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计数原理第一章1.2排列与组合第一章第3课时排列与组合习题课1.2.2组合典例探究学案2课时作业3自主预习学案1自主预习学案1．巩固排列、组合的概念，排列数公式，组合数公式以及组合数的性质．2．准确地应用两个基本原理，正确区分是排列问题还是组合问题．重点：排列、组合的综合应用．难点：分堆与分配问题的区别．新知导学有限制条件的排列组合综合问题是主要考查方向．解决此类问题要遵循“谁特殊谁_______”的原则，采取分类或分步，或用间接法处理；对于选排列问题可采用先____后______的方法，分配问题的一般思路是先__________再分配．有限制条件的排列组合问题优先选排选取牛刀小试1．(2015·泰安市高二期末)某班组织文艺晚会，准备从A，B等7个节目中选出3个节目演出，要求A，B两个节目中至少有一个被选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为()A．84B．72C．76D．130[答案]D[解析]分两类：第一类，A，B只有一个选中，则不同演出顺序有C12·C25·A33＝120种情况；第二类：A，B同时选中，则不同演出顺序有种C15·A22＝10，故不同演出顺序的种数为120＋10＝130，故选D．2．5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有()A．150种B．180种C．200种D．280种[答案]A[解析]人数分配上有1、1、3与1、2、2两种方式，若是1,1,3，则有C35C12C11A22×A33＝60(种)，若是1、2、2，则有C15C24C22A22×A33＝90(种)，所以共有150种，选A．3．某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有()A．24种B．36种C．38种D．108种[答案]B[解析]由电脑编程人员的分配方案进行分类：第一类：电脑编程人员分给甲部门1人，另2人去乙部门，有C13·C12·C23＝18种；第二类：电脑编程人员分给甲部门2人，另1人去乙部门，有C23·C12·C13＝18种．∴共有不同分配方案18＋18＝36种．4．6本相同的书放到4个不同的盒子中，每个盒子至少放一本书，有不同分配方法________种．[答案]10[解析]先把6本书并成一排，它们之间有5个空，在5个空中选出3个空放上“隔板”.6本书被分成了4组，4组书的本数也恰好对应一种放书的方法，共有C35＝10(种)．典例探究学案某校为庆祝2014年国庆节，安排了一场文艺演出，其中有3个舞蹈节目和4个小品节目，按下面要求安排节目单，有多少种方法：(1)3个舞蹈节目互不相邻；(2)3个舞蹈节目和4个小品节目彼此相间．排列组合应用题[分析]由题目可获取以下主要信息：①题目中涉及3个舞蹈、4个小品共7个节目；②是同类节目互不相邻的问题．解答本题的第(1)问可以先安排4个小品，然后让3个舞蹈“插空”；第(2)问彼此相间时安排方式只能是小品占1,3,5,7，舞蹈占2,4,6.故分两步，先安排小品，再安排舞蹈，或先安排舞蹈再安排小品．[解析](1)先安排4个小品节目，有A44种排法，4个小品节目中和两头共5个空，将3个舞蹈节目插入这5个空中，共有A35种排法．∴共有A44·A35＝1440(种)排法．(2)由于舞蹈节目与小品节目彼此相间，故小品只能排在1、3、5、7位，舞蹈排在2、4、6位，安排时可分步进行．方法一：先安排4个小品节目在1、3、5、7位，共A44种排法；再安排舞蹈节目在2、4、6位，有A33种排法，故共有A44·A33＝144(种)排法．方法二：先安排3个舞蹈节目在2、4、6位，有A33种排法；再安排4个小品节目在1、3、5、7位，共A44种排法，故共有A33·A44＝144(种)排法．[方法规律总结]解决排列、组合的综合应用题时注意以下三点：(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，或者是二者的混合，要按元素的性质分类，按事件发生的过程分步；(2)深入分析，严密周详．注意分清是乘还是加，既不少也不多；(3)对于有限制条件的比较复杂的排列、组合问题，要通过分析设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决．A、B、C、D、E五人站成一排，如果A、B必须相邻，且B在A的右边，那么不同排法的种数有________种．[答案]24[解析]将A与B看作一个元素，与其它3人排队共有A＝24种排法，A在B的左边只有一种情形．[点评](1)此题中去掉“A与B必须相邻”的条件时，∵A在B左边与A在B右边的情形一样多，故有12A55＝60种．(2)若将“A与B相邻”改为A与B不相邻，则有排法A33·A24＝72种．有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；(3)分成每组都是2本的三组；(4)分给甲、乙、丙三人，每个人2本．分堆与分配问题[分析]由题目可获取以下主要信息：①第(1)(3)题是分组问题，第(2)(4)题是将6本书分配给甲、乙、丙三个人；②第(2)题未说明甲、乙、丙三人谁得1本，谁得2本，谁得3本．解答本题，可先理清事件是否与顺序有关，再依题意求解．[解析](1)分三步：先选一本有C16种选法，再从余下的5本中选两本有C25种选法；最后余下的三本全选有C33种选法．由分步乘法计数原理知，分配方法共有C16·C25·C33＝60(种)．(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)题的基础上，还应考虑再分配问题，因此，分配方法共有C16·C25·C33·A33＝360(种)．(3)先分三步，则应是C26·C24·C22种方法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C26·C24·C22种分法中还有(AB，EF，CD)、(CD、AB、EF)、(CD、EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)共A33种情况，而且这A33种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方法有C26·C24·C22A33＝15(种)．