2013-2014学年高中数学人教A版必修二同步辅导与检测：4.2.1直线与圆的位置关系

金品质•高追求我们让你更放心！◆数学•必修2•(配人教A版)◆4.2直线、圆的位置关系4.2.1直线与圆的位置关系圆与方程金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆1.理解和掌握直线与圆的位置关系，2.会用代数和几何方法判断直线和圆的位置关系.3.利用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆基础梳理1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断如下表所示：位置关系相交相切相离公共点个数__个__个__个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝d__rd__rd__r代数法：由消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ__0Δ__0Δ__0|Aa＋Bb＋C|A2＋B2Ax＋By＋C＝0，x－a2＋y－b2＝r2＝210＝金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆练习1.直线x＋y＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是：______.练习2.(1)直线x＋y＝0与圆x2＋y2＝2联立求解知其解为：________，故直线与圆的位置关系为：________.(2)直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝2联立求解知其解为：________.故直线与圆的位置关系为：________.练习1.相交练习2.(1)(1，－1)或(－1,1)相交(2)(1,1)相切金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆思考应用如何求直线被圆所截得的弦长？解析：①应用圆中直角三角形：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l具有关系r2＝d2＋()2；②利用弦长公式：设直线l：y＝kx＋b，与圆两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝l21＋k2|x1－x2|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2].金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆自测自评1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离解析：圆心(0,0)到直线的距离为＝1且(0,0)不在直线y＝x＋1上，故选B.答案：B|1|12＋12＝12金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆2．下列说法中正确的是()A．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切B．与半径垂直的直线与圆相切C．过半径外端的直线与圆相切D．过圆心且与切线垂直的直线过切点解析：A为相交，B、C中的直线有无数条．答案：D3．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为()A．2B.C．1D.222解析：∵圆心坐标为(1，－2)，∴d＝|1＋2－1|2＝2.答案：D金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆4．已知直线x＝a(a0)和圆(x－1)2＋y2＝4相切，那么a的值是()A．5B．4C．3D．2解析：∵|a－1|＝2，又a0，∴a＝3.答案：C5．点A(3,5)是圆x2＋y2－4x－8y－80＝0的一条弦的中点，则这条弦所在直线的方程为__________________．解析：圆为(x－2)2＋(y－4)2＝102，圆心为B(2,4)，r＝10.弦所在直线为l，则AB⊥l，∴kAB＝＝1，k＝－1.∴所求直线为y－5＝－(x－3)，即x＋y－8＝0.答案：x＋y－8＝0金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆直线与圆的位置关系已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，(1)圆与直线有两个公共点．(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．解析：本题可用代数法和几何法两种方法解决，我们选用几何法．圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离为d＝，圆的半径r＝.(1)当dr，即－2b2时，直线与圆相交，有两个公共点．|b|22金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆(2)当d＝r，即b＝2或b＝－2时，直线与圆相切，有一个公共点．(3)当dr，即b2或b－2时，直线与圆相离，无公共点．点评：几何法判定直线与圆的位置关系的主要步骤是：①把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径r.②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d.③判断：当dr时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切；当dr时，直线与圆相交．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆跟踪训练1．(1)直线3x－4y＋6＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的位置关系是()A．相离B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心(2)若直线y＝kx－2k与圆(x－3)2＋y2＝1恒有两个交点，则实数k的取值范围为()A．RB．(－∞，0)∪(0，＋∞)C.D.(3)直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦AB长等于()A．4B．2C．2D.－612，612－15，1522金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆解析：(1)圆心(2,3)在直线3x－4y＋6＝0上，即直线与圆相交且过圆心，故选C.(2)由题意可知＜1，即此不等式恒成立，故选A.或直线y＝k(x－2)过定点(2,0)，定点(2,0)在圆(x－3)2＋y2＝1上．由于斜率k存在，故总有两个交点．(3)直线y＝kx过圆心，被圆x2＋y2＝2所截得的弦长恰为圆的直径2，故选C.答案：(1)C(2)A(3)C|3k－2k|1＋k22金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆圆的切线方程求过点P(3,2)的圆x2＋y2＝9的切线方程．