2019精品年全国注册电气工程师基础考试概率统计精讲完整版文档

概率论与数理统计1、随机事件2、随机事件的概率3、条件概率4、事件的独立性一、随机事件的概率1）可以在相同的条件下重复进行；2）每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确实验的所有可能结果；3）进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现.(1)随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验1、随机事件一、随机事件的概率随机事件:称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件；•基本事件:有一个样本点组成的单点集；•必然事件:样本空间S本身；•不可能事件:空集.(3)随机事件我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现.一、随机事件的概率(4)事件间的关系与运算10包含关系SABBA事件B发生事件A发生SAB20和事件30积事件SABBA发生A,B中至少有一个发生BA发生A,B同时发生AB40差事件ABBA发生A发生且B不发生BA50互不相容60对立事件ABSSA,B不能同时发生A,B有且只有一个发生(5)随机事件的运算规律幂等律:交换律:结合律:分配律:DeMorgan定律:2.随机事件的概率1)频率:在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数.比值nA/n称为事件A发生的频率，并记成fn(A).(1)概率的定义及性质频率具有波动性和稳定性,频率的稳定值称为概率2)概率的公理化定义设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一个实数，记为称为事件A的概率，要求集合函数满足下列条件：;1)(20SP;)(010AP)()()(2121APAPAAP则是两两互不相容事件若,,,3201AA)(P,)(APSAB3)概率的性质SABSAAB样本空间的元素只有有限个；每个基本事件发生的可能性相同.(2)等可能概型（古典概型）1)定义：我们把这类实验称为等可能概型，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型.设试验E是古典概型,其样本空间S由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则事件A的概率为：A包含的样本点数P(A)＝k/n＝S中的样本点总数排列组合是计算古典概率的重要工具.2)计算方法例1.甲、乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。（1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;(2)求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率。解（1）401)(4425331ACAEP（2）101)(4425442ACAEP1091011)(1)(22EPEP(3)几何概型几何概型考虑的是有无穷多个等可能结果的随机试验。首先看下面的例子。例2(会面问题）甲、乙二人约定在12点到5点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。解：以X,Y分别表示甲乙二人到达的时刻，于是.50,50YX即点M落在图中的阴影部分。所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果。由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的。012345yx54321.M(X,Y)二人会面的条件是：||,XY1012345yx54321.259254212252正方形的面积阴影部分的面积py-x=1y-x=-13、条件概率设A、B是某随机试验中的两个事件，且0AP则称事件B在事件A已发生的条件下的概率为B在A之下的条件概率，记为ABP(1)条件概率例3盒中有4个外形相同的球，它们的标号分别为1、2、3、4，每次从盒中取出一球，有放回地取两次．则该试验的所有可能的结果为(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)其中(i,j)表示第一次取i号球，第二次取j号球设A={第一次取出球的标号为2}B={取出的两球标号之和为4}则事件B所含的样本点为(1,3)(2,2)(3,1)因此事件B的概率为:163BPABP若我们考虑在事件A发生的条件下，事件B发生的概率并记此概率为:由于已知事件A已经发生，则该试验的所有可能结果为(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)这时，事件B是在事件A已经发生的条件下的概率，因此这时所求的概率为41ABP注：由例1可以看出，事件在“条件A已发生这附加条件的概率与不附加这个条件的概率是不同的．161,164ABPAPAPABPABP由于故称为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率，简称为B在A之下的条件概率。在例5中，我们已求得41,163ABPBP0AP定义设A、B是某随机试验中的两个事件，且APABPABP则例5已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率．