数理统计主要知识点

1《数理统计》的主要知识点一．统计量及其抽样分布（一）统计量的概念1.统计量的定义：简单地说，统计量就是样本ix的函数，它除ix外不含其它未知参数。2.简单随机抽样：从总体中抽取样本nxxx21，若它们相互独立同分布，且分布与总体相同，则称其为简单随机抽样。3.常见的统计量：（1）样本均值：niixnx11（2）样本方差：21211niixxns（3）样本k阶原点距：nikikxna11（4）样本k阶中心距：nikikxxnb11（二）抽样分布的结构和性质1.2分布：若nXXX,,21是来自总体X的简单随机抽样，且X~1,0N，则随机变量2=22221nXXX，此时称其分布为自由度为n的2分布，记2~n2性质：①nE2②nD222.F分布：若X~n2，Y~m2，且YX与相互独立，记随机变量FmYnX，称其分布为自由度为n与m的F分布，记F~Fmn,性质：nmFmnF,1,13.t分布：设随机变量YX与相互独立，且X~1,0N，Y~n2，则称nYXt的分布为自由度为n的t分布，记t~tn性质：①自由度为1的t分布是标准柯西分布，它的均值不存在；②1n时，t分布的数学期望存在且为0；③1n时，t分布的方差存在且为2nn④当自由度较大时，t分布可以用1,0N近似。2二．参数估计：（一）点估计：1.矩估计：（替换原理）一般地：①用样本均值估计总体均值；即xXE②用样本二阶中心矩估计总体方差；2121niinxxnsXD③用事件A出现的频率估计事件A发生的概率。2.极大似然估计：若总体的概率函数为),xf，求极大似然估计的基本思路：①写出极大似然函数,,,21nxfxfxfL②取对数（此步骤仅为简化求导计算）③求导数，并令其为0，求出估计值ˆ性质：若ˆ是的极大似然估计，则对任一函数g，其极大似然估计为ˆg3.点估计的评价标准：①相合性：若0ˆlimPn则称ˆ是的相合估计。备注：一般计算时，只要ˆlimEn，0ˆlimDn，则ˆ就是的相合估计②无偏性：若ˆE，则ˆ就是的无偏估计。③有效性：若21ˆ,ˆ都是的估计值，只要21ˆˆDD，则称21ˆˆ比有效（二）区间估计（单个正态总体下，参数的置信区间）若正态总体2,N1.已知时，的置信度1的置信区间为：22,unxunx2.未知时，的置信度1的置信区间为：1,122ntnsxntnsx3.未知时，2的置信度1的置信区间为：)1()1(,)1(12212222nsnnsn3三．假设检验：（一）概念：1.检验统计量2.拒绝域3.显著性水平，临界值。4.两种错误：第一种错误：拒真，记犯第一种错误P=成立拒绝00HHP其中是显著性水平。第二种错误：取伪，记犯第一种错误P=不成立接收00HHP注意：当样本容量n一定时，一类错误的概率减少将导致另一类错误的概率增加（二）假设检验的基本步骤：1.根据实际问题提出原假设0H以及备择假设1H2.选取适当的检验统计量3.选取适当的显著性水平，求得对原假设0H的拒绝域W4.根据样本值计算统计量的值，若落入W，则0H不真，拒绝0H，接受备择假设1H，否则接受0H。（三）单个正态总体下，参数的假设检验1.U-检验：已知时，的检验：检验统计量：nxu0拒绝域：,,22uuW2.t-检验：未知时，的检验：检验统计量：nsxt0拒绝域：,11,22ntntW3.2-检验：未知时，2的检验：检验统计量：20221sn拒绝域：,11,022221nnW