水平宽铅垂高求三角形面积.doc

1作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法------------二次函数教学反思铅垂高如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ahSABC21，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.BC铅垂高水平宽ha图1CBAOyxDBAOyxP2例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B（1，3）（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1,3），得33a，因此232333yxx（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.设直线AB为y=kx+b.所以33,320.233kkbkbb解得，因此直线AB为32333yx，当x=－1时，33y，因此点C的坐标为（－1，3/3）.（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.2221()()21323323323333333223193228PABPADPBDDPBASSSyyxxxxxxxx当x=－12时，△PAB的面积的最大值为938，此时13,24P.例2．(2014益阳)如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及CABS；(3)是否存在一点P，使S△PAB=89S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21xay把A（3,0）代入解析式求得1a所以324)1(221xxxy设直线AB的解析式为：bkxy2由3221xxy求得B点的坐标为)3,0(把图-2xCOyABD113)0,3(A，)3,0(B代入bkxy2中解得：3,1bk所以32xy····(2)因为C点坐标为(１,4)所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2所以CD＝4-2＝232321CABS(平方单位)(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，则xxxxxyyh3)3()32(2221由S△PAB=89S△CAB得389)3(3212xx化简得：091242xx解得，23x将23x代入3221xxy中，解得P点坐标为)415,23(例3．（2015江津）如图，抛物线cbxxy2与x轴交于A(1,0),B(-3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2yxbxc中得10930bcbc＝∴23bc∴抛物线解析式为：223yxx(2)存在。理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴1x对称∴直线BC与1x的交点即为Q点，此时△AQC周长最小∵223yxx∴C的坐标为：(0，3)直线BC解析式为：3yxQ点坐标即为13xyx的解∴12xy∴Q(－1，2)（3）答：存在。理由如下：设P点2(23)(30)xxxx，∵92BPCBOCBPCOBPCOSSSS四边形四边形若BPCOS四边形有最大值，则BPCS就最大，∴BPEBPCOPEOCSSSRt四边形直角梯形＝11()22BEPEOEPEOC＝2211(3)(23)()(233)22xxxxxx＝233927()2228x当32x时，BPCOS四边形最大值＝92728∴BPCS最大＝9279272828当32x时，215234xx∴点P坐标为315()24，4(3)xyABCPEOxyABCQO(2)同学们可以做以下练习：1．（2015浙江湖州）已知如图，矩形OABC的长OA=3，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。（1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（，）；（2）若P，A两点在抛物线y=－43x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。2．（湖北省十堰市2014）如图①，已知抛物线32bxaxy（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．5图①图②3.(2015年恩施)如图11，在平面直角坐标系中，二次函数错误!未找到引用源。的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP错误!未找到引用源。C，那么是否存在点P，使四边形POP错误!未找到引用源。C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.解：（1）将B、C两点的坐标代入得错误!未找到引用源。解得：错误!未找到引用源。所以二次函数的表达式为：错误!未找到引用源。（2）存在点P，使四边形POP错误!未找到引用源。C为菱形．设P点坐标为（x，错误!未找到引用源。），PP错误!未找到引用源。交CO于E若四边形POP错误!未找到引用源。C是菱形，则有PC＝PO．连结PP错误!未找到引用源。则PE⊥CO于E，∴OE=EC=错误!未找到引用错误!未找到引用源。图116源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。．∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。（不合题意，舍去）∴P点的坐标为（错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。）（3）过点P作错误!未找到引用源。轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，错误!未找到引用源。），易得，直线BC的解析式为错误!未找到引用源。则Q点的坐标为（x，x－3）.错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。当错误!未找到引用源。时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为错误!未找到引用源。，四边形ABPC的面积错误!未找到引用源。．25．（2015绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积．【解析】（1）由题意，得,0424,04416baba解得21a，b=－1．所以抛物线的解析式为4212xxy，顶点D的坐标为（－1，29）．（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH+CH最小，即最小为CEDGAxyOBFKNCEDGAxyOBF7DH+CH=DH+HB=BD=132322DMBM．而25)429(122CD．∴△CDH的周长最小值为CD+DR+CH=21335．设直线BD的解析式为y=k1x+b，则,29,021111bkbk解得231k，b1=3．所以直线BD的解析式为y=23x+3．由于BC=25，CE=BC∕2=5，Rt△CEG∽△COB，得CE:CO=CG:CB，所以CG=2.5，GO=1.5．G（0，1.5）．同理可求得直线EF的解析式为y=21x+23．联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（43，815）．（3）如图所示，设K（t，4212tt），xF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．则KN=yK－yN=4212tt－（21t+23）=2523212tt．所以S△EFK=S△KFN+S△KNE=21KN（t+3）+21KN（1－t）=2KN=－t2－3t+5=－（t+23）2+429．即当t=－23时，△EFK的面积最大，最大面积为429，此时K（－23，835）．平面直角坐标系中三角形面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.1．有一边在坐标轴上：例1：如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），求△ABC的面积.分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.2．有一边与坐标轴平行：8例2：如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求△ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.3．三边均不与坐标轴平行：例3：分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.4．三角形面积公式的推广：过△ABC三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h）．我们