高中数学人教A版选修1-2课件:2.2.1《综合法与分析法》-

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第二章推理与证明2.2.1综合法与分析法1、了解综合法的思考过程、特点,会用综合法证明题目.2、了解分析法的分析思路,会用分析法证明题目.3、能用分析法分析证题思路,用综合法书写证明过程.应用:1、证明不等式2、证明等式内容:本课主要学习综合法与分析法。通过两个引例出发,引入综合法与分析法,通过对比掌握它们证题的特点,并总结出它们之间的区别与联系,为在实际问题中分析问题寻找解题方法做好铺垫.重点:会用综合法和分析法证明问题;了解综合法与分析法的思考过程.难点:根据问题的特点,结合综合法与分析法的思考过程、特点,选择适当的证明方法.本课选用了两个例题。例题设置难易适度,每个例题后有针对性的练习,便于学生巩固和掌握,且第一个例题与变式训练分别用分析法和综合法来证明,让学生真正体会两种方法的优点与作用,另外,第二个例题可以用综合法,也可以用分析法,从而锻炼学生灵活应用方法解决问题的能力.采用一讲一练针对性讲解的方式,重点理解综合法与分析法的应用。通过观看视频,大家一起讨论一下我们应该如何测的恒星之间的距离呢?如何测的恒星之间的距离复习推理合情推理(或然性推理)演绎推理(必然性推理)归纳(特殊到一般)类比(特殊到特殊)三段论(一般到特殊)合情推理是发现的方法,演绎推理是数学中严格证明的工具.怎样用演绎推理来证明呢?这是要讲究方法的.今天,我们就来认识一些基本的证明方法……合情推理得到的结论是不可靠的,需要证明.数学中证明的方法有哪些呢?间接证明(反证法)分析法综合法直接证明证明的方法引例一:证明不等式:222()xxxR2222(1)110xxx222xx证法1:由2(1)0x2(1)110x2220xx222xx证法2:由证法2是从已经成立的事实出发,经过正确推理,得到要证的结论.------综合法引例二:求证3725分析:从待证不等式不易发现证明的出发点,因此我们直接从待证不等式出发,分析其成立的充分条件.证明:要证明3725,只需证22(37)(25),即证1022120,即证22110,即证215,即证2125,因为2125显然成立,所以原不等式成立.在本例中,由于我们很难想到从“2125”入手,所以用综合法证明比较困难.以上采用的证明方法就是分析法.利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:1PQ12QQ23QQnQQ…综合法是由一个个推理组成的.特点:由因索果综合法概念从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中,使每一步结论成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止,这种证明的方法叫做分析法.这个明显成立的条件可以是:已知条件、定理、定义、公理等特点:执果索因(逆推)则分析法用框图表示为:得到一个明显成立的条件PP12QP1PP23…分析法概念(1)区别:综合法是从已知条件出发,逐步推向未知,每步寻找的是必要条件;分析法是从待求结论出发,逐步靠拢已知,每步寻找的是充分条件.(2)优缺点:综合法和分析法是直接证明的两种基本方法,两种方法各有优缺点,综合法从条件推出结论,能较简捷地解决问题,但不便于思考;分析法解题方向较为明确,容易寻找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁.1.综合法:要点:顺推证法;由因导果.2.分析法:要点:逆推证法;执果索因.3.综合法与分析法的区别及优缺点综合法与分析法的比较【分析法】从结论出发,寻找结论成立的充分条件直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件.要证:只要证:只需证:显然成立上述各步均可逆所以结论成立要证:所以结论成立格式分析基本不等式:(a0,b0)的证明.a+bab2证明:因为;所以所以所以成立()b20a20a+bab2a+baba+bab2证明:要证只需证只需证只需证因为成立所以成立a+bab22a+bab20a+bab()b20a()b20aa+bab2还原成综合法:证明:因为;所以当且仅当a=b时取等号所以所以成立证明:要证只需证只需证而当且仅当成立所以成立综合法:ababbaaabbbaab0aabbbaab2()()()()0aabbababab=abababba0,0ab22abbaabba,10,0,abababba例、已知求证:22abbaabbaababba3322,ababababab设是两个正实数,且,求证:证明:方法一(分析法)证明:要证只需证只需证只需证即只需证而由已知条件可知显然成立,所以命题得证.3322+ababab22(+)()()abaabbabab22aabbab2220aabb2()0abab2()0ab方法二(综合法)证明:即即由条件可知即,所以命题得证.22aabbab2220aabbab2()0ab0ab22(+)()()abaabbabab3322ababab例2:在△ABC中,三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.证明:CA2BCB成等差数列、、A3BCBAacbcba2成等比数列、、accaBaccab22222cos2由余弦定理得0)(222caacacca即ca是等边三角形ABC解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言。还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.)sin)(cossin(cossincos:222244左边证明右边2cossincos22等式成立2cossincos44,求证:对任意锐角1.知识与技能:(1)综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.(2)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等).(3)综合法与分析法的区别:综合法是从已知条件出发,逐步推向未知,每步寻找的是必要条件;分析法是从待求结论出发,逐步靠拢已知,每步寻找的是充分条件.2.思想与方法:顺推与逆推的思想.必做题:1.要证明不等式67225成立,只需证明:.2.已知22222aa与22的大小关系是.3.已知,ab是不相等的正数,2abxyab,,则xy,的大小关系是_________.4.已知,,abc是不全相等的正数,求证:abcbacacbcba6)()()(222222.22(67)(225)2222222aaxy必做题:4.证明:222,0bcbca,22()2abcabc,①同理22()2bcaabc,②22()2cababc,③因为,,abc不全相等,所以222bcbc,222caac,222abab三式不能全取等号,从而①、②、③三式也不能全取等号,∴abcbacacbcba6)()()(222222选做题:1.用分析法证明:若0a,则221122aaaa.2.已知函数1yx,222yxxt,11()2tyxx(0)x的最小值恰好是方程320xaxbxc的三个根,其中01t.求证:223ab;选做题答案:1.证明:要证221122.aaaa,只需证221122.aaaa由0a,所以两边均大于零,因此只需证222211(2)(2)aaaa只需证2222221111442222()aaaaaaaa,只需证22121()2aaaa,只需证2222111(2)2aaaa,即证2212aa,它显然成立.∴原不等式成立.2.证明:三个函数的最小值依次为1,1t,1t,由(1)0f,得1cab∴3232()(1)fxxaxbxcxaxbxab2(1)[(1)(1)]xxaxab,故方程2(1)(1)0xaxab的两根是1t,1t.故11(1)tta,111ttab.由22(11)(1)tta,可得222(1)(1)aba.∴223ab.

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