高考数学玩转压轴题专题2.3平面向量中范围、最值等综合问题-含答案

1专题2.3平面向量中范围、最值等综合问题一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【2018河北定州中学模拟】设向量,,abc满足2ab，2ab，,c60acb，则c的最大值等于（）A.4B.2C.2D.1【答案】A【指点迷津】由已知条件得四点共圆是解题关键，从而转化为求外接圆直径处理.【举一反三】1、【2018辽宁沈阳东北育才学模拟】在RtABC中，090A，点D是边BC上的动点，且3AB,4AC,(0,0)ADABAC，则当取得最大值时，AD的值为（）2A.72B.3C.125D.52【答案】D2、【2018湖南长沙市长郡中学模拟】已知向量,ab满足：1ab，且12ab，若cxayb，其中0x，0y且2xy，则c的最小值是__________．【答案】3【解析】1ab，且12ab，当cxayb时，222222cxaxyabyb，222xxyyxyxy，又0,0xy且22,12xyxyxy，当且仅当1xy时取“=”，2222213,2xycxyc的最小值是3，故答案为3.3、【2018浙东北联盟联考】已知向量,,abc，满足1,2,3abc，01，若0bc，则1abc的最大值为_________，最小值为__________．3【答案】4613113【解析】设1,1nbcabcan，naanna，即11nann，2222221121nbcbcbc2224911318901，由二次函数性质可得，266136139,3,1114131313nnnann，1abc，最大值为4，最小值为613113，故答案为4，613113.类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】已知向量OA与OB的夹角为，PQOBtOQOAtOPOBOA,)1(,,1,20t在时取得最小值，当0105t时，夹角的取值范围为________________.【分析】将PQ表示为变量t的二次函数PQ1)cos42()cos45(2tt，转化为求二次函数的最小值问题，当cos45cos210t时，取最小值，由已知条件0105t，得关于夹角的不等式，解不等式得解．【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解．【举一反三】1、非零向量ba,满足ba2=22ba，2||||ba，则ba与的夹角的最小值是．【答案】34【解析】由题意得2212abab，24ab，整理得22422ababab，即1ab11cos,22abababab，,3ab，夹角的最小值为32、已知向量=（－2，－1），=（λ，1），则与的夹角θ为钝角时，λ的取值范围为（）A.B.C.且λ≠2D.无法确定【答案】C【解析】∵与的夹角θ为钝角，∴=－2λ－1＜0，解得λ＞，又当λ=2时，满足向量∥，且反向，此时向量的夹角为180°，不是钝角，故λ的取值范围为λ＞，且λ≠2.故选C.类型三与向量投影有关的最值问题【例3】设1,2OAOB，0OAOB，OPOAOB，且1，则OA在OP上的投影的取值范围()A.25-,15B.25,15C.5,15D.5-,15【答案】D当λ0时，0,x5当222215λ8λ4482λ0521xλλλλ，故当λ1时，1x取得最小值为1，即1101xx，当λ0时，222215844825215x，即15x505x综上所述5(,15x故答案选D【指点迷津】由已知求得OAOP及OP，代入投影公式，对λ分类后利用二次函数求最值，在分类讨论时需要讨论完整，不要漏掉哪种情况，讨论完可以检查下是否把整个实数全部取完。【举一反三】1、已知ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且0OAABAC，则向量CA在向量CB方向上的投影为()A.3B.3C.-3D.3【答案】B本题选择B选项.62、【2018福建省闽侯第六中学模拟】设1,2,0,OAOBOAOBOPOAOB，且1，则OA在OP上的投影的取值范围（）A.25,15B.25,15C.5,15D.5,15【答案】D法2：不妨设O为坐标原点，0,1A，2,0B，则2,Pu，也就是21,P.而OA在OP上的投影为22·41OAOPOP.令2241f，如果0，则22222584485411,0ftttt，所以21f也就是1f，所以7220141；当0时，22041；当0时，222485411,0ftttt，所以25f也就是5f，所以2250541.综上，·OAOPOP的取值范围为5,15.类型四与平面向量数量积有关的最值问题【例4】【2018广州华南师范大学附中模拟】如图，半径为1的扇形AOB中，23AOB，P是弧AB上的一点，且满足OPOB，,MN分别是线段,OAOB上的动点，则PMPN的最大值为（）A.22B.32C.1D.2【答案】C【指点迷津】平面向量数量积的求法有：①定义法；②坐标法；③转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【举一反三】1、【2018福建莆田市第二十四中学模拟】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DEDC的8最大值为（）A.1B.12C.32D.2【答案】A2、【2018浙江镇海中学模拟】在平面内，6ABACBABCCACB，动点P，M满足2AP，PMMC，则BM的最大值是A.3B.4C.8D.16【答案】D【解析】由6ABACBABCCACB，得0,0,0ABACBCBCBACAACABCB.所以ABC是等边三角形，设ABC的边长为x，则226062xABACxcos，得23x.9以BC为x轴,以BC的中垂线为y轴建立坐标系,则3,0,3,0,0,3BCA，由2AP，得点P满足：2234xy.PMMC则M为PC的中点，设,Mxy，则23,2Pxy，满足：2223234xy，整理得：2233122xy，即点M在以33,22为圆心，1为半径的圆上，则BM的最大值是圆心到B的距离加半径：223330131422.故选B.3、【2008云南大理市云南师范大学附属中学模拟】已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（）A.-1B.-2C.-3D.-4【答案】C类型五平面向量系数的取值范围问题【例5】【2018辽宁沈阳市四校协作体联考】在矩形ABCD中，1012ABAD，，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若APABAD，则的最大值为（）A.3B.22C.5D.2【答案】A∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=45，设点P的坐标为（255cosθ+1，255sinθ+2），∵APABAD，∴（255cosθ+1，255sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴255cosθ+1=λ，255sinθ+2=2μ，11∴λ+μ=255cosθ+55sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.【举一反三】1、【2018重庆第一中学模拟】给定两个单位向量OA，OB，且32OAOB，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，OCxOAyOB，则3xy的最小值为（）A.3B.1C.2D.0【答案】B12因为506，71sin,131,233632xy所以3xy有最小值-1.故选B2、【2018四川德阳联考】已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且20OAaOBbOC,则221ababb的最小值是___________【答案】222133、【2018湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟】已知1,3,0OAOBOAOB，点C在AOB内，且OC与OA的夹角为030，设,OCmOAnOBmnR，则mn的值为（）A.2B.52C.3D.4【答案】C【解析】如图所示，建立直角坐标系．由已知1,3,OAOB，，则10033OAOBOCmOAnOBmn（，），（，），（，），33303ntanm，3mn．故选B类型六平面向量与三角形四心的结合【例6】【2018全国名校大联考】已知ABC的三边垂直平分线交于点O，,,abc分别为内角,,ABC的对边，且222cbb，则AOBC的取值范围是__________．【答案】2,2314【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【举一反三】1、【【2018河北武邑中学调研】在ABC中，3AB，5AC，若O为ABC外接圆的圆心（即满足OAOBOC），则·AOBC的值为__________.【答案】8【解析】设BC的中点为D，连结OD,AD，则ODBC，则：222212121538.2AOBCADDOBCADBCABACACABACAB2、【2018江西南昌市第二中学模拟】如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（）A.4B.C.D.【答案】