概率论与数理统计书

2CH1随机事件与概率§1.1随机试验1.1.1研究对象的分类确定性问题:在一定的条件下，必然会发生的问题。比如：弹簧受到外力作用会发生形变，水从高处往低处流，同性电相斥、异性电相吸等。（高等数学、线性代数等课程研究的对象）3不确定问题:研究对象的某种现象在出现之前我们不知道它是否会发生。例如：抛一枚硬币出现正面或背面现象‘口袋里有红、黄、蓝三色球若干，随便取一球是红球这一现象，向某一目标打一发炮弹，是否击中目标等。（我们这个课程研究的对象）41.1.2随机试验试验：指对研究对象的观测，一次观测称为一次试验。随机试验：指对随机现象的观测，一次观测称为一次随机试验。比如：抛一次硬币或一次抛多枚硬币，观测出现正面的个数等。5（3）试验中一切可能出现的结果可以预先知道。－－必然性（统计规律性）随机试验必需满足：（1）在相同条件下，试验可以重复进行。――可重复性（2）每次试验中可以出现不同的结果，而不能预先知道发生哪种结果。――偶然性随机试验一般用字母E表示。6例1一些随机试验的例子口袋里分别有红、黄、蓝球3个，每次从口袋中取2个球（有放回）。连续向一个目标发射10法炮弹。连续观察一周每天的下雨情况。买彩票中奖，如此等等。7§1.2随机事件与样本空间基本事件指随机试验中，其每一个可能出现的结果。样本空间指基本事件的全体组成的集合基本事件称为样本空间的点。1.2.1基本事件与样本空间8例2投掷一枚骰子一次，有6个基本事件，即点数：123456。该随机试验的样本空间为：1,2,3,4,5,691.2.2随机事件随机事件：某些基本事件组成的集合。又称为复合事件。比如，例2中的点数不超过3点的集合。10几个特殊的随机事件必然事件：每次试验中必然发生的事件，记为Ω。比如：例2中的点数小于等于6的集合。不可能事件：每次试验中不可能发生的事件，记为Φ。比如：例2中的点数大于6的集合。111.2.3事件之间的关系及其运算定义：若事件A发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A。记为：BA或AB。比如例2中，A：表示小于3点事件，B表示小于5点事件。）12事件相等若事件且，则称事件A和事件B相等。记为A＝B。即：事件A与B所包含的基本事件是一样的。BAAB13定义：若事件A发生或事件B发生，则称这样的事件为并事件，记为：AB。结论：；。ABA)(BBA)(事件的并（或称和）注：包括事件A与B同时发生AB14例3A=｛1，2，7，8，a,b,c｝,B=｛1,5,8，b,e｝则AUB=｛1，2，5，7，8，a,b,c,e｝15定义：在试验中，事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事件B的交（或积），记为A∩B（或A·B）。事件的交（积）在例3中，A∩B=｛1，8，b｝结论：；。参考上图解释ABA)(BBA)(16逆事件发生的属于样本空间，但不属于A的事件，称为A的逆事件，记为。AAA在例2中，如果A=｛1，3，5｝，则2,4,6A17事件的差：在试验中，事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差。记为A－B。结论：。ABABABA－B在例3中，A-B=｛2,7,a,c｝18定义：在一次试验中，若事件A、B不能同时发生，则称事件A、B为互不相容，记为：A·B＝Ф。否则称两事件相容。结论：从基本事件说，互不相容事件没有公有的基本事件。显然，在一次试验中，两个基本事件不能同时发生，所以任何两个基本事件都是互不相容事件。事件的相容性19交换律：A∪B＝B∪A，A·B＝B·A结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，(A·B)·C＝A·(B·C)分配律：(A·B)∪C＝(A∪C)·(B∪C)，(A∪B)·C＝(A·C)∪(B·C)事件的运算律BABABABA德摩根公式：20例4、在一个口袋里装有红、黄、白三种球，每种球都不止一个，一次任取两个球，观察它们的颜色。设A＝{两个同色球}，B＝{至少一个红色球}，问A∪B由哪些基本事件组成？解用R表示红球，Y表示黄秋，W表示白球则：A=｛RR，YY，WW｝，B=｛RR，RY，RW｝A∪B=｛RR，RY，RW，YY，WW｝21思考：设A、B、C为三个事件，试将下列事件用A、B、C表示出来。（1）三个事件都发生；（2）三个事件都不发生；（3）三个事件至少有一个发生；（4）A发生，B、C不发生；（5）A、B都发生，C不发生；（6）三个事件中至少有两个发生（7）不多于一个事件发生；（8）不多于两个事件发生。22例5、下列命题中，正确的有哪些？（1）若AB，则AB＝A；（2）若AB，则；BA（3）；BABBA（4）若，则；BABA（5）；CBCACBA（6）若，则；BABA对对对解决这类问题，最好的方法是用图示法！23（1）所有基本事件，构成一个互不相容的事件组。（2）所有基本事件的并是必然事件Ω。基本事件的重要性质：注意24§1.3随机事件的概率1.2.1事件的频率频率：如果在n次重复随机试验中，事件A发生了nA次，那么就称比值fn(A)为事件A发生的频率，其中。nnAfAn)(对任意随机试验E，频率具有性质：25（1）对任意事件A，。1)(0Afn（2）。1)(nf（3）对任意有限多个互不相容的事件A1、A2…Am有。miinmiinAfAf11)()(说明由频率的定义可见，如果事件A发生的可能性愈大，频率就愈大；另一方面，频率还有稳定性，即当n很大时，频率稳定在一个固定值附近摆动。261.3.1概率的定义（1）概率的统计定义定义1：在同一组条件下所作的大量重复试验中，如果事件A发生的频率总是在一个确定的常数p附近摆动，并且逐渐稳定于p，那末数p就表示事件A发生的可能性大小，并称它为事件A的概率，记作。)