状态反馈与闭环极点配置极点配置条件

1控制系统分析与设计的状态空间方法2——综合与设计（第八章）自动控制原理2状态空间法综合的基本概念综合问题的三大要素:受控系统、性能指标、反馈控制律综合与设计的主要特点:以采用状态反馈为主具有较系统的综合理论基于非优化型指标的极点配置方法基于优化类性能指标的目标函数极值法3主要内容一．状态反馈与输出反馈二．状态反馈与闭环极点配置三．线性二次型最优控制（自学）四．状态观测器及状态反馈五．鲁棒控制系统（自学）41.状态反馈CxyBuAxxKxru加入状态反馈后的系统结构图闭环传函？状态方程？一、状态反馈与输出反馈K-rB∫CAxxuy5xCyBrx)BKA(x程为状态反馈系统的状态方B)BKAsI(C)s(G1数为状态反馈系统的传递函综合的手段：改变K阵的参数综合的目的：改变系统矩阵，从而改变系统的特性注：状态反馈通常只用系数阵即可满足要求，一般不需要采用动态环节6HyruCxyBrx)BHCA(x传递函数分别为反馈系统的状态方程和2.输出反馈CxyBuAxxB∫CAxxuyH-rB)BHCAsI(C)s(G1但反之不成立，，一定有对于任意的HCKHK比较：状态反馈为7反馈功能：状态反馈——完全反馈输出反馈——不完全反馈物理实现：输出反馈——易状态反馈——难反馈作用：两种反馈均可改变系统的特征方程和特征值；输出反馈可视为状态反馈的一种特例。3.状态反馈与输出反馈比较8二、状态反馈与闭环极点配置极点配置条件：全部闭环极点的充要条件为：系统状态完全可控通过状态反馈CxyBuAxxKxru对于可任意配置的根可以任意设置。反馈系统特征方程即状态可控的前提下，)s()s)(s(]BKAsIdet[n219u001x310011011x试通过状态反馈，将系统的闭环极点配置为3j2,13,21例：设系统的状态方程为100010211BAABBQ2c解：显然满秩，所以系统可控。1013s17s5s)s)(s)(s()s(*f23321式为而系统希望的特征多项项式为状态反馈系统的特征多)6k3k3k(s)2k2k(s)3k(skkk001310011011s000s000sdet]BKAsIdet[)s(f12312213321得令)s(f)s(*f136k,35k,8k321136358K所以状态反馈阵为11比较反馈前后的状态传递函数u001x310011011x无反馈时)414.1s)(414.1s)(3s(13s)3s)(1s(1B)AsI()s(G),s(U)s(G)s(X1),s(U)s(G)s(X,Brx)BKA(xf有反馈时)13s4s)(1s(13s)3s)(1s(1B)BKAsI()s(G21f状态反馈只改变极点，不改变零点12状态反馈系统的仿真结构图程序：ac8no1取D=0,C=I)t(x13仿真结果：零状态响应x1x3x2)t(1)t(r14仿真结果：零输入响应x1x3x215.010)0(x初始状态15u001x310011011x通过状态反馈，将系统的闭环极点配置为1321例：系统的状态方程同前例161s3s3s)1s()s(*f233式为而系统希望的特征多项项式为状态反馈系统的特征多)6k3k3k(s)2k2k(s)3k(s]BKAsIdet[)s(f12312213得令)s(f)s(*f64k,17k,6k32164176K所以状态反馈阵为解：17比较反馈前后的状态传递函数)414.1s)(414.1s)(3s(13s)3s)(1s(1B)AsI()s(G),s(U)s(G)s(X1无反馈时),s(U)s(G)s(X,Brx)BKA(xf有反馈时31f)1s(13s)3s)(1s(1B)BKAsI()s(G状态反馈同样只改变极点，不改变零点18仿真结果：零状态响应x1x3x2程序：ac8no2)t(1)t(r19仿真结果：零输入响应x1x3x215.010)0(x初始状态20u11x2011x能否通过状态反馈任意配置系统的闭环极点？若不能任意配置，试确定哪些极点无法改变。例：设系统的状态方程为1Qrank,0Qdet,2121ABBQccc解：系统不可控，所以不能任意配置闭环极点。（有一个极点无法改变）如何确定哪个极点不能任意配置？