距铰中心O距离为lOlCmg绕固定铰使用动量矩定理00Jmgl考虑小角度条件sin固有频率及固有周期00,2πnnJmglTJmgl振动工程研究所与材料力学联系单自由度扭振GIlkT假定盘和轴都为均质体，不考虑轴的质量。设扭矩作用在盘面，此时圆盘产生一角位移，TlGI4π32dI其中定义轴的扭转刚度为TTGIkl振动工程研究所扭转振动方程扭转振动固有频率0TJkTnkJ系统对初始扰动的自由振动响应tttnnnsin)0(cos)0()(振动工程研究所梁横向振动例：简支梁的横向振动，假设系统的质量全部集中在梁的中部，取梁的中部挠度作为系统的位移，静态挠度：等效刚度348lEIPkePEIl22l振动工程研究所系统自由振动方程为0)()(tuktume振动固有频率348mlEImken悬臂梁、固支梁情况类似，关键在于确定自由度与给出等效刚度振动工程研究所*用能量法确定固有频率)cos()(),sin()(00tutututunnn根据机械能守恒条件可得TVmaxmax固有振动是简谐振动，其位移和速度分别为（一种简单方法，也可发展用于近似求多自由度系统固有特性）振动工程研究所20ref21muTdefnVT2maxrefmax20202max212VkumuTn右端称作Rayleigh商，计算系统固有频率的方法其中参考动能：参考动能求法：将最大动能中的速度项换成位移项既成参考动能。振动工程研究所半径为r、质量为m的圆柱体在半径为R的内圆柱面上绕最低点作纯滚动，试求其微振动的固有频率。ROACBrvc例圆柱体的微振动解：设圆柱体作纯滚动，圆柱体的动能是TmvJmRrcc1212342222()重力势能为VmghmgRr122()VmgRrTmRrmmmax(),()1234222ref由Rayleigh商得系统固有频率为nVTgRrmax()ref23关键是确定便于建模的独立自由度，简化三角函数振动工程研究所*弹性元件的分布质量及其简化（1）假设速度分布（2）计算分布质量动能（3）根据动能相等计算等效集中质量例：一端固定弹簧，以自由端为分析自由度弹簧上距固定端x处点的位移：ulxxv)(微段弹簧质量：222021321)(21uMumdxxvlmTssslsdxlms动能：振动工程研究所等效质量：3ssmM振动工程研究所无阻尼单自由度系统求解目的•求固有特性（固有频率，周期）（主要目的）•研究极小阻尼下响应振动工程研究所1.4粘性阻尼单自由度系统的自由振动求解初值问题：mutcutkutuuuu()()()(),()00000utuest()mscsk20它的解具有如下形式非平凡解特征方程含阻尼元件：线性阻尼无外激励平凡解0u振动工程研究所defncmkcm22snn1221,scmcmkm12222,()解出一对特征根阻尼比定义固有频率mkdefn阻尼比不同，解形式不同。振动工程研究所（1）过阻尼情况，特征根是一对互异实根1utaeaenntt()()()112122引入初始条件01212021)1()1()0()0(uaauuaaunn积分常数12)1(20201nnuua12)1(20202nnuua振动工程研究所])1()1([)(2221tshatchaetunntn指数衰减振动工程研究所（2）临界阻尼情况，特征根是一对相等的实根1sn12,utaatent()()12引入初始条件0021201)()0()0(utaaeeauuauttntnn积分常数01ua002uuan振动工程研究所-1.0-0.50.00.51.0a420-nt-te-nte=1.0untF1F2F3振动工程研究所（3）欠阻尼情况（）,01snn1221,