(AP27（2）概率的公理化定义定义2：设E是随机试验，Ω是E的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数值，记为，称为事件A的概率，如果集合函数满足下列条件：)(AP)(P0)(AP（1）非负性：1)(P（2）规范性：28（3）可列可加性：设事件互不相容，则有：nAAA,,,21)()()()(2121nnAPAPAPAAAP这3条也是概率的三个基本性质，此外概率还有一些其他性质：29（1）0)(P（2）)(1)(APAP（3）加法定理)()()()(ABPBPAPBAP（4）)()()(ABPAPBAP（5）若，则有。BA)()(BPAP30概率的加法公式可推广到有限个事件的并的情形。如：)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP1.已知，则（A）0.4；（B）0.5；（C）0.3；（D）0.7。2.0)(,5.0)(BAPAP)(BAP例6312、设，且，则（）。8.0)(,6.0)(BAPAP24.0)(BAP)(BP3、设A、B、C为随机事件，且，，0.125，则A、B、C至少出现一个的概率是。25.0)(CP0)(BCP)()(ABPACP)()(BPAP32特殊概型—————等可能概型等可能概型（古典概型）：如果一个随机试验E具有如下的特征，则称为等可能概型。（1）基本事件的全集是由有限个基本事件组成的；（2）每一个基本事件在一次试验中发生的可能性是相同的。33定义：在古典概型中，若样本空间包含的基本事件总个数为n，其中事件A包含的基本事件个数为m，则事件A的概率为()mPAn古典概型中概率的计算一般方法：通过计算基本事件个数，计算概率。34例7、从1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，随机地取出3个数字，组成一个三位数，求这个三位数为奇数的概率。例8、连续三次抛一枚硬币，求恰好出现一次正面的概率和恰好出现二次正面的概率。解：39nP285Pm，；95)(nmAP解：32n13mC，；83)(AP对于初学者，可以用描述方法，求解类似问题。35例9、袋中有16个白球，4个红球，从中取出3个，求至少有一个是红球的概率。解：320Cn341162421614CCCCCm，；5729)(AP另解：对A的逆事件有A320Cn316CmA，；57291)(320316CCAP注意有放回取球与无放回取球的区别。36例10、盒中有a个黑球，b个白球，从中有放回的抽取n个球，求事件A：“刚好取到k个黑球”的概率。解：nknkknbabaCAP)()(例11、12名运动员中有4名种子选手，现将运动员平均分成两组，问4名种子选手：（1）各有两人分在一组的概率；（2）分在同一组的概率。（N个球中有k个黑球）37解（1）：612Cn4824CCm3315)(AP，；（2）：28Cm331)(AP；例10、一盒中含有N－1个黑球，一个白球，每次从盒中随机地取一只球，并还入一只黑球，这样继续下去，求事件A：“第k次取到黑球”的概率。借助逆事件计算概率是概率计算中比较常用的方法。38解：显然，这是一个古典概型的问题，样本空间的大小为；而要求概率的事件A所包含的基本事件个数就不容易计算了，但可考虑其逆事件kN1)1(1kANmkkNNAPAP1)1(1)(1)(39例11、盒中有a个黑球，b个白球，把球随机地一只只取出（不放回），求事件A：“第k（1≤k≤a＋b）次取到黑球”的概率。解：111,kbaakbaPCmPnbaaPPCAPkbakbaa111)(另解：baababaCAPa)!()!1()(1有放回是有序行为，无放回是无序行为表明前k-1次是从a+b-1个球中取出的401.4条件概率1.4.1条件概率在实际问题中，除了要知道事件A的概率外，有时还要考虑在“已知事件B发生”的条件下，事件A发生的概率。一般情况下，两者的概率是不相等的，为了区别所见，我们把后者称为条件概率。)(AP)(BAP1-441条件概率定义定义：若A、B为同一随机试验的两个事件，且，则称在B发生条件下A发生的概率为事件A关于B的条件概率，记。()0PB(|)PAB42注意：条件概率也是概率。所以，它满足概率的一切性质。1)()(BAPBAP如：)()()(APBAPBAP但未必成立。条件概率计算()(|)()PABPBAPAAABB43例12、设10件产品中有2件次品，8件正品。现每次从中任取一件产品，且取后不放回，试求下列事件的概率。（1）前两次均取到正品（2）第二次取到次品（3）已知第一次取到次品，则第二次也取到次品44解：210Pn28PmA21028)(PPAP，102)(BP这显然是抽签的公平性，91)(CP（考虑样本空间的改变）或者：112822210()PPPPBP45问题（3）也可考虑：设A1：“第一次取到次品”A2：“第一次取到次品”)()()(12112APAAPAAP9110/2/21022PP462.概率的乘法定理定理：两事件的积事件的概率等于其中一事件的概率与另一事件在前一事件发生下的条件概率的乘积。即：P(A·B)=P(B)·P(A∣B)＝P(A)·P(B∣A))()()()(1112121nnnAAAPAAPAPAAAP47例13：某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号，求（1）拨号不超过3次而接通电话的概率。（2）若已知电话号码的最后一个数字是奇数，求拨号不超过3次而接通电话的概率。解：设A＝{拨号不超过3次而接通电话}，Ai＝{第i次拨号时接通电话}，i＝1,2,3。则：48且是两两互不相容的。321211AAAAAAA321211AAAAAA、、（1）P(A)＝1/10＋9/10·1/9＋9/10·8/9·1/8＝3/10（2）P(A)＝1/5＋4/5·1/4＋4/5·3/4·1/3＝3/5。)()()()()()()()()()(2131