材料中的扩散

第五章材料中的扩散四川理工学院材料系杨瑞嵩2020/2/22TheFundamentalofMaterialsScienceDr.R.S.Yang2020/2/22Chapter5DiffusionWhyStudyDiffusion？我们常采用热处理（heattreatment）来提高材料的性能，而在热处理过程中总是伴随着原子的扩散（atomicdiffusion）。有时候需要增强原子扩散，而有时候需要抑制原子扩散。利用扩散数学公式及适当的扩散常数（diffusionconstant）可以预测热处理的温度、时间和冷却速率。扩散对于材料的加工过程具有重要影响！TheFundamentalofMaterialsScienceDr.R.S.Yang2020/2/22Chapter5DiffusionWhyStudyDiffusion？经过表面硬化处理（casehardening）后的齿轮表层和内部颜色存在明显差异TheFundamentalofMaterialsScienceDr.R.S.Yang2020/2/22Chapter5Diffusion§5.0概述由热运动导致原子或分子在介质中迁移的现象叫扩散。是固体中质量传输的唯一途径；是影响材料的微观组织（micro-structure）和性能（property）的重要过程因素。扩散研究解决两个问题：扩散速率及其宏观规律。扩散微观机理，即扩散过程中原子或分子的具体迁移方式。TheFundamentalofMaterialsScienceDr.R.S.Yang2020/2/22Chapter5Diffusion§5.0概述扩散的分类（1）根据有无浓度变化自扩散：原子经由自己元素的晶体点阵而迁移的扩散。(如纯金属或固溶体的晶粒长大-无浓度变化。)互扩散：原子通过进入对方元素晶体点阵而导致的扩散。有浓度变化。（2）根据扩散方向下坡扩散：原子由高浓度处向低浓度处进行的扩散。上坡扩散：原子由低浓度处向高浓度处进行的扩散。（3）根据是否出现新相原子扩散：扩散过程中不出现新相。反应扩散：由此导致形成一种新相的扩散。TheFundamentalofMaterialsScienceDr.R.S.Yang2020/2/22Chapter5Diffusion§5.0概述扩散机制：间隙原子的扩散：←间隙式扩散机制置换式固溶体中的扩散：←空位扩散机制扩散问题的研究方法：表象理论：通过一些宏观测量参数来描述扩散过程；原子理论：通过研究扩散的微观机制来研究扩散过程。TheFundamentalofMaterialsScienceDr.R.S.Yang2020/2/22Chapter5Diffusion§5.1扩散定律及其应用扩散定律：也称菲克(A.Fick)定律，阐述在各向同性介质中扩散过程的定量关系。§5.1.1菲克第一定律（Fick’sfirstlaw）为了描述扩散过程，引入扩散通量和浓度梯度。TheFundamentalofMaterialsScienceDr.R.S.Yang2020/2/22Chapter5DiffusionDiffusionflux(J),definedasthemass(or,equivalently,thenumberofatoms)Mdiffusingthroughandperpendiculartoaunitcross-sectionalareaofsolidperunitoftime.Concentrationversusdistance→concentrationprofile，theslopeataparticularpointistheconcentrationgradient.TheFundamentalofMaterialsScienceDr.R.S.Yang2020/2/22Chapter5Diffusion§5.1扩散定律及其应用A，面积；t，时间J不随时间而改变，稳态扩散（steady-statediffusion）/dMJMAtJAdtABABCCdCCconcentrationgradientdxxxxTheFundamentalofMaterialsScienceDr.R.S.Yang2020/2/22Chapter5Diffusion§5.1扩散定律及其应用菲克第一定律（Fick’sFirstLaw）在单位时间内通过垂直扩散方向的单位截面积的扩散物质量（扩散通量）与该截面处的浓度梯度成正比。简便起见，仅考虑单向扩散问题。设扩散沿x轴方向进行，有数学表达式：CJDx扩散通量的量纲：[J]=kg·m-2·s-1或mol·m-2·s-1负号表示扩散方向与浓度梯度方向C/x相反D称为扩散系数（diffusioncoefficient）TheFundamentalofMaterialsScienceDr.R.S.Yang2020/2/22Chapter5Diffusion菲克第一定律（Fick’sFirstLaw）设原子的跳动频率为(单位时间内的跳动次数)。1111()166CAtJCAt在△t时间内，2221()166CAtJCAt12121()6JJJCC211CCCCdxCxx又＋＋216CCJDxx(Fick’sFirstLaw)D:扩散系数。单位：m2.s-1。①②J1J2C1C2TheFundamentalofMaterialsScienceDr.R.S.Yang2020/2/22Chapter5Diffusion§5.1扩散定律及其应用菲克第二定律（Fick’ssecondlaw）非稳态扩散，即扩散过程中各点的浓度随时间变化，则菲克第一定律将不适用，此时需要菲克第二定律。