一次二阶矩法

ch4一次二阶矩法引言一次二阶矩法是求解非时变荷载作用下结构可靠度问题的行之有效的近似方法。它既有较高的精度，又有较高的计算效率。一次二阶矩法是在基本变量xi(i=1，2…n)，的概率分布尚不清楚中时，采用只有均值(又称为一阶原点矩)和标准差(又称为二阶中心矩)的数学模型去求解结构可靠度的方法。Ch4一次二阶矩法4.1一次二阶矩中心点法4.2一次二阶矩验算点法4.3JC法4.1一次二阶矩中心点法4.1.1.简单问题可靠指标的求法4.1.2.中心点法基本原理4.1.3.中心点法举例4.1.4.对中心点法的评述在介绍中心点法之前，先回顾功能函数为线性函数，随机变量为正态分布情况下的可靠指标问题。I随机变量为正态分布，且功能函数为线性函数假定抗力R和荷载效应S均服从正态分布，对于功能函数Z=R-S，,由于Z是R、S的线性函数，根据正态随机变量的特性，Z也服从正态分布，其平均值及标准差分别为:SRz22SRZ则定义可靠指标：22SRSRZZ为什么可以定义来衡量结构的可靠程度？4.1.1简单问题可靠指标（或失效概率）的求法正态分布功能函数Z，其失效概率与可靠指标之间的精确关系02)(0]21[)(22dzedzzfPZzzZf)()(212ZZtfdtePZZ这种情况下可靠指标是唯一的，且与失效概率之间有精确的对应关系。tzzztzzz令ZZZZII随机变量为对数正态分布，功能函数为线性函数对数正态分布的定义:若lnR、lnS服从正态分布，则称R、S服从对数正态分布。假定抗力R和荷载效应S均服从对数正态分布，且结构功能函数可表示为Z=lnR-lnS，由于lnR、lnS均服从正态分布,Z也服从正态分布，是lnR、lnS的线性函数，根据正态随机变量的特性，其平均值及标准差也可以精确得到：SRzlnln2ln2lnSRZ)]1)(1ln[()11ln(22222ln2lnlnlnSRRSSRSRSRZZ可靠指标为：)1ln(2lnxxx)1ln(22lnxx根据x的统计参数，求lnx的统计参数结论：随机变量为正态分布（或对数正态分布），且功能函数为线性函数的条件下，结构的可靠指标或失效概率可根据随机变量的统计参数方便的求出。随机变量为正态分布，由其形成的线性函数也服从正态分布。4.1.2中心点法——引言假定随机变量x1、x2…xn服从任意分布，功能函数不是线性函数，这时,精确求解Z的平均值和标准差是非常困难的，即便能够求得，Z也不服从正态分布，也不能用上面方法来计算结构的可靠指标。若将非线性功能函数作为泰勒级数展开，并取其一次展开式（前两项）。但一次展开式已不是原来的功能函数，所计算可靠指标与结构失效概率之间不再存在精确的对应关系。在这种情况下如何选择展开点，从而使近似计算结果与精确失效概率的误差最小,成为一次二阶矩法要研究的问题。),(2,1nxxxgZ4.1.2中心点法——基本原理设结构的极限状态方程为将极限状态函数在中心点M=()处展开为泰勒级数，并作线性化处理，得根据概率论中随机变量参数估计，Z*的统计参数为:结构的可靠指标),,(21nxxxgZinixixxxxgxgZZin1*)(),,(21),(21*nxxxZg22*)),((21inxixxxZxg2**)),((),,(2121innxixxxxxxZZZZxggjininjxjxiinixixxxxxgxxxgxgZjiin2111))((21)(),,(21在中心点处展开为泰勒级数：321,,xxx4.1.3中心点法举例钢梁承受确定性弯矩,截面塑性抵抗矩W和屈服强度f都是随机变量，已知统计参数为：W：f：试用中心点法计算该钢梁抗弯的可靠指标36109.884mW05.0WMPaf2621.0fmkNM.8.1284.1.3中心点法举例解法1取功能函数极限状态方程为22*)),((21inxxxxiZgx128800fWMfWZ0128800fWZ).(8.103043128800mNWfZ9.25920)(22222222WfWffWWfz975.39.259208.103043Zz22222222212][][][][21WffwWifxxxxxZWZfZxgxgiii),(21*nxxxZg4.1.3中心点法举例解法2取功能函数极限状态方程为22*)),((21inxxxxiZgxWMfZ0WMfZMPaMWfZ45.116MPaMMwWffwWfz19.27)()(2222222283.419.2745.116Zz),(21*nxxxZg22222222212)(1][][][][21WWfWifxxxxxZMWZfZxgxgiii4.1.4对中心点法的评述与随机变量为正态分布、功能函数为线性函数的情况下求可靠指标，形式一样()，却有本质的区别：（1）中心点法不论R、S的概率分布如何，直接用其平均值、标准差求可靠指标。事实上，平均值、标准差相同的随机变量有无穷多个，每一种情况的可靠度都是不同的，而这里是同一个结果。