弹性变形能(应变能)

2020/2/221弹性变形能（应变能）单位：1J=1N·m——构件由于发生弹性变形而储存的能量（如同弹簧）,。表示为V变形体的功能原理——弹性范围内，构件受静载外力产生变形的过程中，能量守恒，即：外力功=变形能VW略去动能及能量损耗§3-2应变能余能2020/2/222(a)轴向拉（压）杆22Nε2221llEAEAlFlFWVⅠ应变能（1）线弹性体1.基本变形形式【材料力学（Ⅰ）】利用应变能在数值上等于外力功W，可得εV2020/2/2232pp2p2eeε22221lGIGIlTGIlMMWV(b)扭转2020/2/224(c)弯曲纯弯曲EIlMEIlMMWV222122eeε2020/2/225弯曲应变能dxEIxMVl2)(2各种基本变形的应变能统一表达式：dxVl（刚度）内力）2(2EIdxMdxMMddV2222EIM1MMdMMdx横力弯曲对于细长梁来说一般可略去剪切应变能2020/2/226也可以把应变能统一写成FΔWV21ε式中，F为广义力，可以代表一个力,一个力偶,一对力或一对力偶等。为广义位移，可以代表一个线位移,一个角位移,一对线位移或一对角位移等。拉压扭转弯曲内力FNTM刚度EAGIPEI2020/2/2271.构件上有一组广义力共同作用ACMFwWVeε2121令F=F1,wC=1,Me=F2,A=2,则2211ε2121ΔFΔFWVEIlMEIFlA316e2（）EIlMEIFlwC16482e3（）CwCFEIABMel/2l/2A,2020/2/228iininnΔFΔFΔFΔFWV12211ε21212121),,2,1(niFi为广义力，i为Fi的作用点沿Fi方向的广义位移，它是由所有广义力共同产生的。2.组合变形（用内力形式表示的应变能）M(x)—只产生弯曲转角d小变形时不计FS产生的应变能，ΔdFN(x)—只产生轴向线位移dT(x)—只产生扭转角有n个广义力同时作用时2020/2/229对于dx微段，FN(x),T(x),M(x)均为外力。略去高阶微量后，dx段的应变能为d)(21d)(21d)(21ddNεxMxTΔxFWVEIxxMGIxxTEAxxF2d)(2d)(2d)(2p22N杆的应变能为llllEIxxMGIxxTEAxxFVV2d)(2d)(2d)(d2p22Nεε2020/2/2210(a)由于应变能是外力（内力）或位移的二次齐次式，所以产生同一种基本变形形式的一组外力在杆内产生的应变能，不等于各力单独作用时产生的应变能之和。小变形时，产生不同变形形式的一组外力在杆内产生的应变能等于各力单独作用时产生的应变能之和。EAaFEAbaFV22)(2221εEAaFFEAbFV2)(222121ε3.应变能的特点:EAF2F1ab例)()()(eε2ε1εεMVFVFVVF1F2Me2020/2/2211应变能与内力（或载荷）不是线性关系，故多个载荷作用时，求应变能不可随意用叠加法。注意组合变形分解为各基本变形后（互不偶合），分别计算并求和：变形能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的变形能可以相互叠加。dxEIxMdxGIxTdxEAxFVlllPN2)(2)(2)(2222020/2/2212(b)应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒）F和Me同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值——简单加载。在线性弹性范围时，力和位移成正比，位移将按和力相同的比例，由零逐渐增加到最终值。EIlMEIFlwC16482e3EIlMEIFlA316e2EIlFMEIlMEIlFMFwVAC1669621212e2e32eε上图中CwCFEIABMel/2l/2A,(a)2020/2/2213先加F,再加Me(图b，c)ee,,e,ε2121MCMAFCwFMwFVEIlMFEIlMMEIFlFe1632148212ee3EIlFMEIlMEIlF166962e2e32式中，为力F在由Me产生的C点处的挠度上作功，所以无系数。eC,MwF21EIlFwFC483,(b)CwC,FFEIABl/2l/2A,F,EIlMwMC162e,eEIlMMA3e,ecFEIABMel/2l/2wC,F(c),还可以先加Me，再加F，得到的应变能和以上的值相同。εV2020/2/2214FSMNMTAAFNBT例1图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。解：用能量法（外力功等于应变能）①求内力:()sinMFR弯矩:()(1cos)TFR扭矩AFR2020/2/2215③外力功等于应变能②变形能：222n()()()ddd222LLLPMxMxFxUxxxEAGIEI22222200(1cos)(sin)dd22PFRFRRRGIEI2323344PFRFRGIEI2AFWfU33322APFRFRfGIEI2020/2/2216Ⅱ.余能图a为非线性体弹性体的受拉杆，其F－和s－关系如图b,c所示。（1）余功的定义为FΔWFd10c2020/2/2217其大小为曲面OF1a的面积如图d所示。Wc和外力功W具有相同的量纲，且Wc为矩形OF1a1的面积与曲面Oa1的面积（W）之差（图d）,故称Wc为余功。Wc只有几何图形上的意义，无物理概念，即没有什么力作的功为Wc。FF1WcaW1o(d)2020/2/2218余能密度为ssd10cv（3－8）(3－7)和（3－8）式，分别以F和s为自变量，=f(F),f(s)。所以Vc=f(F)为受力状态的函数。VcVF1F1a(e)o（3）线弹性体（图e）V和Vc数值相等，但概念和计算方法不同，即Vf(),Vcf(F)。仿照,WVε余能为FΔWVFd10cc（3－7）（2）余能VvVVdcc（3－9）余能为2020/2/2219例图a中两杆的长度均为l,横截面面积均为A。材料在单轴拉伸时的s－关系如图b所示。求结构的余能。解：该题为物理非线性问题，需用求Vc。VvVVdcc由结点C的平衡方程，得二杆的轴力为cos212NN1FFF应力为scos21N1AFAF2020/2/2220余能密度为sssssd)(d1100cnkv1111)cos2()1(1)1(1nnnnAFnknks结构的余能为11ccc)cos()1()2(2dnnnVFnkAlAlvVvVnk)(s得（n1）nk/1s由