弹性力学变分法

第九章变分法真实的位移除了满足位移边界条件外，根据它们求得的应力还应满足应力边界条件和平衡微分方程。求解微分方程的边值问题，只有在简单的情况下，才能得到解析解。多数情况下，只能采用数值计算的方法。基于能量原理的变分法为数值计算提供了理论基础。其中基于最小势能原理的里滋方法等可用于数值计算。第一节变形能与最小势能原理第二节位移变分法里滋方法第三节伽辽金方法第四节应力变分法设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态，发生的真实位移为u,v,w，它们满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边界条件和用位移表示的应力边界条件。弹性体受力后，发生变形，外力作功，外力功转化为变形能，储存在弹性体内，单元体内的变形能为)(210xyxyzxzxyzyzzzyyxxU第九章变分法第一节变形能与最小势能原理ijijijijijU21d00或zyxzyxUUijijddd21ddd0整个弹性体内的变形能为应变余能的概念以一维应力状态为例，U0实际是应力应变曲线下的面积（不限于线弹性）xxxUd00定义ijijijUd'00为单位体积的应变余能，在一维情况下为xxxUd'00εxσxdεxOdσx应变余能没有明显的物理意义，在一维情况下，表示应力应变曲线在应力一侧下的面积。1应变余能与应变能互补'00UUxx2应变余能的积分式中，积分变量为应力分量3在线弹性时，应变余能与应变能相等εxσxdεxOdσx应变用应力表示，上式成为))(1(2)(2)[(212222220xyzxyzyxxzzyzyxEU应力用应变表示后，应变再用位移表示，得到变形能的位移表达式zyxyuxvxwzuzvywzwyvxuzwyvxuEUddd21212121)1(22222222这里u=u(x,y,z),v=v(x,y,z),w=w(x,y,z)他们本身是弹性体各点的函数,U这样的积分依赖于这些函数取得不同的数值,这样的积分通常称为泛函.一般的函数只依赖于自变量的值.关于变分概念微分是变量的增量，变分是函数的增量，通常用δ表示，具有以下的性质：SuudSuxxuwuwudδδδδδδ)(δ如果将变形余能用应力表示,则可以得到,,,,,000000xyxyzxzxyzyzzzyyxxUUUUUUyzx000δ...δ...δ...δδyzxyzyzxxUUU根据变形能的表达式,',','',','000000xyxyzxzxyzyzzzyyxxUUUUUU现在假设位移发生了位移边界条件所容许的微小位移（虚位移）δu，δv，δw，这时外力在虚位移上作虚功,虚功应和变形能泛函的增加相等：]d)(ddd)([δδbbbSwpvpupzyxwFvFuFUzyxzyx其中，Fbx,Fby,Fbz为体力分量，Px,Py,Pz.为面力分量，三重积分包括弹性体的全部体积，二重积分包括弹性体的全部面积（但实际仅在未给定位移，给定面力的边界不为零）。0]d)(ddd)([δbbbSwpvpupzyxwFvFuFUzyxzyx上式可写为]d)(ddd)(bbbSwpvpupzyxwFvFuFVzyxzyx0)(δVU设外力势能为可写为该式的意义是：在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的各组位移中，实际存在的一组位移应使总势能为最小。如果考虑二阶变分，进一步的分析证明，对于稳定平衡状态，这个极值是极小值。因此，该式又称为最小势能原理。现在假设位移发生了位移边界条件所容许的微小位移（虚位移）δu，δv，δw，应变的变分可记为：下面我们证明实际存在的一组使总势能为最小的位移,根据他们求得的应力满足平衡方程和应力边界条件。vzwyzvywuxxuyzxδδδδδδδzyxvzwyuxzyxUUUyzxyzyzxxddd...δδ...δddd...δ...δ00,,,,,000000xyxyzxzxyzyzzzyyxxUUUUUU有其中第一项根据分步积分zyxuxSulzyxuxzyxuxzyxuxxxxxxdddδdδdddδddd)δ(dddδ1zyxwyxzvxzyuzyxSwlllvlllulllUyzxzzzyxyxyzxyxxyzyzxyzyxyzxxyxdddδδδd]δ)(δ)(δ)[(δ321321321其他类似可得zyxwFyxzvFxzyuFzyxSwplllvpllluplllVUzyzxzzyzyxyxyxzxyxxzyzyzxyyzyxyxzxxyxdddδδδd]δ)(δ)(δ)[()(δbbb321321321总势能为虚位移δu，δv，δw，各自独立,而且是完全任意的,因此上列积分式中括号内的系数均等于零,这样我们就得到而这正是平衡方程和边界条件,这样我们从虚位移原理或最小势能原理的变分方程,就包含了平衡方程和边界条件.