平面向量的概念及运算

第27讲平面向量的概念及运算【学习目标】理解向量的概念及其几何表示，理解向量相等与共线的含义及几何意义．掌握向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、并能灵活应用．【基础检测】1．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a－b可表示为()A．3e2－e1B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e2C2．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.EFOFOEB.EFOFOEC.EFOFOED.EFOFOEB3．在△ABC中，AB＝a，AC＝b，D为BC中点，则．1()2ADab4．已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，若c∥d，则k＝____，且c与d的方向．【解析】∵c∥d则c＝λd即ka＋b＝λ(a－b)，又a与b不共线，则k＝λλ＝－1即k＝－1.－1相反5．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若ACAEAF，其中，λ，μ∈R，则λ＋μ＝.43【知识要点】1．向量的有关概念．(1)向量：叫向量，一般用a，b，c，…，来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母来表示，如：AB→.向量的大小，即向量的长度(或称模)，记作|AB→|.(2)零向量：的向量，记作0，其方向是任意的，我们规定：零向量和任何向量平行．(3)单位向量：单位长度的向量．(4)相等向量：长度相等且的向量．相等向量经过平移后总可以重合，记为a＝b.(5)平行向量：方向的非零向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上．长度为零既有大小又有方向的量长度等于1个方向相同相同或相反2．向量的加、减运算．(1)向量加、减法的定义求两个向量和的运算叫做向量的加法；若，则向量x叫做a与b的差．(2)向量加、减法的几何意义向量加法的几何意义：向量的加法符合平行四边形法则和．如图所示的向量AC＝a＋b.向量减法的几何意义：向量的减法符合．如图所示的向量BA＝a－b(以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量)．b＋x＝a三角形法则三角形法则3．向量的数乘运算．(1)数乘向量的定义实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：|λa|＝|λ||a|；当λ0时，λa与a的方向；当λ0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，λa＝.(2)数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义就是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩短．相同0(3)数乘向量的运算律设λ、μ为实数，则(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(μa)＝(λμ)a；λ(a＋b)＝λa＋λb.(4)共线向量(平行向量基本定理)若a＝λb，则a∥b；反之，若a∥b(b≠0)，则一定存在一个实数λ，使a＝λb.一、向量及其几何意义例1给出下列命题：①已知λ，μ∈R，则(λ＋μ)a与a共线；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB＝DC；⑤已知A、B、C是不共线的三点，O是△ABC内的一点，若0OAOBOC，则O是△ABC的重心；⑥O是平面内一定点，A、B、C是平面内不共线的三个点，动点P满足()ABACOPOAABAC，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的内心．其中正确命题是(填命题的序号)．①④⑤⑥【解析】①由实数与向量的积，可知其正确．②若其中一个是零向量，则其方向不确定，故不正确．③AB∥CD，AB和CD可以共线，也可以平行，故不正确．④若四边形ABCD是平行四边形，则ABCD，所以AB＝DC；若四边形ABCD中，AB＝DC，则ABCD，所以四边形ABCD是平行四边形，故正确．⑤因为0OAOBOC，所以()OAOBOC，即OBOC是与OA方向相反且长度相等的向量．如图所示，以OB、OC为相邻的两边作平行四边形BOCD，则ODOBOC，所以ODOA，在平行四边形BOCD中，设BC与OD相交于E，则BEEC，OEED.所以AE是△ABC的边BC的中线，且|OA|＝2|OE|.所以O是△ABC的重心，故正确．⑥ABAB与ACAC分别表示AB→与AC→方向的单位向量，设它们分别为'AB与'AC，设以它们为两条邻边的平行四边形是一个菱形AB′P′C′，'AP平分∠BAC，'AP＝λ('AB＋'AC)与'AP的方向相同，也平分∠BAC.由OPOAAP知P的轨迹为∠BAC的平分线，一定通过△ABC的内心，故正确．故填①④⑤⑥.【点评】(1)ABAB表示与AB同方向的单位向量．(2)向量的基本概念、几何意义常在客观题中出现，要求学生概念清晰，并能灵活运用．二、线性运算例2在△ABC中，点D在AB上，且AD∶DB＝2∶1，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，记AB＝a，AC＝b，用a，b表示向量DE、AN、DM.【解析】(如图)由D在AB中且AD∶DB＝2∶1，可得AD＝23AB，又DE∥BC，则AE＝23AC.由三角形法则，可知DE＝AE－AD＝23AC－23AB＝23(b－a)，由平行四边形法则AM＝12(AB＋AC)＝12(a＋b)，则AN＝23AM＝23·12(a＋b)＝13(a＋b)，DM＝AM－AD＝12(AB＋AC)－23AB＝－16AB＋12AC＝－16a＋12b.【点评】问题涉及与平面图形相关的向量运算的求解，其策略是恰当运用三角形法则和平行四边形法则，同时注意向量的数乘运算几何意义的应用．