史上最难1984全国高考理科数学试卷

1/9编者说明数学试卷选择题，同上一年，即1983年一样多，也是5道小题，但考生感到比上年难得多。有的考生拿到第1小题就不能动笔。首先是因为1984年对选择题的考题要求很严。第一次也是唯一一次提出“得负分”的评分要求。第二是选择题的设计，命题人第一次考虑到选择题“淘汰法”解题方法。比如第1小题，排除3个错误答案比选择1个正确答案要迅速得多。可是，在刚刚出现选择题（1983年第一次用选择题）的考场上，考生几乎没有这种解题思想。许多交白卷的考生，首先就被第1题挡住了“去路”。数学月刊七月号创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷（这份试卷共八道大题，满分120分奎屯王新敞新疆第九题是附加题，满分10分，不计入总分）一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分。不选，选错或多选得负1分奎屯王新敞新疆1．数集X={（2n+1）π，n是整数}与数集Y={（4k1）π，k是整数}之间的关系是（C）（A）XY（B）XY（C）X=Y（D）X≠Y2．如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（C）（A）F=0，G≠0，E≠0.（B）E=0，F=0，G≠0.（C）G=0，F=0，E≠0.（D）G=0，E=0，F≠0.3.如果n是正整数，那么)1]()1(1[812nn的值（B）（A）一定是零（B）一定是偶数奎屯王新敞新疆（C）是整数但不一定是偶数（D）不一定是整数奎屯王新敞新疆4.)arccos(x大于xarccos的充分条件是（A）（A）]1,0(x（B）)0,1(x（C）]1,0[x（D）]2,0[x5．如果θ是第二象限角，且满足,sin12sin2cos那么2（B）（A）是第一象限角（B）是第三象限角（C）可能是第一象限角，也可能是第三象限角（D）是第二象限角二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分奎屯王新敞新疆只要求直接写出结果）1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积奎屯王新敞新疆答：.84或2.函数)44(log25.0xx在什么区间上是增函数？答：x＜-2.3．求方程21)cos(sin2xx的解集奎屯王新敞新疆编者说明1984年，是中国高考改革有创意的一年。就在这一年，数学命题组提出了高考“出活题，考基础，考能力”的命题指导思想。自1977年恢复高考以来，高考命题基本上是“模仿命题”，模仿课本上的例习题，模仿教参上的参考题，考场上出现了“解题有套”的现象，高校传出了“高分低能”的说法。1984年的数学试卷，创造了大批新题，即所谓活题。广大考生第一次见到这样的新题或活题，感到非常之难。当年，北京市的分数，人均只有17分，创下了新中国成立以来，数学高考难度之“最”。2/9编者说明1984年的第二大题，含6个小题，比1983年的2个小题多出了4个，从而使整个试卷的题量比1983年多出了3道。题目很活，题量又大，多数考生在规定的时间不能完成解答，这也是1984年数学得分很低的原因之一。答：},12|{},127|{ZnnxxZnnxx4．求3)2||1|(|xx的展开式中的常数项奎屯王新敞新疆答：-20奎屯王新敞新疆5．求1321limnnn的值奎屯王新敞新疆答：06．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）奎屯王新敞新疆答：!647P三．（本题满分12分）本题只要求画出图形奎屯王新敞新疆1．设,0,1,0,0)(xxxH当当画出函数y=H(x-1)的图象奎屯王新敞新疆2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(的曲线奎屯王新敞新疆解（1）（2）解：1.2.3/9编者说明1984年的第三大题，是1983年第二大题的发展。虽然仍为作图题，但比1983年的考题难得多。1983年的题设式子是简单式子，看式便可作图；而1984年的题设式子是“复杂式子”，需要首先将式子变形化简，从而增加了试卷难度。编者说明1984年的第四大题，考查立体几何内容。题目从表面看去，似乎不难。然而，由于命题人故意没有给“题图”，使得广大考生不知如何画图，从而陷入困境。四．（本题满分12分）已知三个平面两两相交，有三条交线奎屯王新敞新疆求证这三条交线交于一点或互相平行奎屯王新敞新疆证：设三个平面为α，β，γ，且.,,abc.,,,bcbc从而c与b或交于一点或互相平行奎屯王新敞新疆1．若c与b交于一点，设;,,.PccPPbc有且由aPPbbP于是有又由.,,，∴所以a，b，c交于一点（即P点）2.若c∥b，则由acaccb//,,.//,可知且又由有奎屯王新敞新疆所以a，b，c互相平行奎屯王新敞新疆五．（本题满分14分）设c，d，x为实数，c≠0，x为未知数奎屯王新敞新疆讨论方程1log)(xxdcx在什么情况下有解奎屯王新敞新疆有解时求出它的解奎屯王新敞新疆解：原方程有解的充要条件是：4/9编者说明1984年的第五题，考查对数函数。具体考查对数方程的有解条件。然而设计“创新到了对数底数”，使得一直看惯了“底数只为单一字母”的考生不知所云。(4))((3),0(2),0(1),01xxdcxxdcxxdcxx由条件（4）知1)(xdcxx，所以12dcx奎屯王新敞新疆再由c≠0，可得.12cdx又由1)(xdcxx及x＞0，知0xdcx，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中奎屯王新敞新疆再由条件（3）及1)(xdcxx，知.1x因此，原条件可简化为以下的等价条件组：(6).1x(5)1,x(1),02cdx由条件（1）（6）知.01cd这个不等式仅在以下两种情形下成立：①c＞0，1-d＞0，即c＞0，d＜1；②c＜0，1-d＜0，即c＜0，d＞1.