【步步高】2017版高考数学一轮复习-第三章-导数及其应用-3.2-导数的应用-课时1-导数与函数的

§3.2导数的应用课时1导数与函数的单调性内容索引题型一不含参数的函数的单调性题型二含参数的函数的单调性题型三利用函数单调性求参数思想与方法系列练出高分思想方法感悟提高题型一不含参数的函数的单调性题型一不含参数的函数的单调性例1求函数f(x)＝lnxx的单调区间.解函数f(x)的定义域为(0，＋∞).当f′(x)0，即0xe时，函数f(x)单调递增；当f′(x)0，即xe时，函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞).因为f(x)＝lnxx，所以f′(x)＝1－lnxx2.解析答案思维升华令y′≤0，得0x≤1，∴递减区间为(0,1].(0,1]函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为_______.解析y＝12x2－lnx，y′＝x－1x＝x2－1x＝x－1x＋1x(x0).跟踪训练1解析答案返回题型二含参数的函数的单调性例2已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a0).(1)若函数y＝f(x)的导函数是奇函数，求a的值；解函数f(x)的定义域为R.∵函数y＝f(x)的导函数是奇函数，∴f′(－x)＝－f′(x)，题型二含参数的函数的单调性由已知得f′(x)＝exex＋1－a.即e－xe－x＋1－a＝－exex＋1＋a，解得a＝12.解析答案(2)求函数y＝f(x)的单调区间.解析答案思维升华讨论函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1的单调性.跟踪训练2解析答案返回题型三利用函数单调性求参数例3设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)求b，c的值；解f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得f0＝1，f′0＝0，即c＝1，b＝0.题型三利用函数单调性求参数解析答案(2)若a0，求函数f(x)的单调区间；解由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a0)，当x∈(－∞，0)时，f′(x)0；当x∈(0，a)时，f′(x)0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a).解析答案(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.解g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋20成立，即x∈(－2，－1)时，a(x＋2x)max＝－22，当且仅当x＝2x即x＝－2时等号成立.所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－22).解析答案在本例3(3)中，1.若g(x)在(－2，－1)内为减函数，如何求解？引申探究解析答案2.若g(x)的单调减区间为(－2，－1)，求a的值.解∵g(x)的单调减区间为(－2，－1)，∴x1＝－2，x2＝－1是g′(x)＝0的两个根，∴(－2)＋(－1)＝a，即a＝－3.解析答案∴函数g(x)在(－2，－1)上单调时，a的取值范围是(－∞，－3]∪[－22，＋∞)，故g(x)在(－2，－1)上不单调，实数a的取值范围是(－3，－22).3.若g(x)在(－2，－1)上不单调，求a的取值范围.解由引申探究1知g(x)在(－2，－1)上为减函数，a的范围是(－∞，－3]，若g(x)在(－2，－1)上为增函数，可知a≥x＋2x在(－2，－1)上恒成立，又y＝x＋2x的值域为(－3，－22]，∴a的范围是[－22，＋∞)，解析答案思维升华解f′(x)＝exlnx＋ex·1x－aex＝(1x－a＋lnx)ex，f′(1)＝(1－a)e，由(1－a)e·1e＝－1，得a＝2.已知函数f(x)＝exlnx－aex(a∈R).(1)若f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y＝1ex＋1垂直，求a的值；跟踪训练3解析答案(2)若f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围.解析答案返回思想与方法系列典例(14分)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴.(1)确定a与b的关系；(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性.思维点拨依据g(x)的切线条件可得g′(1)＝0得a，b关系，代g(x)后消去b，对a进行分类讨论确定g′(x)的符号.思想与方法系列5.分类讨论思想研究函数的单调性思维点拨解析答案返回温馨提醒思想方法感悟提高1.已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)0，f′(x)0的解区间，并注意定义域.2.含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性.3.已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决.方法与技巧1.f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.2.注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别.3.讨论函数单调性要在定义域内进行，不要忽略函数的间断点.失误与防范返回练出高分1234567891011121314151.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是_________.解析函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex0，解得x2.(2，＋∞)解析答案2.若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为__________.解析∵f′(x)＝6x2－6mx＋6，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋1x恒成立.