三年高考(2017-2019)高考数学真题分项汇编专题10解三角形理(含解析)

1专题10解三角形1．【2018年高考全国Ⅱ理数】在中，，，，则ABC△5cos25C1BC5ACABA．B．4230C．D．2925【答案】A【解析】因为2253cos2cos121,255CC所以，故选A.22232cos12521532425ABBCACBCACCAB，则【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.2．【2018年高考全国Ⅲ理数】的内角的对边分别为，，，若的面积为ABC△ABC，，abcABC△，则2224abcCA．B．π2π3C．D．π4π6【答案】C【解析】由题可知，所以，2221sin24ABCabcSabC△2222sinCabcab由余弦定理，得，因为，所以，故选C.2222cosabcabCsincosCC0,πCπ4C【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.3．【2017年高考山东卷理数】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若为锐角三角ABC△ABC△形，且满足，则下列等式成立的是sin(12cos)2sincoscossinBCACACA．2abB．2baC．D．2AB2BA2【答案】A【解析】由题意知，sin()2sincos2sincoscossinACBCACAC所以，2sincossincos2sinsin2BCACBAba故选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有A，B，C的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到2ab.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】的内角的对边分别为.若，则ABC△,,ABC,,abcπ6,2,3bacB的面积为_________．ABC△【答案】63【解析】由余弦定理得，所以，即，2222cosbacacB2221(2)2262cccc212c解得（舍去），23,23cc所以，243ac113sin432363.222ABCSacB△【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关c,ac系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．5．【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若ABC△90ABC4AB3BCDAC，则___________，___________．45BDCBDcosABD【答案】，12257210【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而，ABD△sinsinABBDADBBAC3π4,4ABADB，，所以.225AC=AB+BC=34sin,cos55BCABBACBACACAC1225BD.ππ72coscos()coscossinsin4410ABDBDCBACBACBAC3【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.ABD△6．【2018年高考浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，7a则sinB=___________，c=___________．【答案】，3217【解析】由正弦定理得，所以sinsinaAbB2π21sinsin,377B由余弦定理得（负值舍去）.22222cos,742,3abcbcAccc【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得sinB，根据余弦定理解出c.7．【2017年高考浙江卷】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．【答案】1510,24【解析】取BC中点E，由题意：，AEBC△ABE中，，∴，1cos4BEABCAB1115cos,sin14164DBCDBC∴．115sin22BCDSBDBCDBC△∵，∴，2ABCBDC21coscos22cos14ABCBDCBDC4解得或（舍去）．10cos4BDC10cos4BDC综上可得，△BCD面积为，．15210cos4BDC【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设ABC△．22(sinsin)sinsinsinBCABC（1）求A；（2）若，求sinC．22abc【答案】（1）；（2）.60A62sin4C【解析】（1）由已知得，222sinsinsinsinsinBCABC故由正弦定理得．222bcabc由余弦定理得．2221cos22bcaAbc因为，所以．0180A60A（2）由（1）知，120BC由题设及正弦定理得，2sinsin1202sinACC即，可得．631cossin2sin222CCC2cos602C由于，所以，故0120C2sin602C5sinsin6060CCsin60cos60cos60sin60CC．624【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.9．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．sinsin2ACabA（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．【答案】（1）B=60°；（2）.33(,)82【解析】（1）由题设及正弦定理得．sinsinsinsin2ACABA因为sinA0，所以．sinsin2ACB由，可得，故．180ABCsincos22ACBcos2sincos222BBB因为，故，cos02B1sin22B因此B=60°．（2）由题设及（1）知△ABC的面积．34ABCSa△由正弦定理得．sin120sin31sinsin2tan2CcAaCCC由于△ABC为锐角三角形，故0°A90°，0°C90°，由（1）知A+C=120°，所以30°C90°，故，122a6从而．3382ABCS△因此，△ABC面积的取值范围是．33,82【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题.VABC10．【2019年高考北京卷理数】在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=．12（1）求b，c的值；（2）求sin（B–C）的值．【答案】（1），；（2）.7b5c437【解析】（1）由余弦定理，得2222cosbacacB.22213232bcc因为，2bc所以.2221(2)3232ccc解得.5c所以.7b（2）由得.1cos2B3sin2B由正弦定理得.53sinsin14cCBb在中，∠B是钝角，ABC△所以∠C为锐角.所以.211cos1sin14CC所以.43sin()sincoscossin7BCBCBC【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查7学生的转化能力和计算求解能力.11．【2019年高考天津卷理数】在中，内角所对的边分别为．已知，ABC△,,ABC,,abc2bca．3sin4sincBaC（1）求的值；cosB（2）求的值．sin26B【答案】（1）；（2）.1435716【解析】（1）在中，由正弦定理，得，ABC△sinsinbcBCsinsinbCcB又由，得，即．3sin4sincBaC3sin4sinbCaC34ba又因为，得到，．2bca43ba23ca由余弦定理可得．222222416199cos22423aaaacbBacaa（2）由（1）可得，215sin1cos4BB从而，，故15sin22sincos8BBB227cos2cossin8BBB．15371357sin2sin2coscos2sin666828216BBB【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．12．【2019年高考江苏卷】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；223（2）若，求的值．sincos2ABabsin()2B【答案】（1）；（2）.33c2558【解析】（1）因为，23,2,cos3acbB由余弦定理，得，即.222cos2acbBac2222(3)(2)323cccc213c所以.33c（2）因为，sincos2ABab由正弦定理，得，所以.sinsinabABcossin2BBbbcos2sinBB从而，即，故.22cos(2sin)BB22cos41cosBB24cos5B因为，所以，从而.sin0Bcos2sin0BB25cos5B因此.π25sincos25BB【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.13．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+（百米）.321【解析】解法一：9（1）过A作，垂足为E.AEBD由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.'6,8DEBEACAECD因为PB⊥AB，所以.84cossin