如果我们给出的位移是坐标的连续函数(自然满足形变连续方程)满足弹性体的几何约束,并且也满足最小势能原理或虚位移原理,则求得的应力也满足平衡方程和边界条件,也就是说他们是弹性问题的解.及px=l1σx+l2τyx+l3τzxpy=l1τxy+l2σy+l3τzypz=l1τxz+l2τyz+l3σz或Pi=σijlj最小势能原理的意义弹性体在外力的作用下，发生位移，产生变形。位移可以是各种各样的，但必须满足位移的边界条件。满足位移边界条件的位移称为容许位移，容许位移也有无穷多组，其中只有一组是真实的，真实位移除了满足位移边界条件外，根据它们求得的应力还应满足应力边界条件和平衡微分方程。变分法为数值计算提供了理论基础。其中最小势能原理指出：在无穷多组的容许位移中，使弹性体总势能为最小的一组位移，就是我们要找的位移，根据它们求得的应力还满足应力边界条件和平衡微分方程。在无穷多组的容许位移中找到这一组，就必须求解微分方程的边值问题，很可惜，只有在简单的情况下，才能得到解析解。多数情况下，只能采用数值计算的方法。变分方法从能量角度分析，提供了解决问题的另一种思路，为数值计算奠定了理论基础。例如在两端固定的柔索，可以有各种形状，但只有一种是真实的，这一种使得柔索的总势能为最小。最小势能原理的简单例子再以最简单的轴向受压的杆件为例，总势能包括外力势能和弹性体的变形势能，这两个势能都以杆件顶部的位移为参数，随位移增大，弹性体的应变能增大，而外力势能减小，其变化曲线如图所示：FuVCuU221其中C为杆的刚度。F外力势能随位移成直线下降，弹性体势能成抛物线上升，总势能为开始，总势能呈下降趋势，到达某一位置，总势能为最小，过了这一点，弹性体的势能的增加超过了外力势能的减少，总势能又开始增加。在总势能最小点，弹性体在该外力作用下达到平衡。这时的位移是真实的位移。FuCuVU221F第二节位移变分法先设定满足位移边界条件的位移分量的表达式，其中包含若干个待定的系数，再根据最小势能原理，决定这些系数。设位移分量的表达式mmmmmmmmmwCwwvBvvuAuu000其中u0,v0,w0为设定的函数，在边界上的值等于边界上的已知位移；um,vm,wm为边界值等于零的设定函数，Am，Bm，Cm为待定的系数，位移的变分由它们的变分来实现。mmmmmmmmmCwwBvvAuuδδδδδδ)δδδ(δmmmmmmCCUBBUAAUUmmmzmmymmxmmmzmmymmxSCwpBvpAupzyxCwFBvFAuFVd)δδδ(ddd)δδδ(δbbb应变能的变分为外力势能的变分为SwpzyxwFCUSvpzyxvFBUSupzyxuFAUmzmzmmymymmxmxmddddddddddddbbb代入0)δ(VU中，得到上面是个数为3m的线性代数方程组，求解后，代回位移分量的表达式，得到位移分量的近似解。yxyuxvyxyvxuyvxuEUdd21dd2)1(22222变形能的一般位移表达式为在平面应力状态的表达式为zyxyuxvxwzuzvywzwyvxuzwyvxuEUddd21212121)1(22222222在不考虑剪切效应时,直杆弯曲的应变能为已知图示悬臂梁,抗弯刚度为EI,求最大挠度值.解:设llxxwEIxEIxMU022202ddd21d)(21满足固定端的边界条件.)(3322xaxaw0'000xxwwlLxLaLaFxaaEIVUELaLaFFwV03322232t3322)(d)62(2)(由最小势能原理下面用最小势能原理来确定参数.llxaaEIxEIxMU023202d)62(2d)(21ll2FLxaaxEIaEFLxaaEIaEaaEaaEE03323t02322t33t2tt0)d62(12210)d62(42100δEIFLwwLxxEIFLwEIFLaEIFLaEIFLLaLaEIFLLaLaLx33662622323max23222322232解得这里得到的是精确解。例：如图所示的薄板，不计体力，求薄板的位移设位移yBvBvxAuAu111111,它们是满足位移边界（左边和下边）的边界条件的。yxyuxvyxyvxuyvxuEUdd21dd2)1(22222在平面应力状态的表达式为abdxdyBABAEU001121212)2()1(2可得)2()1(21121212BABAEabUsvpBUsupAUyxd,d1111abqBUabqAU2111,abqABEababqBAEab21121112)22()1(2)22()1(2即可得由即EqqBEqqA121211,yEqqvxEqqu1221,解得里滋方法的步骤上述方法称为里滋法，其要点是要找到满足全部边界条件的位移函数，而这种函数一般仍然难以找到，尤