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书书书第一部分 数与代数第１章 实 数§１．１ 实数的基本概念一、有理数与无理数、相反数、绝对值 １．１．１ ★已知下列各数：７．２，－２２，－槡８，０．１，－３槡６４，－５１２，（－２）槡２，ｓｉｎ３０°，０．６，３．１４，－５，３槡９，０．１·０２·，把它们分别填在相应的大括号里．分数集合｛ …｝；整数集合｛ …｝；负有理数集合｛ …｝；非负有理数集合｛ …｝．解析：分数集合｛７．２，０．１，－５１２，ｓｉｎ３０°，０．６，３．１４，０．１·０２·，…｝．整数集合｛－２２，－３槡６４，（－２）槡２，－５，…｝．负有理数集合｛－２２，－３槡６４，－５１２，－５，…｝．非负有理数集合｛７．２，０．１，（－２）槡２，ｓｉｎ３０°，０．６，３．１４，０．１·０２·，…｝． １．１．２ ★实数０．１０１００１０００１０…、３－槡８、２槡１４、２２７、３π、ｔａｎ６０°、３槡４、槡２２、－１、槡８、３．１４中，有理数有 个，无理数有 个．解析：根据有理数及无理数的意义，通常可以循以下思路来挑选、甄别：整数、分数（包括有限小数和无限循环小数）都是有理数；无限不循环小数是无理数；π是无理数；有根号，能求得结果是整数或分数（也称作开方能开尽）的是有理数，否则是无理数；锐角特殊角的三角函数中除ｓｉｎ３０°＝ｃｏｓ６０°＝１２和ｔａｎ４５°＝ｃｏｔ４５°＝２ １外，都是无理数．上述各数中３－槡８、２槡１４、２２７、－１、３．１４是有理数，共有５个；０．１０１００１０００１０…、３π、ｔａｎ６０°、３槡４、槡２２、槡８是无理数，共有６个． １．１．３ ★★在实数中，倒数等于本身的数是 ，相反数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 ．解析：方法１ 因为互为倒数的两数乘积等于１，而这两数相等，只能同时为１或同时为－１，所以倒数等于本身的数是±１．同理，相等两数的和为０，只能同时为０，所以相反数等于本身的数是０．根据绝对值的意义，绝对值等于本身的数是任何非负实数．方法２ 设所求的数为狓，根据题意，可分别列出方程：１狓＝狓，－狓＝狓，狘狓狘＝狓．容易得到它们的解分别为狓＝±１，狓＝０，狓≥０． １．１．４ ★★已知犪、犫互为相反数，则下列各对数中（ ）不是互为相反数． （Ａ）－２犪和－２犫（Ｂ）犪＋１和犫＋１（Ｃ）犪＋１和犫－１（Ｄ）２犪和２犫解析：因为犪、犫互为相反数，所以犪＋犫＝０，而（犪＋１）＋（犫＋１）＝犪＋犫＋２＝２，故选Ｂ． １．１．５ ★★下列命题中，正确的是（ ）．（Ａ）若犪＜０，则犪＝－犪（Ｂ）若犪是实数，则犪＝±犪（Ｃ）若犪＝犪，则犪＞０（Ｄ）若犪是实数，则犪＞０解析：因为任意实数的绝对值总是惟一确定的非负数，故（Ｂ）错误；而０的绝对值也等于它本身，所以（Ｃ）、（Ｄ）错误．故选Ａ． １．１．６ ★★★若犪＞犫且犪＜犫，则下列说法正确的是（ ）．（Ａ）犪一定是正数（Ｂ）犪一定是负数（Ｃ）犫一定是正数（Ｄ）犫一定是负数解析：假设犪、犫都是非负数，则条件中第二个不等式可化为犪＜犫，与第一个不等式矛盾，所以犪、犫中的较小数犫一定是负数．故选Ｄ． １．１．７ ★★判断语句“因为负数的绝对值等于它的相反数，所以若狘狓狘＝－狓，则狓＜０”是否正确，并说明理由．解析：上述语句中条件“因为负数的绝对值等于它的相反数”是正确的，但反过来还应注意到０也满足等式狘狓狘＝－狓，所以结论“若狘狓狘＝－狓，则狓＜０”是错误的，应为“若狘狓狘＝－狓，则狓≤０”． １．１．８ ★★某数与－２５的和是２３的相反数，求这个数．第１章 实 数３ 解析：方法１ 根据题意，这个数是－２３－（－２５）＝２．方法２ 设这个数为狓，则狓－２５＝－２３，解得狓＝２． １．１．