(4)在问题(3)的基础上再分配即可，共有分配方法C26·C24·C22A33·A33＝C26·C24·C22＝90(种)．[方法规律总结]1.分堆与分与问题将一组n个不同元素平均分给A、B、C等不同的单位，每个单位m个，可先从n个中选取m个给A，再从剩下的n－m个中选取m个给B，…，依次类推，不同方法种数为CmnCmn－m…Cmm个；将一组n个不同元素平均分成k堆，每堆m个，由于某m个元素先选和后选分堆结果是一样的，故不同分堆方法数为Cmn·Cmn－m·…·Cmmk！.2．相同元素分配，每单位至少含有一个元素，可用插板法；相同元素分组，按元素最多的组分类，用数数法．在例2的条件下，求下列情况下有多少种不同的分配方式？(1)2堆各1本，另外一堆4本；(2)2人各1本，另外一人4本；(3)分给甲、乙、丙三人，每人至少1本．[解析](1)可一堆一堆地分别取出，即得到C16C15C44.但在分堆过程中，对于各一本的两堆是无区别的，每A22种分法相当于一种分法，所以分堆数为C16C15C44A22＝15(种)．(2)两人各1本，另外一人4本，也即在(1)题的基础上再分配给三人，又有A33种分配方案，所以分配种数为C16C15C44A22·A33＝90(种)．(3)每人至少1本，可以分为三类情况：①“2、2、2型”即例2(4)中的分配情况，有C26C24C22＝90(种)方法；②“1、2、3”即例2(2)中的分配情况，有C16C25C33A33＝360(种)方法．③“1、1、4型”，有C46A33＝90(种)方法．∴一共有90＋360＋90＝540(种)方法．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求出现以下结果时各有多少种情况？(1)4只鞋子恰成两双；(2)4只鞋子没有成双的．[分析](1)问题可等价转化为从10双鞋中选取2双．(2)说明4只鞋来自4双不同的鞋．解答本题可先确定需几双才能满足题意，再从“双”中取“只”．[解析](1)根据题意只需选出两双鞋，所以有C210＝45(种)情况．(2)4只鞋若没有成双的，则它们来自于4双鞋；先从10双中取4双，有C410种取法，再从每双中取一只，各有C12种取法，所以由分步乘法计数原理共有C410·C12C12C12C12＝3360(种)情况．[方法规律总结]此类问题关键在于审清题意，弄明白怎样才算完成了“这件事”，从而设计出缜密的解题步骤．某企业要从其下属6个工厂中抽调8名工程技术人员组成课题攻关小组，每厂至少调1人，则这8个名额的分配方案共有()A．15种B．21种C．30种D．36种[答案]B[解析]由题意本题有两类抽调办法：第一类从6个工厂中选一个工厂抽调3名工程技术人员，其它5个工厂各抽1人，有C16种方法；第二类从6个工厂中选两个工厂各抽调2名，其他4个工厂各抽1人，有C26种方法，8个名额的分配方案共有C16＋C26＝21种．[点评]可用建模法解．8个名额可视作8个0,6个厂每厂至少调1人可看作将这8个0分成6堆，每堆至少1个，故从7个空中选5个插入1，将它们分开，∴有分配方案C57＝21种．一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点O(0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m，n)，(m，n∈N*)，记可能的爬行方法总数为f(m，n)，则f(m，n)＝________.建模求解排列组合问题[答案]Cmm＋n[解析]从原点O出发，只能向上或向右方向爬行，记向上为1，向右为0，则爬到点(m，n)需m个0和n个1.这样爬行方法总数f(m，n)是m个0和n个1的不同排列方法数．m个0和n个1共占m＋n个位置，只要从中选取m个放0即可．∴f(m，n)＝Cmm＋n.(例如f(3,4)＝C37其中0010111表示从原点出发后，沿右右上右上上上的路径爬行．)[方法规律总结]建模法．将排列组合的实际问题加以抽象，创建一种数学模型来表示此问题，将实际问题数学化，从而加以解决．创建的数学模型必须与实际问题是一一对应的关系．方程x＋y＋z＝12的非负整数解的个数为________.[答案]91[解析]把x、y、z分别看作是x个1、y个1和z个1，则共有12个1，问题抽象为12个1和两个十号的一个排列问题．由于x、y、z非负，故允许十号相邻，如1111＋＋11111111表示x＝4，y＝0，z＝8，＋111111111111＋表示x＝0，y＝12，z＝0等等，∴不同排法总数为从14个位置中选取2个放十号，∴方程的非负整数解共有C214＝91个．∴填91个．有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1、2与3、4与5、6与7、8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？排列、组合综合问题[分析]“组成多少个不同的三位数”，需考虑有哪些数字可用？有无0，有0时首位不能排0；“五张卡片每张正反面各写有一个数字”，故同一张卡片上的数字只能用一个．组成三位数需用其中的三张卡片，故先选卡片，再排数字；没有数字0时，可任意排，故写着0的卡片为特殊元素，应优先考虑，故先按含不含有写着0的卡片进行分类，先选后排，分步解答．[解析]方法一：从0与1两个特殊值考虑，可分为三类：第一类：取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C14种方法；0可放在后两位，有C12种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C13种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C14C12C1322(个)；第二类：取1不取0，同上分析可得不同的三位数有C2422A33(个)；第三类：0和1都不取，有不同的三位数C3423A33(个)．综上所述，不同的三位数共有C14C1