2020届高考数学复习第二编讲专题专题七选修4系列第1讲坐标系与参数方程课件文

第1讲坐标系与参数方程第二编讲专题专题七选修4系列「考情研析」高考中，该部分内容常以直线、圆锥曲线(主要是圆、椭圆)几何元素为载体，主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化；同时进一步考查利用相应方程形式或几何意义解决元素位置关系、距离、面积等综合问题．该部分试题难度一般不大.1核心知识回顾PARTONE1.极坐标与直角坐标的互化公式设点P的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则(ρ，θ)⇒(x，y)(x，y)⇒(ρ，θ)x＝ρcosθ，y＝ρsinθρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠02．常见圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为r的圆：．(2)圆心为M(a,0)，半径为a的圆：.(3)圆心为Ma，π2，半径为a的圆：．□01ρ＝r(0≤θ2π)□02ρ＝2acosθ－π2≤θ≤π2□03ρ＝2asinθ(0≤θ≤π)3．常见直线的极坐标方程(1)直线过极点，直线的倾斜角为α：．(2)直线过点M(a,0)，且垂直于极轴：.(3)直线过点Ma，π2，且平行于极轴：．□01θ＝α(ρ∈R)□02ρcosθ＝a－π2θπ2□03ρsinθ＝a(0θπ)4．直线、圆与椭圆的参数方程2热点考向探究PARTTWO考向1极坐标方程及应用例1(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ00)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解(1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sinπ3＝23.由已知得|OP|＝|OA|cosπ3＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．在Rt△OPQ中，ρcosθ－π3＝|OP|＝2.经检验，点P2，π3在曲线ρcosθ－π3＝2上，所以，l的极坐标方程为ρcosθ－π3＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，所以θ的取值范围是π4，π2.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈π4，π2.直角坐标与极坐标方程的互化及应用(1)直角坐标方程化极坐标方程时，通常可以直接将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可．(2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsinθ，ρcosθ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等．(2019·武汉市高三调研)在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1：ρsinθ＋π4＝22，C2：ρ2＝13－4sin2θ.(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；(2)曲线C1和C2的交点为M，N，求以MN为直径的圆与y轴的交点坐标．解(1)由ρsinθ＋π4＝22得ρsinθcosπ4＋cosθsinπ4＝22，将ρsinθ＝y，ρcosθ＝x代入上式得x＋y＝1.即C1的直角坐标方程为x＋y＝1，同理，由ρ2＝13－4sin2θ可得3x2－y2＝1，∴C2的直角坐标方程为3x2－y2＝1.(2)∵PM⊥PN，先求以MN为直径的圆，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由3x2－y2＝1，x＋y＝1，得3x2－(1－x)2＝1，即x2＋x－1＝0.∴x1＋x2＝－1，x1x2＝－1，则MN的中点坐标为－12，32.∴|MN|＝1＋12|x1－x2|＝2×1－4×－1＝10，∴以MN为直径的圆的方程为x＋122＋y－322＝1022，令x＝0，得14＋y－322＝104，即y－322＝94，∴y＝0或y＝3，∴所求P点坐标为(0,0)或(0,3)．考向2参数方程及应用例2(2019·四川省华文大教育联盟高三第二次质量检测)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝2＋tcosα，y＝tsinα(t为参数)．(1)求曲线C和直线l的普通方程；(2)直线l与曲线C交于A，B两点，若|AB|＝1，求直线l的方程．解(1)对曲线C：x＝cosθ，y＝sinθ消去参数θ，得x2＋y2＝1.对直线l：x＝2＋tcosα，y＝tsinα消去参数t，当cosα＝0时，l：x＝2；当cosα≠0时，l：y＝tanα(x－2)．(2)把x＝2＋tcosα，y＝tsinα代入x2＋y2＝1中，得t2＋4tcosα＋3＝0.因为Δ＝16cos2α－120，所以cos2α34.因为t1＋t2＝－4cosα，t1t2＝3，|AB|＝|t1－t2|＝1，所以(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝16cos2α－12＝1，所以cos2α＝1316，所以tan2α＝sin2αcos2α＝313.所以tanα＝±3913，即直线l的斜率为±3913.所以直线l的方程为y＝3913x－23913或y＝－3913x＋23913.参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．(2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．(3)常见消参数的关系式：①t·1t＝1；②t＋1t2－t－1t2＝4；③2t1＋t22＋1－t21＋t22＝1.