再由条件（1）（5）及（6）可知dc1从而，当c＞0，d＜1且dc1时，或者当c＜0，d＞1且dc1时，原方程有解，它的解是cdx1奎屯王新敞新疆六．（本题满分16分）1．设0p，实系数一元二次方程022qpzz有两个虚数根z1，z2.再设z1，z2在复平面内的对应点是Z1，Z2奎屯王新敞新疆求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长奎屯王新敞新疆（7分）2．求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程奎屯王新敞新疆（9分）解：1.因为p，q为实数，0p，z1，z2为虚数，所以0,04)2(22pqqp由z1，z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称，所以椭圆短轴在x轴上奎屯王新敞新疆又由椭圆经过原点，5/9编者说明1984年的第六题，考查解读几何。第1小题将椭圆参数藏在复数方程的根中；第2小题求椭圆的轨迹方程，给出的“衍生轨迹”而不是“直接轨迹”。使得广大考生无模式可套。本题得分率也很低。事实上，当年考生，能解答到本卷第六大题的人很少。可知原点为椭圆短轴的一端点奎屯王新敞新疆根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|，焦距离=2c=|z1-z2|=2212212|4)(|pqzzzz，长轴长=2a=.2222qcb2.因为椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴奎屯王新敞新疆设椭圆左顶点为A（x，y），因为椭圆的离心率为21，所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的21，从而左焦点F的坐标为),23(yx奎屯王新敞新疆设d为点M到y轴的距离，则d=1奎屯王新敞新疆根据21||dMF及两点间距离公式，可得1)2(4)32(9,)21()2()123(22222yxyx即这就是所求的轨迹方程奎屯王新敞新疆七．（本题满分15分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c=10，34coscosabBA，P为△ABC的内切圆上的动点奎屯王新敞新疆求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值奎屯王新敞新疆解：由abBAcoscos，运用正弦定理，有,sinsincoscosABBA.2sin2sincossincossinBABBAA因为A≠B，所以2A=π-2B，即A+B=2奎屯王新敞新疆由此可知△ABC是直角三角形奎屯王新敞新疆由c=10，.8,60,0,34222babacbaab可得以及如图，设△ABC的内切圆圆心为O＇，切点分别为D，E，F，则6/9编者说明1984年的第七大题，已经进入后三大题的范畴，是一道典型的综合题。它是三角、解读几何和代数内容的交叉。由于考查的内容常规，本题的设计难度并不大，满分15分，比上一题第六题还少一分。但由于多数考生已被前面的低档、中档题所难倒，因此，大部分考生无缘与第七题见面，因而，从第七题开始，交白卷的甚多。AD+DB+EC=.12)6810(21但上式中AD+DB=c=10，所以内切圆半径r=EC=2.如图建立坐标系，则内切圆方程为：(x-2)2+(y-2)2=4设圆上动点P的坐标为(x，y)，则.48876443764])2()2[(3100121633)6()8(||||||2222222222222xxxyxyxyxyxyxyxPCPBPAS因为P点在内切圆上，所以40x，于是S最大值=88-0=88，S最小值=88-16=72奎屯王新敞新疆解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin22cos22yx从而222||||||PCPBPAScos880)sin22()cos22()4sin2()cos22()sin22()6cos2(222222因为20，所以S最大值=80+8=88，S最小值=80-8=72奎屯王新敞新疆八．（本题满分12分）设＞2，给定数列{xn}，其中x1=，)2,1()1(221nxxxnnn求证：1．);2,1(1,21nxxxnnn且2．);2,1(212,31nxnn那么如果7/93．.3,34lg3lg,31nxan必有时那么当如果1．证：先证明xn＞2(n=1，2，…）用数学归纳法奎屯王新敞新疆由条件a＞2及x1=a知不等式当n=1时成立奎屯王新敞新疆假设不等式当n=k(k≥1)时成立奎屯王新敞新疆当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(0442221kkkkxxxx再由归纳假设知不等式0)2(2kx成立，所以不等式21kx也成立奎屯王新敞新疆从而不等式xn＞2对于所有的正整数n成立奎屯王新敞新疆(归纳法的第二步也可这样证：2)22(21]211)1[(211kkkxxx所以不等式xn2(n=1，2，…）成立奎屯王新敞新疆）再证明).2,1(11nxxnn由条件及xn2(n=1，2，…）知,21)1(211nnnnnxxxxx因此不等式).2,1(11nxxnn也成立奎屯王新敞新疆（也可这样证：对所有正整数n有.1)1211(21)111(211nnnxxx还可这样证：对所有正整数n有,0)1(2)2(1nnnnnxxxxx所以).2,1(11nxxnn）2．证一：用数学归纳法奎屯王新敞新疆由条件x1=a≤3知不等式当n=1时成立奎屯王新敞新疆假设不等式当n=k(k≥1)时成立奎屯王新敞新疆当n=k+1时，由条件及2kx知8/9编者说明1984年的第八大题，是本卷正卷的压轴题，是当