数学建模竞赛论文

作者：宋健安韩小刚郭紫垣中国矿业大学（北京）数学建模竞赛附件1：2013年中国矿业大学（北京）第六届数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国矿业大学（北京）数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项）：B参赛队员：姓名学号1210440114院系机电姓名学号1210380102院系化环姓名学号1210720107院系理学院日期：2014年5月13日附件2：2013年中国矿业大学（北京）第六届数学建模竞赛评阅页评阅人评分评语总分：奖项：汽车租凭调度问题摘要国内汽车租赁市场兴起于1990年北京亚运会，随后在北京、上海、广州及深圳等国际化程度较高的城市率先发展，直至2000年左右，汽车租赁市场开始在其他城市发展。本文研究的目的在于通过建立数学模型，解决汽车租凭调度四个问题，使得汽车租凭公司借此制定调度方案获得最大的效益。问题一：在满足各代理点需求量前提下，使转运费用最低，该问题属于优化问题。我们将各代理点抽象为一个点，建立各代理点之间动态转移数组。在前一天的各代理点转入车量即等于当天各代理点的存车量条件下，结合转移费用、转运距离和转入量的三者关系，建立方程组，求总转运费用的最小值。在考虑需求的时候，我们想到用一个需求标准量来反映需求未被满足的次数。最后，通过lingo软件可解出在满足总转运费用最小和未被满足次数最小约束条件下的转移数组。解得总转运费用最小为48.43459万元，部分结果见附录1。问题二：设计一个既要满足转运费最小又要满足短缺损失费最小的调度方案。我们考虑将问题一中模型一进行修改，去除满足需求标准量加入短缺损失对整体优化问题的影响条件构建模型二。问题三：问题三需要考虑收入的影响，租凭收入=转移数量单辆租凭收入，从而我们想到用利润来衡量建立模型的合理性。租赁净收入=租赁收入-短缺损失-转运费，模型的目标就是求租赁净收入最大值。在满足租赁净收入最大的约束条件下求转移数组。问题三中遇到部分代理点租凭收入数据不全的情况，我们依据经济学中供求关系拟合出部分代理点租凭收入。问题四：模型四建立在模型三的基础上，租赁净收入最大化及公司汽车正常运行的条件下，得出汽车购买费用、维修及保险花费最少的方案。综上所述，我们建立的模型与算法符合实际，对制定汽车租凭调度方案有一定参考价值。关键词：转移数组优化目标函数优先级牛顿插值LINGO1汽车租凭调度问题一、问题的重述国内汽车租赁市场兴起于1990年北京亚运会，随后在北京、上海、广州及深圳等国际化程度较高的城市率先发展，直至2000年左右，汽车租赁市场开始在其他城市发展。某城市有一家汽车租赁公司，此公司年初在全市范围内有379辆可供租赁的汽车，分布于20个代理点中。每个代理点的位置都以地理坐标X和Y的形式给出，单位为千米。假定两个代理点之间的距离约为他们之间欧氏距离（即直线距离）的1.2倍。请解决如下问题：1．给出未来四周内每天的汽车调度方案，在尽量满足需求的前提下，使总的转运费用最低；2．考虑到由于汽车数量不足而带来的经济损失，给出使未来四周总的转运费用及短缺损失最低的汽车调度方案；3．综合考虑公司获利、转运费用以及短缺损失等因素，确定未来四周的汽车调度方案；4．为了使年度总获利最大，从长期考虑是否需要购买新车？如果购买的话，确定购买计划（考虑到购买数量与价格优惠幅度之间的关系，在此假设如果购买新车，只购买一款车型）。图一2二、模型假设1、各代理点当天转出量（包含自用量）等于前一天转入量2、尽量满足需求理解为供车量大于等于需求量3、不考虑车辆损坏4、第一天需求量被全部满足5、短缺即考虑短缺损失，但富裕不考虑其影响6、转入量全部被租出7、原有的车新旧程度符合均匀分布；8、原有车型均为同一车型且在购买车时，仅购买一种车型；9、汽车在维修时，此公司仍能保持正常运行；10、租赁总收入中已去除公司运营成本。三、符号说明i、j代理点i、j（i、j=1.2…20）n第n天(n=1.2…29)nijx第n天由代理点i到代理点j转运量niD第n天代理点i需求量ijm代理点i到j转运费ijS代理点i到j转运直线距离ijC代理点i到j转运欧式距离nih第n天代理点i满足需求标准量nie第n天代理点i短缺损失数iq代理点i短缺损失费ir代理点i单辆车租凭收入R总租凭收入M总转运费用H总满足需求标准量3Q总短缺损伤费 年度总获利iji型车j年的维修及保险费用N购买车辆数总维修及保险费用ii型车的车辆价格购买车辆费用P租赁净收入四、问题分析问题一：在满足各代理点需求量前提下，使转运费用最低，来考虑未来四周内每天调度方案。既要考虑各代理点当天存车量和需求量以及各代理点之间转运距离与转运费用，还要考虑各天之间的关系。我们将各代理点抽象为一个点，建立各代理点之间动态转移数组。在前一天的各代理点转入车量即等于当天各代理点的存车量条件下，结合转移费用、转运距离和转入量的三者关系，建立方程组，求总转运费用的最小值。在考虑需求的时候，我们想到用一个需求标准量来反映需求未被满足的次数。最后，计算在满足总转运费用最小和未被满足次数最小约束条件下的转移数组。问题二：问题二相比于问题一不仅要考虑转运费用还要由于短缺造成的经济损失。我们想到将问题一计算需求标准量转换成计算短缺数量，短缺数量=需求量-转入量。再由短缺数量求短缺损失。最后，计算在满足总转运费用最小和短缺损失最小的约束条件下的转移数组。问题三：问题三由问题二承接而来，问题三需要考虑收入的影响，租凭收入=转移数量单辆租凭收入，从而我们想到用利润来衡量建立模型的合理性。