4第四章 网络定理汇总

第四章网络定理前几章介绍了几种常用的电路元件，电路的基本定律和各种分析方法。本章介绍线性电阻电路的几个网络定理，以便进一步了解线性电阻电路的基本性质。利用这些定理可以简化电路的分析和计算。§4－l叠加定理由独立电源和线性电阻元件(线性电阻、线性受控源等)组成的电路，称为线性电阻电路。描述线性电阻电路各电压电流关系的各种电路方程，是以电压电流为变量的一组线性代数方程。作为电路输入或激励的独立电源，其uS和iS总是作为与电压电流变量无关的量出现在这些方程的右边。求解这些电路方程得到的各支路电流和电压(称为输出或响应)是独立电源uS和iS的线性函数。电路响应与激励之间的这种线性关系称为叠加性，它是线性电路的一种基本性质。现以图(a)所示双输入电路为例加以说明。列出图4－l(a)电路的网孔方程：)14()(S3S32121iiuiRiRR图4－l求解上式可得到电阻R1的电流i1和电阻R2上电压u2)24(111S212S211'iiiRRRuRRi其中S212011S21011SS1iRRRiiuRRiiui')14()(S3S32121iiuiRiRR'iiiRRRuRRi11S212S2111+S212011SiRRRiiu1S21011SuRRiii'电流i1的叠加+'uuiRRRRuRRRu22S2121S2122S212022SuRRRuui'S2121022SiRRRRuuu电压u2的叠加从上可见:电流i1和电压u2均由两项相加而成。第一项i1和u2是该电路在独立电流源开路(iS=0)时，由独立电压源单独作用所产生的i1和u2。第二项i1和u2是该电路在独立电压源短路(uS=0)时，由独立电流源单独作用所产生的i1和u2。以上叙述表明，由两个独立电源共同产生的响应，等于每个独立电源单独作用所产生响应之和。线性电路的这种叠加性称为叠加定理。叠加定理陈述为：由全部独立电源在线性电阻电路中产生的任一电压或电流，等于每一个独立电源单独作用所产生的相应电压或电流的代数和。也就是说，只要电路存在惟一解，线性电阻电路中的任一结点电压、支路电压或支路电流均可表示为以下形式4)-(4S2S21S1S2S21S1nnmmiKiKiKuHuHuHy式中uSk(k=1,2,…,m)表示电路中独立电压源的电压;iSk(k=1,2,…,n)表示电路中独立电流源的电流。Hk(k=1,2,…,m)和Kk(k=1,2,…,n)是常量，它们取决于电路的参数和输出变量的选择，而与独立电源无关。在计算某一独立电源单独作用所产生的电压或电流时，应将电路中其它独立电压源用短路(uS=0)代替，而其它独立电流源用开路(iS=0)代替。式(4－4)中的每一项y(uSk)=HkuSk或y(iSk)=KkiSk是该独立电源单独作用，其余独立电源全部置零时的响应。这表明y(uSk)与输入uSk或y(iSk)与输入iSk之间存在正比例关系，这是线性电路具有“齐次性”的一种体现。式(4－4)还表明在线性电阻电路中，由几个独立电源共同作用产生的响应，等于每个独立电源单独作用产生的响应之和，这是线性电路具有可“叠加性”的一种体现。利用叠加定理反映的线性电路的这种基本性质，可以简化线性电路的分析和计算，在以后的学习中经常用到。值得注意的是：线性电路中元件的功率并不等于每个独立电源单独产生功率之和。例如在双输入电路中某元件吸收的功率21))((ppiuiuiuiuiuiuiiuuuip''''''''需要说明的是叠加定理仅仅适用于存在惟一解的线性电路。在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。图4－2例4－l电路如图4-2所示。(l)已知I5=1A，求各支路电流和电压源电压US。解：用2b方程，由后向前推算：V80)10()5(A8A410)12()7(A4A34)1221S32153254354IIUIIIIIIIIIII（1A3A4A4A8A80V(2)若已知US=120V，再求各支路电流。1A3A4A4A8A80V解：当US=120V时，它是原来电压80V的1.5倍，根据线性电路齐次性可以断言，该电路中各电压和电流均增加到1.5倍，即A5.1A15.1A5.4A35.16AA45.1A12A85.154321IIIII120V12A6A6A4.5A1.5A例4－2电路如图4-3(a)所示。若已知：V2sin15,Vcos20)3(V5,V10)2(V10,V5)1(2S1S2S1S2S1Stutuuuuu图4－3试用叠加定理计算电压u。解：画出uS1和uS2单独作用的电路，如图(b)和(c)所示，分别求出：2S2S2S21S1S1S12.05.025.04.032132uuuHuuuuHu'图4－3根据叠加定理2S1S2.04.0uuuuu'代入uS1和uS2数据，分别得到：V)]2sin(3)cos(8[V)]2sin(152.0)cos(200.4[)3(V5V52.0V100.4)2(V4V102.0V50.4)1(ttttuuuωωωωV)2sin(15,V)cos(20)3(V5,V10)2(V10,V5)1(2S1S2S1S2S1Stutuuuuu在幻灯片放映时，请用鼠标单击图片放映录像。例4－3电路如图4-4所示。已知r=2，试用叠加定理求电流i和电压u。图4－4解：画出12V独立电压源和6A独立电流源单独作用的电路如图(b)和(c)所示。(注意在每个电路内均保留受控源，但控制量分别改为分电路中的相应量)。