例3已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足PAPBPCAB，则点P与△ABC的关系为()A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边所在直线上D．P是AC边的一个三等分点D【解析】∵PAPBPCAB∴PA＋PC＝AB－PB＝AB＋BP＝AP∴PC＝AP－PA＝2AP故A、P、C三点共线且P是AC边的一个三等分点．故选D.【点评】本题要充分利用减法的运算法则及向量共线的充要条件．解此类问题时尽量造成共起点的两向量相减或首尾相接的向量之和，以方便化简．三、向量共线的判定与应用例4已知A、B、C是平面内互异的三点，O为平面上任意一点且OC→＝xOA→＋yOB→，求证：A、B、C三点共线的充要条件是x＋y＝1.【解析】若A、B、C三点共线，则存在λ∈R使得BC→＝λAB→，∴OC→－OB→＝λ(OB→－OA→)，∴OC→＝OB→＋λ(OB→－OA→)＝－λOA→＋(1＋λ)OB→，则x＝－λy＝1＋λ，∴x＋y＝1.若x＋y＝1，又OC→＝xOA→＋yOB→＝xOA→＋(1－x)OB→，∴OC→－OB→＝x(OA→－OB→)，∴BC→＝xBA→.∴A、B、C三点共线．〔备选题〕例5已知平面上不共线的四点O、A、B、C，若OA－4OB＋3OC＝0，则ABBC＝()A.13B.12C．2D．3D【解析】∵OA－4OB＋3OC＝0∴OA－OC＝4(OB－OC)∴CA＝4CB，∴CB＋BA＝4CB∴BA＝3CB，∴BACB＝3.故选D.【点评】解此题的关键在于凑成共起点的减法，以便化简．1．向量线性运算技巧(1)用已知向量表示与其相关的另外一些向量时，在运用向量的加法、减法、数乘运算的同时，应充分利用平面几何的一些基本定理．(2)在求向量时尽可能转化到某平行四边形或三角形内、以便运用平行四边形法则和三角形法则，涉及到线段比时，一方面考虑平行线定理，另一方面充分运用数乘运算的几何意义．2．向量共线问题(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2011山东)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若13AA＝λ12AA(λ∈R)，14AA＝μ12AA(μ∈R)，且1λ＋1μ＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面的说法正确的是()A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上D【解析】依题意，若C，D调和分割点A，B，则有AC＝λAB，AD＝μAB，且1λ＋1μ＝2.若C是线段AB的中点，则有AC＝12AB，此时λ＝12.又1λ＋1μ＝2，所以1μ＝0，不可能成立．因此A不对，同理B不对．当C，D同时在线段AB上时，由AC＝λAB，AD＝μAB知0λ1,0μ1，此时1λ＋1μ2，与已知条件1λ＋1μ＝2矛盾，因此C不对．若C，D同时在线段AB的延长线上，则AC＝λAB时，λ1，AD＝μAB时，μ1，此时1λ＋1μ2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上．【命题立意】本小题考查了对向量共线的理解及应用、利用所学知识分析解决问题的能力以及推理论证能力，求解时应明确，若点C在线段AB上，则当AC＝λAB时，0λ1，而当点C在线段AB的延长线上时，若AC＝λAB，则有λ1，求解本题时还要注意不等式性质及反证法思想的应用，本题难度适中．1．平面向量a，b共线的充要条件是()A．a，b方向相同B．a，b两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，b＝λaD．存在不全为零的实数λ1，λ2，使得λ1a＋λ2b＝0D2．若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个C3．在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝()A．－14a＋14bB．－12a＋12bC．a＋12bD．－43a＋34bA4．已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、DA5．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PA＋PB＋PC＝0，若实数λ满足AC＋AB＝λAP，则λ的值为____.3【解析】∵PA＋PB＋PC＝0，∴P为△ABC的重心．∵AP＝23AD，∵AC＋AB＝λAP，∴2AD＝λ×23AD⇒λ＝3.6．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，则AD＋BE＋CF与BC的方向．相反【解析】由题意得AD＝AB＋BD＝AB＋13BC，BE＝BA＋AE＝BA＋13AC，CF＝CB＋BF＝CB＋13BA，因此AD＋BE＋CF＝CB＋13(BC＋AC＋BA)＝CB＋23BC＝－13BC，∴AD＋BE＋CF与BC反向平行．7．如图，已知在▱ABCD中，AH＝HD，BF＝MC＝14BC，设AB→＝a，AD→＝b，试用a，b分别表示AM、MH、AF.【解析】AM＝AD＋DC＋CM＝b＋a＋14CB＝a＋b－14b＝a＋34b.MH＝MC＋CD＋DH＝14BC＋BA＋12DA＝14b－a＋12(－b)＝－14b－a，AF＝AB＋BF＝AB＋14BC＝a＋14b.8．已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足OP＝OA＋λa＋λb，则动点P的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．【解析】依题意，由OP＝OA＋λa＋λb，得OP－OA＝λ(a＋b)，即AP＝λ(AB＋AC)．如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于O，则AP＝λAD，∴A、P、D三点共线，即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点．