【新步步高】2018版高考数学(理)一轮复习第七章7.2一元二次不等式及其解法

§7.2一元二次不等式及其解法基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.“三个二次”的关系知识梳理判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝没有实数根－b2a一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集___________________________________一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集___________________{x|xx1或xx2}{x|x≠－b2a}{x|x∈R}{x|x1xx2}∅∅(x－a)(x－b)0或(x－a)(x－b)0型不等式的解法2.常用结论不等式解集aba＝bab(x－a)·(x－b)0{x|xa或xb}____________________(x－a)·(x－b)0_____________{x|bxa}{x|x≠a}{x|xb或xa}{x|axb}∅口诀：大于取两边，小于取中间.(1)0(0)⇔f(x)·g(x)0(0).(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.知识拓展fxgxfxgx判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(2)若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.()思考辨析√√×(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤0.()(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c0的解集一定不是空集.()√×1.(教材改编)不等式x2－3x－100的解集是A.(－2,5)B.(5，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－∞，－2)∪(5，＋∞)考点自测答案解析解方程x2－3x－10＝0得x1＝－2，x2＝5，由于y＝x2－3x－10的图象开口向上，所以x2－3x－100的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞).2.设集合M＝{x|x2－3x－40}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于A.(0,4]B.[0,4)C.[－1,0)D.(－1,0]答案解析∵M＝{x|x2－3x－40}＝{x|－1x4}，∴M∩N＝[0,4).3.(教材改编)y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是____________________________.(－∞，1－73)∪(1＋73，＋∞)答案解析由题意，得3x2－2x－20，令3x2－2x－2＝0得x1＝1－73，x2＝1＋73，∴3x2－2x－20的解集为(－∞，1－73)∪(1＋73，＋∞).4.(教材改编)若关于x的不等式ax2＋bx＋20的解集是，则a＋b＝________.(－12，13)答案解析－14∵x1＝－12，x2＝13是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，∴a4－b2＋2＝0，a9＋b3＋2＝0，解得a＝－12，b＝－2，∴a＋b＝－14.5.不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是_______________________.答案解析(－∞，－4]∪[4，＋∞)∵x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则x2＋ax＋4＝0一定有解.∴Δ＝a2－4×1×4≥0，即a2≥16，∴a≥4或a≤－4.题型分类深度剖析题型一一元二次不等式的求解例1求不等式－2x2＋x＋30的解集.解答命题点1不含参的不等式解方程2x2－x－3＝0得x1＝－1，x2＝32，化－2x2＋x＋30为2x2－x－30，∴不等式2x2－x－30的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞)，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪(32，＋∞).例2解关于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a0.解答命题点2含参不等式由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，∴x1＝a，x2＝1，①当a1时，x2－(a＋1)x＋a0的解集为{x|1xa}，②当a＝1时，x2－(a＋1)x＋a0的解集为∅，③当a1时，x2－(a＋1)x＋a0的解集为{x|ax1}.引申探究将原不等式改为ax2－(a＋1)x＋10，求不等式的解集.解答思维升华含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.跟踪训练1解下列不等式：(1)0x2－x－2≤4；解答x2－x－20，x2－x－2≤4⇔x2－x－20，x2－x－6≤0⇔x－2x＋10，x－3x＋2≤0⇔x2或x－1，－2≤x≤3.原不等式等价于借助于数轴，如图所示，所以原不等式的解集为{x|－2≤x－1或2x≤3}.(2)求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集.解答题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1在R上的恒成立问题38例3(1)若一元二次不等式2kx2＋kx－0对一切实数x都成立，则k的取值范围为A.(－3,0]B.[－3,0)C.[－3,0]D.(－3,0)答案解析(2)设a为常数，对于∀x∈R，ax2＋ax＋10，则a的取值范围是A.(0,4)B.[0,4)C.(0，＋∞)D.(－∞，4)对于∀x∈R，ax2＋ax＋10，则必有a0，Δ＝a2－4a0或a＝0，∴0≤a4.答案解析命题点2在给定区间上的恒成立问题例4设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)－m＋5恒成立，求m的取值范围.解答命题点3给定参数范围的恒成立问题例5对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围.解答思维升华(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是__________.(－22，0)答案解析作出二次函数f(x)的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)0，则有fm0，fm＋10，即m2＋m2－10，m＋12＋mm＋1－10，解得－22m0.(2)已知不等式mx2－2x－m＋10，是否存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.解答当m＝0时，1－2x0，则x12，不满足题意；不等式mx2－2x－m＋10恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x轴下方.当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即m0，Δ＝4－4m1－m0，不等式组的解集为空集，即m无解.综上可知，不存在这样的m.题型三一元二次不等式的应用例6某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；85解析由题意得，y＝1001－x10·1001＋850x.因为售价不能低于成本价，所以1001－x10－80≥0.所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，定义域为x∈[0,2].(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围.解答化简得8x2－30x＋13≤0，解得12≤x≤134.由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10260，所以x的取值范围是12，2.思维升华求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型.(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义.(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.跟踪训练3甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100·(5x＋1－)元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；解答3x(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.解答y＝900x·100(5x＋1－3x)设利润为y元，则＝9×104(5＋1x－3x2)＝9×104[－3(1x－16)2＋6112]，故当x＝6时，ymax＝457500元.即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457500元.典例(1)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为_____.(2)已知函数f(x)＝，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是__________.转化与化归思想在不等式中的应用思想与方法系列14函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题.9{a|a－3}答案解析x2＋2x＋ax思想方法指导课时作业A.{x|1≤x≤2}B.{x|x≤1或x≥2}C.{x|1x2}D.{x|x1或x2}1.不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为√12345678910111213答案解析由(x－1)(2－x)≥0可知(x－2)(x－1)≤0，所以不等式的解集为{x|1≤x≤2}.12345678910111213A.(－∞，1)∪(3，＋∞)B.(1,3)C.(－∞，2)∪(2，＋∞)D.(1,2)∪(2,3)2.(2016·潍坊模拟)函数f(x)＝1ln－x2＋4x－3的定义域是√答案解析由题意得－x2＋4x－30，即x2－4x＋30，∴1x3，又ln(－x2＋4x－3)≠0，即－x2＋4x－3≠1，∴x2－4x＋4≠0，∴x≠2.故函数定义域为(1,2)∪(2,3).123456789101112133.若集合A＝{x|ax2－ax＋10}＝∅，则实数a的取值范围是A.{a|0a4}B.{a|0≤a4}C.{a|0a≤4}D.{a|0≤a≤4}√答案解析当a≠0时，由a0，Δ＝－a2－4a≤0，得0a≤4.所以0≤a≤4.由题意知a＝0时，满足条件.12345678910111213A.(－3,1)∪(3，＋∞)B.(－3,1)∪(2，＋∞)C.(－1,1)∪(3，＋∞)D.(－∞，－3)∪(1,3)4.设函数f(x)＝x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x0，则不等式f(x)f(1)的解集是√答案解析由题意得x≥0，x2－4x＋63或x0，x＋63，解