（2）前者的可靠指标是唯一的，并与失效概率有精确的对应关系，而中心点法可靠指标与建立的功能函数表达式的形式有关。Zz4.1.3对中心点法的评述中心点法的主要弱点没有考虑基本变量的概率分布均值、方差及可靠指标的计算式是误差传递公式同一个结构往往可以列出几种等价的极限状态方程，不同的极限状态函数在运用中心点法计算时，其结果可能不一致。将非线性功能函数在随机变量的平均值处展开不合理，由于平均值不在极限状态曲面上，展开后的线性极限状态面可能会较大程度地偏离原来的极限状态曲面。基本变量不服从正态分布和对数正态分布时，计算出的结构可靠指标与结构的实际情况出入较大。中心点法的线性示意图该法选用的线性化点（即平均值点）不在失效边界上4.2验算点法(改进的一次二阶矩法）4.2.1验算点法基本思想运用泰勒级数进行线性化处理时,略去高阶项的误差随线性化点到失效边界的距离增加而增大（中心点法运用泰勒级数在中心点处展开进行线性化处理）。选择在失效边界Z＝0的某点处将极限状态函数展开为泰勒级数，以避免这种形式的误差。——验算点法jininjxjxiinixixxxxxgxxxgxgZjiin2111))((21)(),,(21inixixxxxgxgZZin1*)(),,(214.2.1验算点法基本思想关于设计验算点设点P(x1，x2…，xn)为极限状态方程Z=0所对应的曲面上的点，d(P，M)为点P到中心点M()的距离，则能使mind(P，M)的点P*称为设计验算点，简称为验算点。记为P*(x*1，x*2…，x*n)，显然验算点的坐标满足nxxx21,0*)*,*,(21nxxxgZ验算点法示意M验算点法4.2.2设计验算点法求可靠指标理论推导——确定验算点位置进而求可靠指标当线性化点选在设计验算点xi*(i=1,2,…n)上时Z的均值为（求Z的数学期望得）由于设计验算点在失效边界上，故有则有)5()(),,(*1***2*1xiniiinxgxxxxxgZ)6()(),,(*1***2*1xiniixnZxgxxxxgi)7(0),,(**2*1nxxxg)8()(*1*xiniixZxgxijininjxjxiinixixxxxxgxxxgxgZjiin2111))((21)(),,(21假设各随机变量独立，则可求解Z的方差：引入分离函数式，将上面的根式线性化，得表示第ｉ个随机变量对整个标准差的相对影响，因此称为灵敏系数。4.2.2设计验算点法求可靠指标)9()(12*2nixixZxginixixiZxgi1*)10(i)11()(12**nixixxixixgxgiinixixZxgi12)(*)5()(),,(*1***2*1xiniiinxgxxxxxgZ4.2.2设计验算点法求可靠指标根据可靠指标的定义，有由于，必有（对于所有i）)12()(1*1**nixixinixixiZZxgxxgii0)(1**nixiixxiiixxg0*xixg0*iixiixx将乘到分母上整理后得)8()(*1*xiniixZxgxinixixiZxgi1*)10()14(0),,(**2*1nxxxg)13(*iixixix或表达为：4.2.2设计验算点法求可靠指标式（13）代表n个方程，再加上（14）共有n+1个方程，未知数有和，也是n+1个。可联立求解。解出设计验算点P*（，，…）及相应的——常用迭代法求解*1x*2x*nx*ix0*iixiixx)13(*iixixix或表达为：)14(0),,(**2*1nxxxg4.2.2设计验算点法求可靠指标计算步骤（1）选取设计验算点坐标的初值，一般取＝（2）由式（11）计算的值，其中包括（3）由式（13）得到和的关系（4）由式（14）解出值（5）将该值代入式（13），求出新值以该新重复进行（2）-（5）计算，直到值与上次相等或误差不超过允许值，此时即为所求的可靠指标，即为所确定的设计验算点坐标。*ixixi*xixg*ix*ix*ix*ix)(fP0*iixiixx4.2.3验算点法举例设极限状态功能函数为313221321),,(xxxxxxxxxgZ1x2x3x均为随机变量，并具有如下统计信息：1,1011xx1,522xx5.0,233xx试用验算点法计算结构的可靠指标1.取均值作为验算点初值2,5,10321*3*2*1xxxxxx*3*2321xxxxxg*3*1312xxxxxgi2.计算*1*2123xxxxxg2*1*22*3*12*3*2*3*21])[(])[(])[()(3211xxxxxxxxxxxx2*1*22*3*12*3*2*3*12])[(])[(])[()(3212xxxxxxxxxxxx2*1*22*3*12*3*2*1*23])[(])[(])[()(3213xxxxxxxxxxxx)11()(12**nixixxixixgxgii0.26390.7037-0.6597313221321),,(xxxxxxxxxgZ2639