数学高三一轮复习用书全套(1000页)

第1页课堂过关第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念(对应学生用书(文)、(理)1～2页)了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问题；了解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．①学会区分集合与元素，集合与集合之间的关系.②学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化.③集合含义中掌握集合的三要素.④不要求证明集合相等关系和包含关系．1.(必修1P7第1题改编)集合{x∈N|x5}可以用列举法表示为________．答案：{0，1，2，3，4}解析：∵x5且x∈N，∴x＝0，1，2，3，4，特别注意0∈N.2.(必修1P7第4题改编)已知集合A＝{(x，y)|－1≤x≤1，0≤y2，x、y∈Z}，用列举法可以表示集合A为________．答案：{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}解析：用集合A表示不等式组－1≤x≤1，x∈Z，0≤y2，y∈Z确定的平面区域上的格点集合，所以用列举法表示集合A为{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．3.(必修1P17第6题改编)已知集合A＝[1，4)，B＝(－∞，a)，AB，则a∈________．答案：[4，＋∞)解析：在数轴上画出A、B集合，根据图象可知．4.(必修1P7第4题改编)由x2，x组成一个集合A，A中含有2个元素，则实数x的取值不可以是________．答案：0和1解析：由x2＝x可解得．5.(必修1P17第8题改编)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为________个．答案：10解析：x＝5，y＝1，2，3，4，x＝4，y＝1，2，3，x＝3，y＝1，2，x＝2，y＝1，共10个．1.集合的含义及其表示(1)集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．(2)集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．(3)集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属第2页性分类可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．(5)常用数集及其记法：自然数集记作N；正整数集记作N或N＋；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R；复数集记作C．2.两类关系(1)元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系．(2)集合与集合之间的关系①包含关系：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记为AB或BA，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．②真包含关系：如果AB，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，读作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”．③相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A中的元素都是B中的元素且B中的元素都是A中的元素，则称这两个集合相等．(3)含有n个元素的集合的子集共有2n个，真子集共有2n－1个，非空子集共有2n－1个，非空真子集有2n－2个.题型1集合的基本概念例1已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并将这个元素写出来；(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．解：(1)若A是空集，则Δ＝9－8a＜0，解得a＞98.(2)若A中只有一个元素，则Δ＝9－8a＝0或a＝0，解得a＝98或a＝0；当a＝98时，这个元素是43；当a＝0时，这个元素是23.(3)由(1)(2)知，当A中至多有一个元素时，a的取值范围是a≥98或a＝0.变式训练下列三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．(1)它们是不是相同的集合？(2)它们的各自含义是什么？解：(1)它们是不相同的集合．(2)集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R.集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y组成的集合．由二次函数图象知y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③是函数y＝x2＋1图象上所有点的坐标组成的集合．备选变式（教师专享）已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．解：∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.题型2集合间的基本关系例2若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且BA，求由m的可取值组成的集合．解：当m＋12m－1，即m2时，B＝，满足BA；第3页若B≠，且满足BA，如图所示，则m＋1≤2m－1，m＋1≥－2，2m－1≤5，即m≥2，m≥－3，m≤3，∴2≤m≤3.故m2或2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}．变式训练已知集合A＝a，ba，1，集合B＝{a2，a＋b，0}，若A＝B，求a2014＋b2015的值．