９ ★★若犪和犫互为相反数，犮和犱互为倒数，犿的绝对值为２，求代数式犪＋犫犪＋犫＋犮＋犿２－犮犱的值．解析：根据题意，犪＋犫＝０，犮犱＝１，犿２＝４，所以原式＝０犮＋４－１＝３． １．１．１０ ★★已知２狓－３＝３－２狓，求狓的取值范围．解析：因为２狓－３的绝对值等于它的相反数，所以２狓－３≤０，即狓≤３２． １．１．１１ ★★已知１≤狓＜５，化简１－狓＋狓－５．解析：因为１≤狓＜５，所以１－狓≤０，狓－５＜０．原式＝狓－１＋５－狓＝４． １．１．１２ ★★★已知犪犫≠０，求犪犪＋犫犫的值．解析：本题有以下三种情形：（１）若犪、犫异号，则犪犪＋犫犫＝０；（２）若犪、犫都是正数，则犪犪＋犫犫＝２；（３）若犪、犫都是负数，则犪犪＋犫犫＝－２． １．１．１３ ★★★求出所有满足条件狘犪－犫狘＋犪犫＝１的非负整数对（犪，犫）．解析：根据题意，狘犪－犫狘和犪犫两个代数式的值都是非负整数，则只能一个为０，另一个为１，即犪与犫的值只能在０与１中取．用逐一列举的方法，求得满足条件的非负整数对有三对：（０，１），（１，０），（１，１）． １．１．１４ ★★★分别写出满足下列条件的实数，你能写出几个？试设计一个方案，使能写出随意指定的个数．你能从中体会到什么？（１）１与２之间的有理数；（２）１与２之间的无理数．解析：本题答案不惟一．例如，可以随意取一个１与２之间的有理数１．５（无理数槡２），取这个数与２的平均数，再取所得数与２的平均数，……即可得到所需要的任意个有理数（无理数）．从而我们能够体会到任意两个实数之间都有无穷多个有理数和无理数． １．１．１５ ★★★★设狓、狔是实数，试证明狓＋狔≥狓＋狔，并利用这一结论求狓－２＋狓＋４的最小值．解析：显然，若狓、狔同号或至少有一个为０，则有狓＋狔＝狓＋狔；若狓、狔异号，则有狓＋狔＞狓＋狔．所以狓＋狔≥狓＋狔成立．４ 根据上述结论，得狓－２＋狓＋４＝２－狓＋狓＋４≥２－狓＋狓＋４＝６，所以代数式狓－２＋狓＋４的最小值是６．二、平方根与立方根 １．１．１６ ★填空：（１）６４的平方根是 ；（２）６４的立方根是 ；（３）正数犪的平方根是 ；（４）犿的立方根是 ．解析：（１）±８． （２）４． （３）±槡犪． （４）３槡犿． １．１．１７ ★填空：（１）因为（ ）２＝２５，所以２５的平方根是 ，２５的算术平方根是 ；（２）因为犪２＝犿，所以犿的平方根是 ，犿的算术平方根是 ．解析：（１）±５；±５；５．（２）注意到犪的符号不能确定，所以犿的平方根是±犪，算术平方根是｜犪｜． １．１．１８ ★填空：（１）（ ）２＝１７９； （２）（ ）３＝２１０２７；（３）（ ）２＝１５； （４）（ ）３＝－６．解析：（１）因为１７９＝１６９，所以填±４３．（２）因为２１０２７＝６４２７，所以填４３．（３）±槡１５． （４）－３槡６． １．１．１９ ★★填空：（１）平方根等于本身的数是 ；（２）算术平方根等于本身的数是 ；（３）立方根等于本身的数是 ．解析：（１）因为正数的平方根有两个，所以平方根等于本身的数只能是０．（２）因为正数的算术平方根只有一个，０的算术平方根等于０，所以应填０、１．（３）因为正数、负数的立方根都是惟一的，０的立方根是０，所以立方根等于本身的数是０、１和－１． １．１．２０ ★对任意实数犪，下列结论总正确的是（ ）．（Ａ）犪２与（－犪）２互为相反数（Ｂ）槡犪与－槡犪互为相反数（Ｃ）３槡犪与３－槡犪互为相反数（Ｄ）｜犪｜与｜－犪｜互为相反数解析：对任意实数犪，（Ａ）、（Ｄ）中两式都是相等的，而（Ｂ）中当犪≠０时，总有一第１章 实 数５ 个没有意义，（Ｃ）中３－槡犪＝－３槡犪，故选Ｃ． １．１．２１ ★★语句“①犪２的算术平方根是犪，②槡１６的平方根是±４，③一个数的算术平方根总是非负数，④一个数的立方根总比它本身小”中，正确的有（ ）．（Ａ）１句（Ｂ）２句（Ｃ）３句（Ｄ）４句解析：①中犪２的算术平方根应是｜犪｜，②中槡１６的平方根，即４的平方根应是±２，④中如１８的立方根是１２，比它本身大，所以都是错误的；根据算术平方根的定义，③是正确的，故选Ａ． １．