分析：法一，利用点到切线的距离等于圆的半径求直线的斜率，由点斜式求切线方程；法二，求切点坐标，利用过圆上点(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝9求解．解析：解法一：设所求切线的方程为y－2＝k(x－3)或x＝3，即kx－y＋2－3k＝0或x＝3.又圆心为O(0,0)，半径r＝3，而圆心到切线的距离为d＝|－3k＋2|k2＋1＝3，即|3k－2|＝3k2＋1，所以k＝－512.所以方程为－512x－y＋2＋3×512＝0，金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆即5x＋12y－39＝0.可验证：x＝3为圆的切线．故所求切线方程为x＝3或5x＋12y－39＝0.解法二：设切点为M(x0，y0)，则有切线方程为x0x＋y0y＝9.又切线过点P(3,2)，所以3x0＋2y0＝9.①而M(x0，y0)在圆上，所以x20＋y20＝9.②解①、②组成的方程组，得x0＝3，y0＝0或x0＝1513，y0＝3613.代入x0x＋y0y＝9，得3x＝9或1513x＋3613y＝9.即x＝3或5x＋12y－39＝0.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆点评：(1)求过一点的圆的切线方程时，要先检验一下此点在圆上还是圆外，防止漏解，若此点在圆上，切线只有一条；若此点在圆外，则切线一定有两条，特别是斜率不存在的情况易忽视．(2)过圆x2＋y2＝r2上的点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.必须注意圆的特征是圆心在原点，对其他圆不成立．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆跟踪训练2．圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的切线方程中有一个是()A．x－y＝0B．x＋y＝0C．x＝0D．y＝0解析：画出图形易看出y轴是一条切线．答案：C金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆直线与圆相交的问题已知直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求k的值．分析：可以利用圆的几何性质，构造直角三角形，结合勾股定理解之，也可以利用代数方法构造方程组结合弦长公式求解．不管是用哪种方法，只需求出直线的斜率即可．解析：解法一：设直线kx－y＋6＝0被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为AB，其中点为C，则△OCB为直角三角形．因为圆的半径为|OB|＝5，半弦长为＝|BC|＝4，所以圆心到直线kx－y＋6＝0的距离为3，由点到直线的距离公式得＝3，解之得k＝±.|AB|26k2＋13金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆解法二：设弦AB的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组kx－y＋6＝0，x2＋y2＝25，消去y得，(1＋k2)x2＋12kx＋11＝0，所以x1＋x2＝－12k1＋k2，x1x2＝111＋k2，因此|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝144k2－44k2＋11＋k2＝8，解之得k＝±3.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆点评：在解决有关圆的问题时，要充分利用圆的几何性质，比较两种解法，解法一比解法二简单得多．在处理直线与圆相交时的弦长问题时常用的方法有两种，一是几何法，即利用弦心距、半径及半弦构成的直角三角形结合勾股定理来计算；二是代数法，即利用根与系数关系和弦长公式来计算．第二种方法是处理直线与二次曲线相交问题的通法，特别是处理直线与非圆二次曲线相交问题时，基本是用这种方法．此外设点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)是解解析几何问题常用的方法，一般点的坐标只需设出而不求，须认真体会．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆跟踪训练3．求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长．33解析：解法一：直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组所以公共点的坐标为(－，1)，(0,2)，直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为＝2.33x－3y＋23＝0，x2＋y2＝4的解．解这个方程组，得x1＝－3，y1＝1；x2＝0，y2＝2.333－3－02＋1－22金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆解法二：如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点)，所以OM＝|0－0＋23|12＋－32＝3，所以AB＝2AM＝2OA2－OM2＝222－32＝2.33金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆直线与圆有关最值问题(巧解题)已知实数x，y满足x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)的最大值；(2)y－x的最小值．yx解析：(1)设＝k，得y＝kx，所以k为过原点的直线的斜率．方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以C(2,0)为圆心，半径为的圆，如图所示．当直线y＝kx与已知圆相切且切点P在第一象限时，k最大，此时|CP|＝，|OC|＝2，所以在Rt△POC中，∠POC＝60°，k＝tan60°＝，所以的最大值为.yx3333yx金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆(2)设y－x＝b，即为直线y＝x＋b，b为该直线在y轴上的截距，如图所示．当直线y＝x＋b与圆有公共点时，当且仅当直线与圆相切，且切点在第四象限时b最小，此时圆心(2,0)到直线的距离为，即，得b＝－－2或b＝－2(舍去)，所以y－x的最小值为－－2.点评：求与圆上的点的坐标有关的最值问题时，常常根据式子的结构特征，寻找它的几何意义，进而转化成与圆的性质有关的问题解决，其中构造斜率、截距、距离是常用的方法．3|2＋b|2＝3666金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修2•(配人教A版)◆跟踪训练4.圆x2+y2-4x-5=0上的点到直线3x-4y+14=0的距离的最大值为.答案：7金品质•高追求我们让你更放心！