中考压轴题专题分类讲座(四)抛物线与几何问题

抛物线与几何问题【知识纵横】抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：2yaxbxc(a≠0)；2、顶点式：y=a(x—h)2-＋k；3、交点式：y=a(x—x1)(x—x2)，这里x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个实根。解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。【典型例题】【例1】(浙江杭州)在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。平移二次函数2txy的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B，C两点（∣OB∣∣OC∣），连结A，B。（1）是否存在这样的抛物线F，OCOBOA2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=23，求抛物线F对应的二次函数的解析式。【思路点拨】（1）由关系式OCOBOA2来构建关于t、b的方程；(2)讨论t的取值范围，来求抛物线F对应的二次函数的解析式。【例2】(江苏常州)如图,抛物线24yxx与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.（1）求点A的坐标;（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当462682S时,求x的取值范围.【思路点拨】（3）可求得直线l的函数关系式是y=-2x，所以应讨论①当点P在第二象限时，x0、②当点P在第四象限是，x0这二种情况。【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线2x与x轴相交于点B，连结OA，抛物线2xy从点O沿OA方向平移，与直线2x交于点P，顶点M到A点时停止移动．（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M的横坐标为m,①用m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（2）构建关于PB的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点Q落在直线OA的下方时、当点Q落在直线OA的上方时讨论。【例4】（广东省深圳市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2acbxaxy的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝31．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.图9yxOEDCBAGABCDOxy图10yBOAPMx2x【思路点拨】（2）可先以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形时，求F点的坐标，再代入抛物线的表达式检验。（3）讨论①当直线MN在x轴上方时、②当直线MN在x轴下方时二种情况。（4）构建S关于x的二次函数，求它的最大值。【例5】（山东济南）已知：抛物线2yaxbxc(a≠0)，顶点C(1，3)，与x轴交于A、B两点，(10)A，．（1）求这条抛物线的解析式．（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断PMPNBEAD是否为定值?若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．（3）在(2)的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边．AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断PAEFPBEG是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【思路点拨】（2）证△APM∽△ABE，PMAPBEAB同理:PNPBADAB（3）证PH=BH且△APM∽△PBH再证△MEP∽△EGF可得。【学力训练】1、（广东梅州）如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点PCOxADPMEBNy的坐标，只需说明理由）2、（广东肇庆）已知点A（a，1y）、B（2a，y2）、C（3a，y3）都在抛物线xxy1252上.（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）当a=1时，求△ABC的面积；（3）是否存在含有1y、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.3、（青海西宁）如图，已知半径为1的1O与x轴交于AB，两点，OM为1O的切线，切点为M，圆心1O的坐标为(20)，，二次函数2yxbxc的图象经过AB，两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM的函数解析式；（3）线段OM上是否存在一点P，使得以POA，，为顶点的三角形与1OOM△相似．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．4、（辽宁12市）如图，在平面直角坐标系中，直线33yx与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线223(0)3yaxxca经过ABC，，三点．（1）求过ABC，，三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使ABP△为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得MBF△的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．5、（四川资阳）如图，已知点A的坐标是（－1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连结BD，求直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．yxOABMO1AOxyBFC6、（辽宁沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且1AB，3OB，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线2yaxbxc过点AED，，．（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点OBPQ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7、（苏州市）如图，抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴的交点为M、N．直线y＝kx＋b与x轴交于P(－2，0)，与y轴交于C．若A、B两点在直线y＝kx＋b上，且AO=BO=2，AO⊥BO．D为线段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的高．(1)OH的长度等于___________；k＝___________，b＝____________；(2)是否存在实数a，使得抛物线y＝a(x＋1)(x－5)上有一点E，满足以D、N、E为顶点的三角形与△AOB相似?若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB·PG＜210，写出探索过程．AHCBy-2MODNxPyxODECFAB参考答案【典型例题】【例1】(浙江杭州)（1）∵平移2txy的图象得到的抛物线F的顶点为Q,∴抛物线F对应的解析式为:btxty2)(.∵抛物线与x轴有两个交点，∴0bt.令0y,得tOBtb，tOCtb,∴tOCOB(|||||tb)(ttb)|2|t22|OAttb,即22tttb,所以当32tb时,存在抛物线F使得||||||2OCOBOA.--2分(2)∵BCAQ//,∴bt,得F:ttxty2)(,解得1,121txtx.在RtAOB中,1)当0t时,由||||OCOB,得)0,1(tB,当01t时,由ABOtan23||||OBOA1tt,解得3t,此时,二次函数解析式为241832xxy;当01t时,由ABOtan23||||OBOA1tt,解得t53,此时，二次函数解析式为y532x+2518x+12548.2)当0t时,由||||OCOB,将t代t,可得t53,3t,（也可由x代x，y代y得到）所以二次函数解析式为y532x+2518x–12548或241832xxy.【例2】(江苏常州)（1）∵4)2(422xxxy∴A(-2,-4)（2）四边形ABP1O为菱形时，P1(-2,4)四边形ABOP2为等腰梯形时，P1(5452，)四边形ABP3O为直角梯形时，P1(5854，)四边形ABOP4为直角梯形时，P1(51256，)（3）由已知条件可求得AB所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l的函数关系式是y=-2x①当点P在第二象限时，x0,△POB的面积xxSPOB4)2(421∵△AOB的面积84421AOBS，∴)0(84xxSSSPOBAOB∵286264S，∴286264SS即2868426484xx∴22412232Sx∴x的取值范围是22322241x②当点P在第四象限是，x0,过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′则四边形POA′A的面积44)2(21)2(224xxxxxSSSOPPAAP梯形PAAPO∵△AA′B的面积42421BAAS∴)0(84xxSSSBAAAAPO∵286264S，∴286264SS即2868426484xx∴21242223Sx∴x的取值范围是21242223x【例3】（浙江丽水）（1）设OA所在直线的函数解析式为kxy，∵A（2，4），∴42k,2k,∴OA所在直线的函数解析式为2yx（2）①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，∴2ym（0≤m≤2）.∴顶点M的坐标为(m,2m).∴抛物线函数解析式为2()2yxmm.∴当2x时，2(2)2ymm224mm（0≤m≤2）.yBOAPMx2x（第24题）∴点P的坐标是（2，224mm）.②∵PB=224mm=2(1)3m，又∵0≤m≤2，∴当1m时，PB最短（3）当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为212xy.假设在抛物线上存在点Q，使QMAPMASS.设点Q的坐标为（x，223xx）.①当点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC//AO，交y轴于点C，