极点为1，221项式为状态反馈系统的特征多)kk2s)(1s(kk112011s00sdet]BKAsIdet[2121所以极点1无法改变（原系统的极点）只有一个状态变量可控，所以只能改变一个极点22比较反馈前后的状态传递函数u11x2011x无反馈时)2s)(1s(1s1s1B)AsI()s(G),s(U)s(G)s(X1),s(U)s(G)s(Xf有反馈时)kk2s)(1s(,1s1s111k1skk1k2s1B)BKAsI()s(G2111221f状态反馈不会改变零点，且只能改变一个极点23说明如果系统不完全可控，状态反馈可任意配置闭环极点的个数等于系统的可控状态变量个数；就状态可控的单变量系统而言，引入状态反馈并不改变系统传递函数的零点，除非出现零极点相消；状态反馈不能保证稳态性能，一般存在稳态误差，可引入积分环节或输入变换来改善；采用输出反馈一般不能任意配置全部闭环极点（指静态反馈结构）。24三、状态观测器及状态反馈状态反馈需要状态信息，而状态变量一般不能直接测量，可利用状态观测器来估计系统状态目标:利用受控系统可直接测量的输出y(t)和控制u(t)来重构系统的状态为何需要状态观测器？25状态观测器的初步构想：B∫CAxxuyB∫AxˆxˆBuxˆAxˆBuAxx利用状态方程?xˆxxe如何消除误差,xxˆ但一般受控系统观测器状态估计值26如何利用输出误差消除状态估计误差？B∫CAxxuyB∫Axˆxˆeeex)HCA()HyBuxˆA()BuAx(xˆxx0)t(x0)HCA(e的特征值eyCHyˆ-eexCy代入实际系统基于准确模型，且没有考虑扰动27附1：存在扰动时的状态误差Hdx)HCA()HyBuxˆA()BuAx(xˆxxeee存在扰动时，不能使状态误差→0B∫CAxxuyB∫AxˆxˆeyCHyˆ-ddxCyee代入28附2：存在模型失配时的状态误差B'∫C'A'xxuyB∫AxˆxˆeyCHyˆ-Bux)CHA(x)HCA()HyBuxˆA()u'Bx'A(xˆxxCC,BB,AA'C,'B,'Aeee则设存在模型失配时，不能使状态误差→029状态观测器的等价结构B∫CAxxuyB∫A－HCxˆxˆH状态观测器HyBuxˆ)HCA()xˆCy(HBuxˆAxˆ观测器的状态方程为A－HC的特征值为状态观测器的极点观测器）（称为全维状态观测器的维数相同，与lunbergerxxˆ30状态观测器的极点配置的特征值配置性取决于状态估计误差的衰减特)(HCAxHCAxee（对偶性）的特征值配置问题题，即状态反馈的极点配置问于基于对偶系统的特征值配置问题等同TTTTTTHCABKAHCA)HCAsI(det)HCAsI(det状态观测器的闭环极点可任意配置的充要条件为系统状态完全可观测31x100yu001x310011011x求状态观测器，使其特征值为3321例：设系统的状态空间表达式为921310100CACACQ2o解：显然满秩，所以系统状态可观测。状态方程同前面极点配置例3227s27s9s)3s()s(*f233项式为而观测器希望的特征多观测器的特征多项式为)6h2hh(s)2h(s)3h(s100hhh310011011s000s000sdet]HCAsIdet[)s(f3212233321得令)s(f)s(*f12h,29h,74h321T122974H观测器的反馈系数阵为33y122974u001xˆ91029117411HyBuxˆ)HCA(xˆ观测器的状态方程为34基于状态观测器的状态反馈系统B∫CAxxuyB∫A－HCxˆxˆH观测器xˆKruCxyHyBuxˆHCAxˆBrxˆBKAxx）（Kr-35基于观测器的状态反馈系统为xˆx0CyrBBxˆxBKHCAHCBKAxˆxeexx0Cyr0BxxHCA0BKBKAxxe得引入线性变换xˆxII0Ixxnnne36极点配置的分离性原理)HCAsIdet()BKAsIdet(HCA0BKBKAsIdet馈系统的特征多项式为带状态观测器的状态反状态观测器、状态反馈两部分的极点可以分别独立地进行配置。注：为使观测器的状态估计值较快地→实际状态，一般取观测器极点的负实部为状态反馈系统极点负实部的2～3倍37闭环传递函数的不变性11111)HCAsI(BK)BKAsI(M0B)HCAsI(0M)BKAsI(0C0BHCAsI0BKBKAsI0C)s(R)s(Y其中B)BKAsI(C)s(R)s(Y1闭环传递函数等同于直接状态反馈的情况；观测器的引入不影响闭环传递函数注：分离性原理和传函的不变性都基于精确模型38x100yu001x310011011x（1）要求状态观测器的特征值为3321仿真例：系统的状态空间表达式同前面例（2）通过状态反馈将系统的闭环极点配置为1321（3）仿真验证观测状态对实际状态的跟踪情况，并比较有无观测器的响应情况（分有无模型误差、有无扰动）。39T122974H观测器的反馈系数阵为解：前面已求出64176K状态反馈系数矩阵为y122974u001xˆ91029117411HyBuxˆ)HCA(xˆ观测器的状态方程为40直接状态反馈系统的结构图程序：ac8no3取D=0C