【新步步高】2018版高考数学(理)一轮复习第九章解析几何9.9第1课时

§9.9圆锥曲线的综合问题基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ0⇔直线与圆锥曲线；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线；③Δ0⇔直线与圆锥曲线.知识梳理相交相切相离(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是.平行平行或重合2.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝＝1＋1k2|y2－y1|.1＋k2|x2－x1|过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交.(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；知识拓展过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与抛物线y2＝2px只有一个公共点，则l与抛物线相切.()(2)直线y＝kx(k≠0)与双曲线x2－y2＝1一定相交.()(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点.()(4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切.()(5)过点(2,4)的直线与椭圆＋y2＝1只有一条切线.()(6)满足“直线y＝ax＋2与双曲线x2－y2＝4只有一个公共点”的a的值有4个.()思考辨析××√√×√x241.(2016·黑龙江鹤岗一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(ab0)表示的曲线大致是答案解析考点自测2.(2017·青岛月考)直线y＝kx－k＋1与椭圆的位置关系为A.相交B.相切C.相离D.不确定答案解析x29＋y24＝1直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.3.若直线y＝kx与双曲线相交，则k的取值范围是答案解析x29－y24＝1A.0，23B.－23，0C.－23，23D.－∞，－23∪23，＋∞双曲线x29－y24＝1的渐近线方程为y＝±23x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈－23，23.4.已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|＝________.答案解析16直线l的方程为y＝3x＋1，由y＝3x＋1，x2＝4y，得y2－14y＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.5.(教材改编)已知与向量v＝(1,0)平行的直线l与双曲线－y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________.解析答案4x24由题意可设直线l的方程为y＝m，代入x24－y2＝1得x2＝4(1＋m2)，所以x1＝41＋m2＝21＋m2，x2＝－21＋m2，所以|AB|＝|x1－x2|＝41＋m2，所以|AB|＝41＋m2≥4，即当m＝0时，|AB|有最小值4.题型分类深度剖析第1课时直线与圆锥曲线题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1(2016·烟台模拟)已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点.解答x24＋y22几何画板展示(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.思维升华跟踪训练1(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.解答(1)求|OH||ON|；由已知得M(0，t)，Pt22p，t，又N为M关于点P的对称点，故Nt2p，t，ON的方程为y＝ptx，代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝2t2p，因此H2t2p，2t.所以N为OH的中点，即|OH||ON|＝2.几何画板展示(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由.解答直线MH与C除H以外没有其他公共点，理由如下：直线MH的方程为y－t＝p2tx，即x＝2tp(y－t).代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.几何画板展示题型二弦长问题解答例2(2016·全国甲卷)已知A是椭圆E：x24＋y23＝1的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积.几何画板展示证明(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：3k2.几何画板展示有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.思维升华跟踪训练2设F1，F2分别是椭圆E：＝1(ab0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.解答(1)求E的离心率；x2a2＋y2b2(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程.解答设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0＝x1＋x22＝－a2ca2＋b2＝－2c3，y0＝x0＋c＝c3.由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即y0＋1x0＝－1，得c＝3，从而a＝32，b＝3.故椭圆E的方程为x218＋y29＝1.题型三中点弦问题命题点1利用中点弦确定直线或曲线方程例3(1)已知椭圆E：＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为A.x245＋y236＝1B.x236＋y227＝1C.x227＋y218＝1D.x218＋y29＝1x2a2＋y2b2答案解析(2)已知(4,2)是直线l被椭圆＝1所截得的线段的中点，则l的方程是_____________.x236＋y29答案解析x＋2y－8＝0命题点2由中点弦解决对称问题例4(2015·浙江)如图已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称.解答x2212(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).解答处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解.(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l对称，则l垂直直线AB且A，B的中点在直线l上的应用.思维升华y1－y2x1－x2跟踪训练3设抛物线过定点A(－1,0)，且以直线x＝1为准线.解答(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程；设抛物线顶点为P(x，y)，则焦点F(2x－1，y).再根据抛物线的定义得|AF|＝2，即(2x)2＋y2＝4，所以轨迹C的方程为x2＋y24＝1.几何画板展示(2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x＝－平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，试求m的取值范围.解答12几何画板展示课时作业1.(2016·泰安模拟)斜率为的直线与双曲线＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是√12345678910111213答案解析3A.[2，＋∞)B.(2，＋∞)C.(1，)D.(，＋∞)x2a2－y2b233要使直线与双曲线恒有两个公共点，则渐近线的斜率的绝对值应大于，所以|ba|3，∴e＝1＋b2a22，即e∈(2，＋∞)，故选B.32.直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于√12345678910111213答案解析12A.74B.2C.94D.43.斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为√12345678910111213答案解析x24A.2B.455C.4105D.81054.(2017·天津质检)直线y＝x＋3与双曲线＝1的交点个数是A.1B.2C.1或2D.0√12345678910111213答案解析bax2a2－y2b2所以它与双曲线只有1个交点，故选A.因为直线y＝bax＋3与双曲线的渐近线y＝bax平行，5.设双曲线＝1(a0，b0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为12345678910111213答案解析x2a2－y2b2A.54B.5C.52D.5√6.已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过点F且斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，则||FA|－|FB||的值为√12345678910111213答案解析A.42B.8C.82D.167.(2016·安顺月考)在抛物线y＝x2上关于直线y＝x＋3对称的两点M，N的坐标分别为_____________.12345678910111213答案解析(－2,4)，(1,1)8.已知抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为____.12345678910111213答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，又|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤6，当AB过焦点F时取得最大值6.612345678910111213答案解析9.过椭圆＝1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是______________.x216＋y243x＋4y－13＝01234567891011121310.已知双曲线C：x2－＝1，直线y＝－2x＋m与双曲线C的右支交于A，B两点(A在B的上方)，且与y轴交于点M，则的取值范围为__________.y23|MB||MA|答案解析(1,7＋43)11.(2016·郑州模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆经过圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0的圆心.(1)求椭圆的方程；12345678910111213解答222圆C方程化为(x－2)2＋(y＋2)2＝6，圆心C(2，－2)，半径r＝6.设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则4a2＋2b2＝1，1－ba2＝222⇒