则878111APAP8681811ABP768786APABPABP所以解：设A={3个小孩至少有一个女孩}B={3个小孩至少有一个男孩}(2)乘法公式由条件概率的计算公式APABPABP我们得ABPAPABP这就是两个事件的乘法公式．个随机事件，且为，，，设nAAAn210121nAAAP则有12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP这就是n个事件的乘法公式．例6袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止．求取了n次都未取出黑球的概率．解：次都未取出黑球取了设nBniiAi，，，次取出白球第21则nAAAB21由乘法公式，我们有nAAAPBP21121213121nnAAAAPAAAPAAPAP1433221nn11n(3）全概率公式和贝叶斯公式SA1A2An…...BA1BA2…...BAn=21nBABABAB;,,2,1,,,=njijiAAji.21SAAAn定义设S为试验E的样本空间，为E的一组事件。若满足(1)(2)则称为样本空间S的一个划分。nAAA,,21nAAA,,211)全概率公式：设随机事件BAAAn以及,,,21满足：两两互不相容；．nAAA,,,121或．21SAnn,2,103nAPn．1nnnABPAPBP则有；1nnAB全概率公式的使用我们把事件B看作某一过程的结果，因，看作该过程的若干个原把nAAA,,,21根据历史资料，每一原因发生的概率已知，已知即nAP已知即nABP而且每一原因对结果的影响程度已知，则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．BP即求例8某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率．解：标该小组在比赛中射中目设B4321，，级射手参加比赛选iiiA由全概率公式，有41nnABPnAPBP32.020345.020964.020685.02025275.02)贝叶斯公式设随机事件BAAAn以及,,,21两两互不相容；．nAAA,,,121,2,103nAPn．满足,,2,1,1)()|()()|()()()|(njjAPjABPnAPnABPBPBnAPBnAP则或．21SAnn；1nnAB贝叶斯公式的使用我们把事件B看作某一过程的结果，因，看作该过程的若干个原把nAAA,,,21根据历史资料，每一原因发生的概率已知，已知即nAP已知即nABP而且每一原因对结果的影响程度已知，如果已知事件B已经发生，要求此时是由第i个原因引起的概率，则用Bayes公式BAPi即求例9用某种方法普查肝癌，设：A={用此方法判断被检查者患有肝癌}，D={被检查者确实患有肝癌}，已知90.0,95.0DAPDAP0004.0DP而且已知：现有一人用此法检验患有肝癌，求此人真正患有肝癌的概率．例9（续）解：由已知，得9996.0,90.0DPDAP所以，由Bayes公式，得DAPDPDAPDPDAPDPADP10.09996.095.00004.095.00004.00038.0例11袋中有a只黑球，b只白球．每次从中取出一球，取后放回．令：A={第一次取出白球}，B={第二次取出白球}，则babAP222baabBAPbabABP4.两事件的独立性所以，由BAABBBAPABPBP得：babbaabbab222APABPABP而，babbabbab22由例11，可知这表明，事件A是否发生对事件B是否发生在概率上是没有影响的，即事件A与B呈现出某种独立性．事实上，由于是有放回摸球，因此在第二次取球时，袋中球的总数未变，并且袋中的黑球与白球的比例也未变，这样，在第二次摸出白球的概率自然也未改变．由此，我们引出事件独立性的概念ABPBP定义:设A、B是两个随机事件，如果BPAPABP则称A与B是相互独立的随机事件．事件独立性的性质：1）如果事件A与B相互独立，而且0APBPABP则2）必然事件S与任意随机事件A相互独立；不可能事件Φ与任意随机事件A相互独立．3)若随机事件A与B相互独立，则BABABA与、与、与也相互独立.三个事件的独立性设A、B、C是三个随机事件，如果CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABP则称A、B、C是相互独立的随机事件．二随机变量及其分布1.随机变量概念1.离散型随机变量2.连续型随机变量3.随机变量函数的分布定义:设E是一个随机试验，S是其样本空间．我们称样本空间上的函数为一个随机变量。ReXeS(1)随机变量定义二随机变量及其分布1.随机变量概念(2)分布函数的概念定义设X是一个随机变量，x是任意实数，函数}{)(xXPxF称为X的分布函数．对于任意的实数x1,x2(x1x2)，有：x1x2xXo0xxX(3)分布函数的性质1).F(x)是一个不减的函数．.1)(lim)(;0)(lim)(,1)(0).2xFFxFFxFxx且.)(),()0().3是右连续的即xFxFxF2.离散型随机变量设离散型随机变量X的所有可能取值为并设则称上式或为离散型随机变量X的分布律．(1)定义:如果随机变量X的取值是有限个或可列无穷个，则称X为离散型随机变量(2)离散型随机变量概率分布的性质:例1:从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令X为取出的5个数字中的最大值．试求X的分布律．解:X的取值为5，6，7，8，9，10．并且具体写出，即可得X的分布律：1)0-1分布如果随机变量X的分布律为或则称随机变量X服从参数为p的0-1分布．(3)一些常用的离散型随机变量2）二项分布如果随机变量X的分布律为例2:一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，则答5道题相当于做5重Bernoulli试验．所以3）Poisson分布如果随机变量X的分布律为