3.3广义积分

badxxf)(有界函数.ba,有限区间.:广义积分定义1设函数)(xf在区间),[a上连续，取ab，如果极限babdxxf)(lim存在，则称此极限为函数)(xf在无穷区间),[a上的广义积分，记作adxxf)(.adxxf)(babdxxf)(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.一、无穷区间上的广义积分例1计算广义积分02dxxex。解：02dxxexbxbdxxe02limbxbxde02)(21lim20lim212bexb.21类似地，设函数)(xf在区间],(b上连续，取ba，如果极限baadxxf)(lim存在，则称此极限为函数)(xf在无穷区间],(b上的广义积分，记作bdxxf)(.bdxxf)(baadxxf)(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.设函数)(xf在区间),(上连续,如果广义积分cdxxf)(和cdxxf)(都收敛，则称上述两广义积分之和为函数)(xf在无穷区间),(上的广义积分，记作dxxf)(.dxxf)(cdxxf)(cdxxf)(caadxxf)(limbcbdxxf)(lim极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散.例2计算广义积分.12xdx解21xdx021xdx021xdx0211limaadxxbbdxx0211lim0arctanlimaaxbbx0arctanlimaaarctanlimbbarctanlim.22例3讨论广义积分11dxxp的敛散性。解：,1)1(p11dxxp11dxx1lnx,,1)2(p11dxxp111pxp1,111,ppp因此当1p时广义积分收敛，其值为11p；当1p时广义积分发散.定义2设函数)(xf在区间],(ba上连续，而在点a的右邻域内无界．取0，如果极限badxxf)(lim0存在，则称此极限为函数)(xf在区间],(ba上的广义积分，记作badxxf)(.badxxf)(badxxf)(lim0当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.二、无界函数的广义积分例1.计算广义积分解：.ln10xdx,lnlim0xx0x为被积函数的无穷间断点.10lnxdx100lnlimxdx10lnlimxxxlnlim1ln1lim000lim11lim1lnlimlnlim02000而.1ln10x类似地，设函数)(xf在区间),[ba上连续，而在点b的左邻域内无界.取0，如果极限badxxf)(lim0存在，则称此极限为函数)(xf在区间),[ba上的广义积分，记作badxxf)(badxxf)(lim0.当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.设函数)(xf在区间],[ba上除点)(bcac外连续，而在点c的邻域内无界.如果两个广义积分cadxxf)(和bcdxxf)(都收敛，则定义badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(11)(lim0cadxxfbcdxxf22)(lim0否则，就称广义积分badxxf)(发散.例2.计算广义积分解：.tan0xdx2x为被积函数的无穷间断点.0tanxdx20020tanlimtanxdxxdx而220tantanxdxxdx02coslnlim0x若没注意到2x为被积函数的无穷间断点：0tanxdx发散。所以广义积分0tanxdx00coslnx错！例3.计算广义积分解：.1112dxx,1lim20xx0x为被积函数的无穷间断点.1121dxx1202021012011lim1limdxxdxx)11(lim202202120202011lim1limxdxx而,1102发散即广义积分dxx若没注意到0x为被积函数的无穷间断点：1121dxx发散。所以广义积分1121dxx2111x例3证明广义积分101dxxq当1q时收敛，当1q时发散.证：,1)1(q101dxx10lnx,,1)2(q101dxxq1011qxq1,111,qqq因此当1q时广义积分收敛，其值为q11；当1q时广义积分发散.101dxxq问题1:曲边梯形的面积问题2:变速直线运动的路程存在定理广义积分定积分定积分的性质定积分的计算法牛顿-莱布尼兹公式)()()(aFbFdxxfba定积分课后作业：•习题三