(2019·太原市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝tcosα，y＝1＋tsinα，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)若曲线C1方程中的参数是α，且C1与C2有且只有一个公共点，求C1的普通方程；(2)已知点A(0,1)，若曲线C1方程中的参数是t,0απ，且C1与C2相交于P，Q两个不同点，求1|AP|＋1|AQ|的最大值．解(1)∵ρ＝2cosθ，∴曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，∵α是曲线C1：x＝tcosα，y＝1＋tsinα的参数，∴C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝t2，∵C1与C2有且只有一个公共点，∴|t|＝2－1或|t|＝2＋1，∴C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝(2－1)2或x2＋(y－1)2＝(2＋1)2.(2)∵t是曲线C1：x＝tcosα，y＝1＋tsinα的参数，∴C1是过点A(0,1)的一条直线，设与点P，Q相对应的参数分别是t1，t2，把x＝tcosα，y＝1＋tsinα代入(x－1)2＋y2＝1得t2＋2(sinα－cosα)t＋1＝0，∴t1＋t2＝－2sinα－cosα＝－22sinα－π4，t1t2＝1，∴1|AP|＋1|AQ|＝1|t1|＋1|t2|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝22sinα－π4≤22，当α＝3π4时，Δ＝4(sinα－cosα)2－4＝40，所以1|AP|＋1|AQ|取得最大值22.考向3极坐标与参数方程的综合应用角度1极坐标方程中极径几何意义的应用例3在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为x2＝4y＋4.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝8，求l的斜率．解(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得抛物线C的极坐标方程ρ2cos2θ－4ρsinθ－4＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)，设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2cos2α－4ρsinα－4＝0，因为cos2α≠0(否则，直线l与抛物线C没有两个公共点)，于是ρ1＋ρ2＝4sinαcos2α，ρ1ρ2＝－4cos2α，|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝16cos2α＋16sin2αcos2α＝4cos2α，由|AB|＝8得cos2α＝12，tanα＝±1，所以l的斜率为1或－1.(1)几何意义：极径ρ表示极坐标平面内点M到极点O的距离．(2)应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题．(2019·哈尔滨市第三中学高三第一次模拟)已知曲线C1：x＋3y＝3和C2：x＝6cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．解(1)因为C2的参数方程为x＝6cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)，所以其普通方程为x26＋y22＝1，又C1：x＋3y＝3，所以可得C1和C2的极坐标方程分别为C1：ρsinθ＋π6＝32，C2：ρ2＝61＋2sin2θ.(2)∵M(3，0)，N(0,1)，∴P32，12，∴OP的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsinθ＋π6＝32，得ρ1＝1，所以点P的坐标为1，π6，把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin2θ，得ρ2＝2，所以点Q的坐标为2，π6.∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.角度2直线参数方程中参数几何意义的应用例4(2019·山东高三模拟)在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝－1＋tcosα，y＝3＋tsinα(t为参数，α为直线l的倾斜角)，点P和F的坐标分别为(－1,3)和(1,0)；以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθsin2θ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，且PA→·PB→＝2PF→2，求α的值．解(1)由ρ＝4cosθsin2θ，得ρ2sin2θ＝4ρcosθ，即y2＝4x，所以曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.(2)将x＝－1＋tcosα，y＝3＋tsinα，代入y2＝4x得，t2sin2α＋(6sinα－4cosα)t＋13＝0(sin2α≠0)，由题意，得Δ＝(6sinα－4cosα)2－4×13sin2α0，(*)设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝13sin2α，由点P在直线l上，得PA→·PB→＝|PA→|·|PB→|＝|t1t2|＝13sin2α，2PF→2＝2|PF→|2＝2(22＋32)＝26，所以13sin2α＝26，即sinα＝±22，结合0≤α≤π，所以α＝π4或α＝3π4，将α代入(*)，可知α＝π4不适合，α＝3π4适合．综上，α＝3π4.对直线参数方程x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，其中M0(x0，y0)为定点，α为直线倾斜角的理解(1)几何意义：参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离，若t0，则M0M→的方向向上；若t0，则M0M→的方向向下；若t＝0，则点M与M0重合．(2)应用：一般应用于过定点的直线与圆锥曲线交于A，B两点，与弦长|AB|及其相关的问题，解决的方法是首先用t表示出弦长，再结合根与系数的关