租赁净收入=租赁收入-短缺损失-转运费，模型的目标就是求租赁净收入最大值。在满足租赁净收入最大的约束条件下求转移数组。问题四：模型四建立在问题四的基础上，租赁净收入最大化及公司汽车正常运行的条件下，得出汽车购买费用、维修及保险花费最少的方案。目标函数：Max年度总获利=租赁总收入-购买车辆费用-维修及保险费用。在保证总利润最大化时，求出汽车购买费用，进而得出购买计划。五、模型的建立与求解5.1问题一5.1.1模型一主要思想模型一主要解决在满足需求量的条件下，得出使转运费最小的调度方案。我们将4该问题转化为寻找一个转移数组使总转运费和总满足需求标准量最小的优化问题。5.1.2模型一建立首先我们将各代理点抽象为一点，各点的直线距离构成一个数组集合{ijS}（其中ijjiSS）。各点之间的转运距离用欧式距离数组集合{ijC}（ijC=1.2ijS）表示。各点之间转运费数组集合为{ijm}（其中ijjimm；当ij时，ijm=0）。接下来我们构建一个转移数组集合{nijx}。前一天存车量BBxAAxBAxABx当天转入量=当天存车量……图二代理点A、B之间转运量则总转运费29202011ijijnijnjiMCmx为了衡量需求被满足情况，我们引入了满足需求标准量nih则总满足需求标准量292011niniHh问题一的目标函数为minMminHABAB.…5由于有两个目标函数，我们根据题意设立优先级，先求解目标函数minH，再在解的基础上求解minM。这样一来，优化得出转移数组集合{nijx}最优解。转移数组因为代理点i满足第n天转出量小于等于当天存车量（即第1n转入量）表示为：2020111nijnjijjxx需求标准量0（201njijxniD）nih1（201njijxniD）201njijx:第n天代理点i转入量niD:第n天代理点i需求量5.1.3问题一的求解我们先通过MATLAB求解各代理点之间的距离以及转运费用数组，结果见附录1部分结果整理如下：第二天接收点转移点CDEFGHJ......A3.00000-6.000002.00000-6.000002.000002.000000.00000......B-6.0000010.00000-8.000002.000005.000001.00000-8.0000......第三天6接收点转移点CDEFGHJ......A4.00000-6.000003.00000-7.000002.000002.000000.00000......B-6.0000010.00000-8.000001.000003.000001.00000-10.0000......第四天接收点转移点CDEFGHJ......A3.00000-6.000002.00000-6.000002.000002.000000.00000......B-6.0000010.00000-8.000002.000005.000001.00000-8.0000......解得最小转运费用M=48.43459万元5.2问题二5.2.1模型二主要思想模型二主要找到既要满足转运费最小又要满足短缺损失费最小。我们考虑将问题一中模型一进行修改，去除满足需求标准量加入短缺损失对整体优化问题的影响条件构建模型二。5.2.2模型二建立我们考虑到模型二针对转运费和短缺损失费这两点限制条件，对模型一进行修改，去除满足需求标准量，引入了短缺损失数量集合{nie}。则总短缺损伤费：292011nininiQqe问题二的目标函数为minMminQ7由于有两个目标函数，我们根据题意设立优先级，先求解目标函数minQ，再在解的基础上求解minM。这样一来，优化得出转移数组集合{nijx}最优解。短缺损失数量0（niD2011njijx）nie=2011ninjijDx（niD2011njijx）201njijx:第n天代理点i转入量niD:第n天代理点i需求量5.2.3问题二的求解5.3问题三5.3.1模型三主要思想模型三要综合考虑公司获利、转运费用以及短缺损失等因素来设计一个汽车调度方案。我们考虑到问题三相较于问题二，多了租凭收入的因素，问题三并未要求哪一项费用最低，而是要求获得最大的经济效益，从而我们想到用利润来衡量建立模型的合理性。利润=收入-短缺损失-转运费，模型的目标就是求利润最大值。在满足利润最大的约束条件下求转移数组。5.3.2模型三建立考虑到问题二与问题三的相关性，我们基于问题二建立了模型三。首先我们引入了总租凭收入R，租凭收入=转移数量单辆租凭收入。则总租凭收入为：2920201111injinijRrx接着我们引入租赁净收入，因为租赁净收入=收入-短缺损失-转运费，则租赁净收入为：PRQM8则问题三的目标函数为：minP这样一来，优化得出转移数组集合{nijx}最优解。5.3.3问题三的求解通过观察数据发现各代理点租凭收入数据发生部分缺失，我们用牛顿差值方法对数据进行补充，结果如下：5.4问题四5.4.1模型四主要思想模型四主要考虑在模型三租赁净收入最大化及公司汽车正常运行的条件下，得出汽车购买费用、维修及保险花费最少的方案。5.4.2模型四建立目标函数：Max年度总获利=租赁净收入-购买车辆费用-维修及保险费用。我们通过与4s店联系,得到购买数量与汽车价格优惠的关系：若N20时，汽车折后价格=i9.8*；若N40时，汽车折后价格=i9.5*。由此公司原379汽车的新旧程度的均匀分布图像可以得出一年需购买车辆数为n，则购买车辆费用=购买车辆数*车辆价格，即i=N*。总维修及保险费用：ij8j1=N*则目标函数：maxP，在求解此目标函数的最大值时，便可得出应购买多少辆车及什么车型。代理点.....PQRST短缺损失费（