１．２２ ★★★已知实数犪、犫、犮满足等式犪２＋犫２＝１，犫２＋犮２＝２，犮２＋犪２＝２，则犪犫＋犫犮＋犮犪的最小值为（ ）．（Ａ）５２（Ｂ）１２＋槡３（Ｃ）－１２（Ｄ）１２－槡３解析：比较第二、三两个等式，可知犪２＝犫２，由第一个等式可知犪２＝犫２＝１２，则犮２＝３２，所以犪，犫＝±１槡２，犮＝±槡槡３２．要使犪犫＋犫犮＋犮犪的值最小，犪、犫、犮不能同号．去除重复情形，犪、犫、犮的取值共有四种组合：１槡２、－１槡２、－槡槡３２，－１槡２、１槡２、槡槡３２和１槡２、１槡２、－槡槡３２，－１槡２、－１槡２、槡槡３２，对应犪犫＋犫犮＋犮犪的值分别为－１２和１２－槡３．所以应选Ｄ． １．１．２３ ★★求下列各式中狓的值：（１）３狓２－４３＝０； （２）（５狓－３）２＝２０１４；（３）２（狓－１）３＝－１６；（４）３狓＋槡２＋３＝０．解析：（１）原等式可化为狓２＝４９，所以狓＝±２３．（２）原等式可化为５狓－３＝±２０槡１４，即５狓＝３±９２，所以狓＝３２或狓＝－３１０．（３）原等式可化为（狓－１）３＝－８，即狓－１＝３－槡８，所以狓＝－１．（４）原等式可化为３狓＋槡２＝－３，即狓＋２＝（－３）３，所以狓＝－２９． １．１．２４ ★★分别求出满足下列条件的数：６ （１）某数立方根的绝对值是５，求这个数；（２）某数的平方是６４，求这个数的立方根．解析：（１）设这个数为狓，则根据题意，得３槡狓＝５，即３槡狓＝±５，所以狓＝±１２５．（２）设这个数为狓，则狓２＝６４，解得狓＝±８，所以狓的立方根为±２． １．１．２５ ★★一个底面直径等于高的圆柱形容器，容量是４．８立方米，求它的底面半径（精确到０．１米）．解析：设这个圆柱形容器的底面半径是狓米，根据题意，得π狓２·２狓＝４．８，即狓３＝４．８２π，解得狓≈０．９（米）． １．１．２６ ★★已知一个数的平方根是３狓－２和５狓＋６，求这个数．解析：根据平方根的意义，可知３狓－２和５狓＋６互为相反数，即（３狓－２）＋（５狓＋６）＝０，解得狓＝－１２，所以这个数是－３２－（）２２＝４９４． １．１．２７ ★★不用计算器，估计以下各数在哪两个连续整数之间：（１）３槡５０；（２）槡２３０．解析：（１）因为３槡２７＜３槡５０＜３槡６４，所以３＜３槡５０＜４，即３槡５０在两个连续整数３和４之间．（２）因为槡２３０＝槡１２０，所以槡１００＜槡２３０＜槡１２１，即１０＜槡２３０＜１１，故槡２３０在两个连续整数１０和１１之间． １．１．２８ ★★化简：（１）１－槡２＋槡２－槡３＋槡３－槡４＋槡４－槡５；（２）３－３槡２－２＋３－３槡９．解析：这类问题关键应确定绝对值内代数式的值的符号．（１）原式＝槡２－１＋槡３－槡２＋槡４－槡３＋槡５－槡４＝－１＋槡５．（２）原式＝３槡９＋２＋３－３槡９＝５． １．１．２９ ★★★将不超过犪的最大整数犕称作犪的整数部分，将犪－犕称作犪的小数部分，求槡３－２的整数部分和小数部分．解析：方法１ 因为１＜槡２＜２，所以－１＞－槡２＞－２，所以３－１＞３－槡２＞３－２，即２＞３－槡２＞１，所以３－槡２的整数部分是１，小数部分是３－槡２－１＝２－槡２．方法２ 因为槡２≈１．４，所以３－槡２≈１．６，所以３－槡２的整数部分是１，小数部分是３－槡２－１＝２－槡２．第１章 实 数７ １．１．３０ ★★★已知犪为实数，且满足狘２０００－犪狘＋犪－槡２０１０＝犪，求犪－２０００２的值．解析：由题意可知，犪≥２０１０，所以原式可化为犪－２０００＋犪－槡２０１０＝犪，即犪－槡２０１０＝２０００，所以犪－２０１０＝２０００２，即犪－２０００２＝２０１０． １．１．３１ ★★★★整数犪是一个完全平方数，它的下一个完全平方数是什么？解析：因为整数犪是一个完全平方数，所以可设狓２＝犪，狓是自然数，所以犪的下一个完