厦门大学《应用多元统计分析》试题A答案

多元统计分析 试卷Ａ(答案) 一、判断题 1．正确 证明：()pccc,,21=∀c， ()()()()[]()()()()()()02≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−−==∑′∑∑∑∑∑∑∑iijjiijjiiXEXXEXXEXXEXXEXccjjiijjjijijiijjicEccEEccccσ 因此协差阵是非负定阵，相关阵也同理可证。命题成立。 2．正确。 距离判别的规则是， *1*2,(,(GWGW⎧∈≤⎨∈⎩XXXX如果如果)0)0lnlnddBayes判别的规则是， 12,(),()GWGW∈≥⎧⎨∈⎩XXXX如果如果对比两判别规则，唯一的差别仅在于阈值点，距离判别用0作为阈值点，而Bayes判别用。当总体各自出现的概率的大小相等，dln21qq=)1|2()2|1(CC=即错判之后所造成的损失相同时，，1=d0ln=d，则两者完全一致。因而距离判别是Bayes判别的一种特例。   二、解：()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1059.06951.07111.03812.04048.08312.04479.01802.08757.03572.06795.09633.11772.08432.05075.06379.04911.05932.07494.00.21866250.0321λλλ321l,l,lA 建立因子模型： 3213321232111059.06951.07111.03812.04048.08312.04479.01802.08757.0FFFXFFFXFFFX−−=−−=+−= 计算共因子的方差贡献得： 3572.0;6795.0;9633.12322121====gggλ，分别为公共因子对X的贡献，是衡量每个公共因子的相对重要性的尺度。FFF,,21 三、解：先求三元总体的协方差阵X∑的特征根，()()022004222422222222=−+−−=−−−=−∑σρλλσσλσλσρσρσλσρσρσλσλE ()()23222121,,21σρλσλσρλ−==+= 解得：对应的单位特征根为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=21,22,211T()2121σρλ+=； 对应的单位特征根为22σλ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=22,0,222T； ()2321σρλ−=对应的单位特征根为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=21,22,213T， 因此，总体的主成分为： 32133123211X21X22X21Y,X22X22Y,X21X22X21Y+−=−=++=。 四、解：利用Bayes判别法的最终规则进行判断： ()[]()()()())(999.0269.0731.01|22|18421114310,22/)(1221121XWInCqCqInIndxXW≥===−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−××=−∑′+−=−μμμμ 因此，金融分析员不满足要求。 五、解： 2Gx∈1)()()()()()()μcμμcEccEcEEniiniiniiiniiiniii∑∑∑∑∑==========⎟⎠⎞⎜⎝⎛=00000XXXZZ是μ的无偏估计量得证； 2)独立同分布于，， 且由（１）中结论可知nXX1(,)pNμΣ()()()()∑′=∑===⎟⎞⎜⎛=∑∑∑∑===ccXXXZniiniiiniincDccDcDD02020()()⎠⎝=iiii0()μE=Z所以，～，其中成立。 六、相应分析指受制于某个载体总体的两个因素为Z'(,)pNμccΣ'1(,,)ncc=cA和B，其中因素A包含个水平，即r12,,rAAA；因素B包含即c个水平，12,,cBBBc。对这两组因素作随机抽样调查，记为得到一个rc×的二维列联表，()ijrk×=K，主要目的是寻求列联表行因素A和列因素B的基本分析特征和它们的最优联立表示。基本思想为通过列联表的转换，使得因B具七、素A和列因素有对等性，这样就可以用相同的因子轴同时描述两个因素各个水平的情况，把两个因素的各个水平的状况同时反映到具有相同坐标轴的因子平面上，直观地描述两个因素A和因素B以及各个水平之间的相关关系。 对于一个总体均值向量的检验，在协差阵已知时，构造如下统计量： 212−000()()~()Tnpχ′=−−XμΣXμ； 在协差阵未知时，构造如下统计量： 2(1)1~(,)(1)npTFpnpnp−−+−−，其中2100(1)[()()Tnnn−′=−−−XμSX]μ ()()()()()′=11211,pXXX()()()()()′=222212,qXXXXUi、Vi，使X八、在典型相关分析中1，是两个相互关联的随机向量，个分别在两组变量中选取若干有代表性的综合变量的线性组合，即得每一综合变量是原变量()()()()()()ipipiiiixaxax+++221iU=a1，()()()()()()iiiiii(1)(1)(1)(2)′′ppx。在()DDibxbxbV+++=2211()1==aXbX的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ′′aXbX达到最大，则称(1)(1)′aX、(1)′bX(2)是(1)X、(2)X的第一对典型相关变量。最大特征根21λ对应的特征向量为，最大特征根的平方根1(1)(1)(1)(1)12(,,,)paaa′=a和(1)(1)(1)(1)12(,,,)qbbb′=bλ即为两典型变量的相关系数，我们称其为第一典型相关系数。