由图(b)电路，列出KVL方程0)3(V12)1()2('iii''求得：V6)3(A2'iui''由图(c)电路，列出KVL方程0)A6)(3()1()2(''iii求得:最后得到：15VV9V61A3AA2''''uuuiiiV9)A6)(3(A3''''''iui例4－4用叠加定理求图4－5(a)电路中电压u。图4－5解：画出独立电压源uS和独立电流源iS单独作用的电路，如图(b)和(c)所示。由此分别求得u’和u”,然后根据叠加定理将u’和u”相加得到电压uS4242S424iRRRRuuRRRu')(S2S424iRuRRRuuu'图4－5§4－2戴维宁定理由第二章已经知道，含独立电源的线性电阻单口网络，可以等效为一个电压源和电阻串联单口网络，或一个电流源和电阻并联单口网络。本章介绍的戴维宁定理和诺顿定理采用叠加定理来计算含源线性电阻单口网络的等效电路，对简化电路的分析和计算十分有用。这两个定理是本章学习的重点。本节先介绍戴维宁定理。戴维宁定理：含独立电源的线性电阻单口网络N，就端口特性而言，可以等效为一个电压源和电阻串联的单口网络[图(a)]。电压源的电压等于单口网络在负载开路时的电压uoc；电阻Ro是单口网络内全部独立电源为零值时所得单口网络No的等效电阻[图(b)]。图4－6uoc称为开路电压。Ro称为戴维宁等效电阻。在电子电路中，当单口网络视为电源时，常称此电阻为输出电阻，常用Ro表示；当单口网络视为负载时，则称之为输入电阻，并常用Ri表示。电压源uoc和电阻Ro的串联单口网络，常称为戴维宁等效电路。当单口网络的端口电压和电流采用关联参考方向时，其端口电压电流关系方程可表为)54(ocouiRu戴维宁定理可以在单口外加电流源i，用叠加定理计算端口电压表达式的方法证明如下。在单口网络端口上外加电流源i,根据叠加定理，端口电压可以分为两部分组成。一部分由电流源单独作用(单口内全部独立电源置零)产生的电压u’=Roi[图(b)]，另一部分是外加电流源置零(i=0)，即单口网络开路时，由单口网络内部全部独立电源共同作用产生的电压u”=uoc[图(c)]。由此得到ocouiRuuu'此式与式(4－4)完全相同，这就证明了含源线性电阻单口网络，在端口外加电流源存在惟一解的条件下，可以等效为一个电压源uoc和电阻Ro串联的单口网络。只要分别计算出单口网络N的开路电压uoc和单口网络内全部独立电源置零(独立电压源用短路代替及独立电流源用开路代替)时单口网络No的等效电阻Ro，就可得到单口网络的戴维宁等效电路。下面举例说明。ocouiRuuu'例4－5求图4-8(a)所示单口网络的戴维宁等效电路。解：在单口网络的端口上标明开路电压uoc的参考方向，注意到i=0，可求得V3A2)2(V1ocu图4－8将单口网络内1V电压源用短路代替，2A电流源用开路代替，得到图(b)电路，由此求得6321oR根据uoc的参考方向，即可画出戴维宁等效电路，如图(c)所示。图4－8例4－6求图4-9(a)所示单口网络的戴维宁等效电路。解；标出单口网络开路电压uoc的参考方向，用叠加定理求得uoc为V)60e(30Ae4)15(V10A2)10(octtu图4－915510oR根据所设uoc的参考方向，得到图(c)所示戴维宁等效电路。其uoc和Ro值如上两式所示。将单口网络内的2A电流源和电流源分别用开路代替，10V电压源用短路代替，得到图(b)电路，由此求得戴维宁等效电阻为te4图4－9例4－7求图4-10(a)单口网络的戴维宁等效电路。图4－10解：uoc的参考方向如图(b)所示。由于i=0，使得受控电流源的电流3i=0，相当于开路，用分压公式可求得uoc为V12V1861212ocu为求Ro，将18V独立电压源用短路代替，保留受控源，在a、b端口外加电流源i，得到图(c)电路。通过计算端口电压u的表达式可求得电阻Ro8)8()3(126)126(oiuRiiiu图4－10例4－8求图4-11(a)所示电桥电路中电阻RL的电流i。解：断开负载电阻RL，得到图(b)电路，用分压公式求得)64(S434212ocuRRRRRRu图4－11将独立电压源用短路代替，得到图(c)电路，由此求得)74(43432121oRRRRRRRRR用戴维宁等效电路代替单口网络，得到图(d)电路，由此求得)84(LoocRRui图4－11从用戴维宁定理方法求解得到的图(d)电路和式(4－8)中，还可以得出一些用其它网络分析方法难以得出的有用结论。例如要分析电桥电路的几个电阻参数在满足什么条件下，可使电阻RL中电流i为零的问题，只需令式(4－8)分子为零，即0434212ocRRRRRRu由此求得3241RRRR这就是常用的电桥平衡(i=0)的公式。根据此式可从已知三个电阻值的条件下求得第四个未知电阻之值。例4－9图4-12(a)是MF-30型万用电表测量电阻的电原理图。试用戴维宁定理求电表测量电阻时的电流I。图4－12解：万用电表可用来测量二端器件的直流电阻值。将被测电阻接于电表两端，其电阻值可根据电表指针偏转的角度，从电表的电阻刻度上直接读出。为了便于测量不同的电阻，其量程常分为R1,R10,R100,R1k等档，用开关进行转换。图(a)是一个含源线性电阻单口网络，可用戴维宁定理来简化电路分析。式中Imax=US/Ro是电表短路(Rx=0)时指针满偏转的电流。先将图中虚线部分用一个2k电阻来模拟(当2.8k电位器的滑动端位于最上端时，它是10k和2.5k电阻的并联)。图(b)是该电表的电路模型，可进一步简化为图(c)所示的电路。由此求得电表外接电阻Rx时的电流：maxooSoooS11IRRRURRRRRUIxxx上式表明，当被测电阻Rx由