2012辽宁省高考数学试题(文科)答案与解析

2012年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供文科考生使用)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。（1）已知向量a=(1,—1)，b=(2,x).若ab=1,则x=(A)—1(B)—12(C)12(D)1【命题意图】本题主要考查向量的数量积，属于容易题。【解析】21,1abxx，故选D（2）已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则()()UUCACB=(A){5,8}(B){7,9}(C){0,1,3}(D){2,4,6}【答案】B【解析一】因为全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，所以9,7,3,1,0,9,7,6,4,2BCACUU，所以)()(BCACUU{7,9}。故选B【解析二】集合)()(BCACUU即为在全集U中去掉集合A和集合B中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选B【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于容易题。采用解析二能够更快地得到答案。（3）复数11i(A)1122i(B)1122i(C)1i(D)1i【答案】A【解析】11111(1)(1)222iiiiii，故选A【点评】本题主要考查复数代数形式的运算，属于容易题。复数的运算要做到细心准确。（4）在等差数列{na}中，已知48aa=16，则210aa=(A)12(B)16(C)20(D)24【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力，属于容易题。【解析】48111(3)(7)210,aaadadad21011121048()(9)210,16aaadadadaaaa，故选B（5）已知命题122121:,,--0pxxRfxfxxx，则p是A．122121,,--0xxRfxfxxxB．122121,,--0xxRfxfxxxC．122121,,--0xxRfxfxxxD．122121,,--0xxRfxfxxx【命题意图】本题主要考查全称命题的否定，是容易题.【解析】全称命题的否定形式为将“”改为“”，后面的加以否定，即将“2121--0fxfxxx”改为“2121--0fxfxxx”，故选C.（6）已知sincos2，(0，π)，则sin2=(A)1(B)22(C)22(D)1【命题意图】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。【解析】2sincos2,(sincos)2,sin21,故选A（7）将圆222410xyxy平分的直线是（A）10xy（B）30xy（C）10xy（D）30xy【命题意图】本题主要考查直线和圆的方程，难度适中。【解析】圆心坐标为（1，2），将圆平分的直线必经过圆心，故选C（8）函数21ln2yxx的单调递减区间为（A）（1,1]（B）（0,1]（C.）[1，+∞）（D）（0，+∞）【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。【解析】211ln,,00,02yxxyxyxxxx由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故选B（9）设变量,xy满足-100+20015xyxyy，则2+3xy的最大值为A．20B．35C．45D．55【命题意图】本题主要考查简单线性规划，是中档题.【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点5,15A时，2+3xy的最大值为55，故选D.（10）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是(A)4(B)32(C)23(D)1【命题意图】本题主要考查程序框图中的循环结构、以及运算求解能力，属于中档题。此类题目如果数值较少也可直接算出结果，如果数值很多需要通过计算确定出周期再根据周期确定最后的结果。此题中数值的周期为4【解析】根据程序框图可计算得24,1;1,2;,3;3sisisi3,4;4,5;1,6,2sisisi，故选D（11）在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为:(A)16(B)13(C)23(D)45【命题意图】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，属于中档题。【解析】设线段AC的长为xcm，则线段CB的长为(12x)cm,那么矩形的面积为(12)xxcm2，由(12)20xx，解得210x。又012x，所以该矩形面积小于32cm2的概率为23，故选C（12）已知P,Q为抛物线22xy上两点，点P,Q的横坐标分别为4，2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为(A)1(B)3(C)4(D)8【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由2212,,,2xyyxyx则所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为48,22,yxyx联立方程组解得1,4,xy故点A的纵坐标为4【点评】曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.【命题意图】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，高位1，所以该几何体的体积为3411112【点评】本题解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出体积。（14）已知等比数列｛na｝为递增数列.若1a＞0,且212()5nnnaaa2,则数列｛na｝的公比q=_____________________.【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。【解析】22121,2(1)5,,222()52(1)5nnnnnaqaqqqaaaqq解得或因为数列为递增数列，且10,1,2aqq所以（15）已知双曲线221xy,点12,FF为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若1PF⊥2PF,则∣1PF∣+∣2PF∣的值为___________________.【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。【解析】由双曲线的方程可知121,2,22,acPFPFa22112224PFPFPFPF22212121221212,(2)8,24,()8412,23PFPFPFPFcPFPFPFPFPFPF【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。（16）已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23正方形。若PA=26,则△OAB的面积为______________.【命题意图】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。【解析】点PABCDO、、、、为球内接长方体的顶点，14OOAB球心为该长方体对角线的中点，的面积是该长方体对角面面积的，123,266=236=334ABPAPBOABD，，面积【点评】该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱锥转化为长方体来考虑就容易多了。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）(本小题满分12分)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列。(Ⅰ)求cosB的值；(Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求sinsinAC的值。【命题意图】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。【解析】（1）由已知12=+,++=,=,cos=32BACABCBB……6分（2）解法一：2=bac，由正弦定理得23sinsin=sin=4ACB解法二：2=bac，222221+-+-=cos==222acbacacBacac，由此得22+-=,acacac得=ac所以===3ABC，3sinsin=4AC……12分【点评】第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果。（18）(本小题满分12分)如图，直三棱柱///ABCABC，90BAC，2,ABACAA′=1，点,MN分别为/AB和//BC的中点。(Ⅰ)证明：MN∥平面//AACC;(Ⅱ)求三棱锥/AMNC的体积。（椎体体积公式V=13Sh,其中S为地面面积，h为高）【命题意图】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。【解析】（1）（法一）连结','ABAC，由已知=90,=BACABAC三棱柱-'''ABCABC为直三棱柱，所以M为'AB中点.又因为N为''BC中点所以//'MNAC，又MN平面''AACC'AC平面''AACC，因此//''MNAACC平面……6分（法二）取AB的中点为P，连结MP，NP，∵,MN分别为/AB和//BC的中点，∴MP∥AA,NP∥AC,∴MP∥面AACC,NP∥面AACC,∵MPNPP,∴面MPN∥面AACC，∵MN面AACC，∴MN∥面AACC.(Ⅱ)（解法一）连结BN，由题意AN⊥BC,面ABC∩面BBCC=BC,∴AN⊥⊥面NBC，∵AN=12BC=1,∴111226AMNCNAMCNABCANBCVVVV.(解法2)111226AMNCANBCMNBCANBCVVVV【点评】第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明；第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键，也可以采用割补发来球体积。（19）(本小题满分12分)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性。(Ⅰ)根据已知条件完成下面的22列联表，并