令g(x)＝x＋1x，g′(x)＝1－1x2，∴当x2时，g′(x)0，即g(x)在(2，＋∞)上单调递增，∴m≤2＋12＝52.(－∞，52]123456789101112131415解析答案3.设函数f(x)＝x－2sinx是区间t，t＋π2上的减函数，则实数t的取值范围是_____________________.解析由题意得f′(x)＝1－2cosx≤0，即cosx≥12，解得2kπ－π3≤x≤2kπ＋π3(k∈Z)，∵f(x)＝x－2sinx是区间t，t＋π2上的减函数，∴t，t＋π2⊆2kπ－π3，2kπ＋π3，∴2kπ－π3≤t≤2kπ－π6(k∈Z).2kπ－π3，2kπ－π6，k∈Z123456789101112131415解析答案4.定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)f(x)恒成立，若x1x2，的大小关系为________________.解析设g(x)＝fxex，12e则与xfx21exfx则g′(x)＝f′xex－fxexex2＝f′x－fxex，由题意g′(x)0，所以g(x)单调递增，当x1x2时，g(x1)g(x2)，即1212()()ee，xxfxfx所以1221ee.xxfxfx1221eexxfxfx123456789101112131415解析答案解析依题意得，当x1时，f′(x)0，f(x)为增函数；cab5.函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)0，设a＝f(0)，b＝f(12)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为_______.又f(3)＝f(－1)，且－10121，因此有f(－1)f(0)f(12)，即有f(3)f(0)f(12)，cab.123456789101112131415解析答案6.函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为______.解析函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1x＝x－1x，令f′(x)0，解得0x1，所以单调递减区间是(0,1).(0,1)123456789101112131415解析答案7.已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围是________.123456789101112131415解析答案8.已知函数f(x)＝3xa－2x2＋lnx(a0).若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，则a的取值范围是________.123456789101112131415解析答案9.已知函数f(x)＝x4＋ax－lnx－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.(1)求a的值；解对f(x)求导得f′(x)＝14－ax2－1x，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x知f′(1)＝－34－a＝－2，解得a＝54.123456789101112131415解析答案(2)求函数f(x)的单调区间.解由(1)知f(x)＝x4＋54x－lnx－32，则f′(x)＝x2－4x－54x2.令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去.当x∈(0,5)时，f′(x)0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数.综上，f(x)的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5).123456789101112131415解析答案10.已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12ax＋b.(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；解由已知得f′(x)＝1x，∴f′(1)＝1＝12a，a＝2.又∵g(1)＝0＝12a＋b，∴b＝－1，∴g(x)＝x－1.123456789101112131415解析答案即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，(2)若φ(x)＝mx－1x＋1－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围.解∵φ(x)＝mx－1x＋1－f(x)＝mx－1x＋1－lnx在[1，＋∞)上是减函数.∴φ′(x)＝－x2＋2m－2x－1xx＋12≤0在[1，＋∞)上恒成立.则2m－2≤x＋1x，x∈[1，＋∞)，∵x＋1x∈[2，＋∞)，∴2m－2≤2，m≤2.故实数m的取值范围是(－∞，2].123456789101112131415解析答案11.设函数f(x)＝12x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是_______.解析∵f(x)＝12x2－9lnx，∴f′(x)＝x－9x(x0)，当x－9x≤0时，有0x≤3，即在(0,3]上原函数是减函数，∴a－10且a＋1≤3，解得1a≤2.1a≤2123456789101112131415解析答案12.已知f(x)是可导的函数，且f′(x)f(x)对于x∈R恒成立，则下列关系正确的是________.①f(1)ef(0)，f(2016)e2016f(0)；②f(1)ef(0)，f(2016)e2016f(0)；③f(1)ef(0)，f(2016)e2016f(0)；④f(1)ef(0)，f(2016)e2016f(0).123456789101112131415解析答案13.若函数f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax在[23，＋∞)上存在单调递增区间，则a的取值范围是_____________.解析对f(x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－(x－12)2＋14＋2a.当x∈[23，＋∞)时，f′(x)的最大值为f′(23)＝29＋2a.令29＋2a0，解得a－19.所以a的取值范围是(－19，＋∞