解：由于a≠0，由ba＝0，得b＝0，则A＝{a，0，1}，B＝{a2，a，0}．由A＝B，可得a2＝1.又a2≠a，则a≠1，则a＝－1.所以a2014＋b2015＝1.备选变式（教师专享）若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且SP，求由a的可取值组成的集合．解：P＝{－3，2}．当a＝0时，S＝，满足SP；当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－1a，为满足SP可使－1a＝－3或－1a＝2，即a＝13或a＝－12.故所求a的取值的集合为0，13，－12.题型3根据集合的关系求参数的取值范围例3(2015·南通期末)已知集合A＝{x|0ax＋1≤5}，集合B＝x－12x≤2.若BA，求实数a的取值范围．解：当a＝0时，显然BA；当a0时，若BA，如图，则4a≤－12，－1a2，∴a≥－8，a－12，∴－12a0；当a0时，如图，若BA，则－1a≤－12，4a≥2，∴a≤2，a≤2，∴0a≤2.综上知，当BA时，－12a≤2.备选变式（教师专享）已知A＝{－1，1}，B＝{x|x2－ax＋b＝0}．若BA，求实数a，b的值．解：∵BA＝{－1，1}，∴B＝或B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1，1}．若B＝，则方程x2－ax＋b＝0无实数根，即Δ＝(－a)2－4×1×b0，此时a24b.若B＝{－1}，则方程x2－ax＋b＝0有且只有一个实数根－1，即Δ＝(－a)2－4b＝0，且(－1)2－a×(－1)＋b＝0，此时a＝－2，b＝1.若B＝{1}时，则方程x2－ax＋b＝0有且只有一个实数根1，即Δ＝(－a)2－4b＝0，且12－a×1＋b＝0，此时a＝2，b＝1.第4页若B＝{－1，1}，则方程x2－ax＋b＝0有两个不相等的实数根－1，1，即(－1)2－a×(－1)＋b＝0，12－a×1＋b＝0，此时a＝0，b＝－1.综上所述，当a24b时，不论a，b取何值，AB；当a＝－2，b＝1或a＝2，b＝1或a＝0，b＝－1时，BA.1.(2015·南京、盐城一模)设集合M＝{2，0，x}，集合N＝{0，1}，若NM，则实数x的值为________．答案：1解析：由NM知1∈M，则x＝1.2.(2015·南师附中模拟)若A＝{a}，B＝{0，a2}，AB，则A＝________．答案：{1}解析：若a＝0，则a2＝0，B中元素不满足互异性；若a＝a2，则a＝0(舍)或a＝1(满足互异性)．3.若x∈A，则1x∈A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M＝－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．答案：3解析：具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，12，2，－1，12，2.4.已知集合M{2，3，5}，且M中至少有一个奇数，则这样的集合共有________个．答案：6解析：当M中奇数只有3时：{3}，{2，3}；当M中奇数只有5时：{5}，{2，5}；当M中奇数有3，5时：{3，5}，{2，3，5}，∴共有6个这样的集合．5.(2015·昌平期中)若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，求b－a的值．解：由{1，a＋b，a}＝0，ba，b可知a≠0，则只能a＋b＝0，则有以下对应法则：a＋b＝0，ba＝a，b＝1①或a＋b＝0，b＝a，ba＝1.②由①得a＝－1，b＝1，符合题意；②无解．∴b－a＝2.1.(2015·浙江)已知集合A{x|x2－x－20}，B＝{x|－1x1}，则A与B的关系是________．答案：BA解析：A＝{x|－1x2}，∴B真属于A.2.(2015·佛山期中)若集合A＝{－1，1}，B＝{0，2}，则集合{z︱z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为________．答案：3解析：容易看出x＋y只能取－1、1、3这三个数值．故共有3个元素.3.已知集合A＝xax－1x－a0，且2∈A，3A，则实数a的取值范围是________．第5页答案：13，12∪(2，3]解析：因为2∈A，所以2a－12－a＜0，即(2a－1)(a－2)＞0，解得a＞2或a＜12.①若3∈A，则3a－13－a＜0，即(3a－1)(a－3)＞0，解得a＞3或a＜13，所以3A时，13≤a≤3.②由①②可知，实数a的取值范围为13，12∪(2，3]．4.若集合A中有且仅有三个数1、0、a，若a2∈A，求a的值．解：若a2＝0，则a＝0，不符合集合中元素的互异性，∴a2≠0.若a2＝1，则a＝±1，∵由元素的互异性知a≠1，∴a＝－1时适合．若a2＝a，则a＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求．综上可知a＝－1.1.研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2.空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：AB，则需考虑A＝和A≠两种可能的情况．3.判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．4.已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．请使用课时训练(A)第1课时(见活页)．第6页第2课时集合的基本运算(对应学生用书(文)、(理)3～4页)理解两个集合的交集与并集的含义；会求两个简单集合的交集与并集，理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集，会用韦恩图表示集合的关系及运算．①在给定集合中会求一个子集的补集，补集的含义在数学中就是对立面.②会求两个简单集合的交集与并集；交集的关键词是“且”，并集的关键词是“或”.③会使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算；对于数集有时也可以用数轴表示．1.(必修1P13第3