Concentrationprofilesfornonsteady-statediffusiontakenatthreedifferenttimes,t1,t2,andt3.TheFundamentalofMaterialsScienceDr.R.S.Yang2020/2/22Chapter5Diffusion菲克第二定律当扩散过程是非稳态扩散，即扩散过程中各点的浓度随时间变化，则菲克第一定律将不适用，此时需要菲克第二定律。沿扩散方向取一个小的体积元，其厚度为dx，截面积为A。设dt时间内流入、流出此小体积元的扩散通量分别为J1和J2，则：1JAdt12JAdtJAdtCAdx(Fick’sSecondLaw)dxJ1J2A流入体积元内物质的量为：2JAdt流出体积元内物质的量为：∴体积元内浓度的改变为：12JJCtdx21JdxJJdxx很小，()CJCDtxxxTheFundamentalofMaterialsScienceDr.R.S.Yang2020/2/22Chapter5Diffusion§5.1.3扩散方程的求解菲克第二定律：通常扩散系数D是成分的函数。但为了数学上处理的方便，在很多情况下可以忽略成分对D的影响，近似认为D为常数。则菲克第二定律可化为：()CCDtxx22CCDtx扩散方程偏微分方程①变量代换法②分离变量法③积分变换法常微分方程代数方程偏微分方程的求解：TheFundamentalofMaterialsScienceDr.R.S.Yang2020/2/22Chapter5Diffusion变量代换法求解扩散方程2xDt玻尔兹曼变换：3/22422CCxCxCCttttDtDt2222221111()()()4222CCCCCCCCCxxxxxxDtDtDtDt22124CCDtDt将上式待入扩散方程，可得：2220dCdCdd常微分方程22CCDtxTheFundamentalofMaterialsScienceDr.R.S.Yang2020/2/22Chapter5Diffusion变量代换法求解扩散方程2220dCdCdd20dyyd()dCyd设21exp()yA21exp()dCAd2120exp()CAdA2exp()xy0高斯误差函数：20exp()2d广义积分：202()exp()erfd()()()1()erferferf奇函数易知：TheFundamentalofMaterialsScienceDr.R.S.Yang2020/2/22Chapter5Diffusion由表中可以看出，高斯误差函数收敛的很快。这主要是因为exp(-2)函数很快下降到0。TheFundamentalofMaterialsScienceDr.R.S.Yang2020/2/22Chapter5Diffusion变量代换法求解扩散方程12()()CAerfA至此，可得扩散方程的解为：12()()22xxCAerfADtDt或：其中A1、A2为待定常数，可通过边界条件和初始条件定出。扩散方程解的应用：固定t：可求出时刻t时，沿扩散方向上各点的浓度分布；固定x：可求出扩散过程中，x位置处的浓度随时间的变化。注意:变量代换法求解扩散方程虽然简单，但它只适用于求解具有特殊的边界条件的扩散问题，如无限长，边界处成分固定等。对于一般边界条件的扩散问题，需要用分离变量法或积分变换法进行求解。这一点大家有兴趣的话可以自己查资料。TheFundamentalofMaterialsScienceDr.R.S.Yang2020/2/22Chapter5Diffusion无限长扩散偶的扩散问题C2C1C2C1t=0Cxx0讨论：①x=0处，122112(0,)(0)222CCCCCCCterf保持不变②对于x0，则121(,)~2CCCxtC介于之间对于x0，则122(,)~2CCCxtC介于之间③对于x0，t↑→↓→erf()↓→C↑对于x0，t↑→↑→erf()↑→C↓t2t11221(,)()222CCCCxCxterfDt122CC§5.1.3扩散方程的求解TheFundamentalofMaterialsScienceDr.R.S.Yang2020/2/22Chapter5Diffusion§5.1.3扩散方程的求解一端成分不变的扩散问题（此问题可作为渗碳过程的简单模型）C0Csx0s00,,xCCxCC=边界条件:t0,12()()(=)2xCAerfADt边界条件用作变量可表示为：122120120(0)()ssAerfACACAerfACAAC102;ssACCAC0(,)()()2ssxCxtCCCerfDt00,(),()sCCCCx0CCsC0t=0t1t2TheFundamentalofMaterialsScienceDr.R.S.Yang2020/2/22Chapter5Diffusion§5.1.3扩散方程的求解一端成分不变的扩散问题C0Csx00(,)()()2ssxCxtCCCerfDtx0CCsC0t=0t1t2讨论：某一成分Cf达到某一深度x所需要的时间。Cfx1x20()()2fssxCCCCerfDt0()()2sfsCCxerfCCDtB2fxCDt确定，则查表可定出24xxtt,如果希望深度扩大一倍，即则01)222sfCCxCDt特别的=，erf(122xxDtDt：查表可知TheFundamentalofMaterialsScienceDr