无限长单位冲激响应数字滤波器的设计

1数字信号处理DigitalSignalProcessing2第五章无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计3学习重点掌握数字滤波器的类型、性能指标以及数字滤波器设计的基本步骤。熟悉原型模拟滤波器特性、原理及设计步骤（主要是巴特沃斯模拟低通型）。掌握冲激响应不变法设计IIR数字滤波器的基本原理与应用。掌握双线性变换法设计IIR数字滤波器的基本原理与应用。掌握模拟域频率变换法设计IIR数字滤波器（低通、高通、带通、带阻）。掌握数字域频率变换法设计IIR数字滤波器（低通、高通、带通、带阻、）。45.1引言1.无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器，属于递归型滤波器。这类滤波器设计的一种主要方法是借助于模拟滤波器成熟的设计技术进行设计。依据模拟滤波器的设计技术和已有的完善设计图表，可以较为方便地对无限长单位脉冲响（IIR）数字滤波器进行设计。2.介绍滤波器的定义、分类（IIR滤波器的分类）、滤波器性能指标等。3.详细介绍归一化模拟低通原型滤波器的设计方法和步骤（最基本的）。4.主要有两种离散化方法——冲激响应不变法和双线性变换法，将模拟滤波器离散成数字滤波器的系统函数。55.用频率变换法设计IIR数字滤波器，有两种频率变换设计方法a、模拟频率域变换法设计IIR数字滤波器b、数字频率域变换法设计IIR数字滤波器**频率变换法设计IIR数字滤波器均以归一化模拟低通原型滤波器的设计方法为重要基础，在此基础上进行设计的拓展和延伸。=01()531MrrrkNkkkbzHzaaz，（其中不全为零）（）IIR和FIR两种滤波器的传递函数（系统函数）分别为如下形式。无限长单位脉冲滤波器（IIR）的系统函数（递归型）：6有限长单位脉冲响应滤波器（FIR）的系统函数（非递归型）11()(),(54)NnnHzhnz滤波器：对输入信号频率成分进行选择的器件、系统和装置，让某些频率分量通过滤波器的同时，抑制其它频率分量。数字滤波器：是指输入/输出均为数字信号，通过一定运算关系调整输入信号所含频率成分的相对比例，同时抑制或滤除某些频率成分的器件、装置和系统。5.2滤波器性能指标与设计步骤5.2.1滤波器概述7数字滤波器设计：构建因果稳定的LSI系统（保证可实现性和可用性），并使之具有所期望的频率选择特性（满足性能指标要求）。通常按频率选择特性不同可以分为低通、高通、带通、带阻等类型。如图5-2和图5-3所示。1.无限长冲激响应滤波器（IIR）2.有限长冲激响应滤波器（FIR）数字滤波器分类（冲激响应）：8图5-2模拟滤波器的类型图5-3数字滤波器的类型9（1）图5-2表示模拟低通、高通、带通和带阻滤波器。（2）滤波器的幅度特性（或衰减特性）均是理想化的，即通带和阻带之间没有过渡带。（3）幅度特性为理想化的滤波器，都是不可实现的，只能用实际的滤波器的特性逼近该特性。1．模拟滤波器的类型及其特点（4）频率是连续变量，从0→∞连续变化102．数字滤波器的类型及其特点（1）图5-3表示数字低通、高通、带通、带阻滤波器（2）滤波器的幅度特性（或衰减特性）均是理想化的，即通带和阻带之间没有过渡带。（4）数字频率变化从0→π包括所有频率，与连续频率的重要区别，且幅度特性呈现周期性重复。（5）数字频率，低频频率成分位于π的偶数倍附近，而高频成份位π的奇数倍附近。（3）幅度特性为理想化的滤波器，都是不可实现的。115.2.2数字滤波器性能指标滤波器的特性主要由频率响应表述(设DF的单位脉冲响应为h(n))|)(|jeH其中称为滤波器的幅度响应)(je称为滤波器的相位响应对于相位响应，令()dd称为滤波器的群延迟响应当滤波器的群延迟响应为常数时，称为线性相位滤波器jjjjj()e(e)()e()(e)enznHhnHzH∞∞反映滤波器对信号幅频和相频的处理功能12要求不失真传输，则滤波器必须具有线性相位特性，同时对幅度特性有严格要求。即必须同时具备如下两个条件：①在通带内滤波器幅度特性为常数；②在通带内相位函数为的线性函数。线性相位函数有两种情况，一种是通过坐标原点的线性函数，另一种是在纵坐标上有截相（）π/2的线性相位函数（相角与频率的关系成直线关系）。13理想滤波器对应的时域响应为非因果的（不可实现），因而实际的滤波器频率特性是用一个具有因果冲激响应的系统函数对理想滤波器频率特性的逼近。11|()|1jHe2|)(|jeHsp||过渡带p||通带p通带截止频率1通带容限||s阻带s阻带截止频率2阻带容限低通滤波器幅频特性0p通带截止频率p通带通带容限1|)(|jeH通带阻带过渡带1112ps14通带和阻带的衰减用分贝数表示为通带最大衰减p01|()|20lg20lg|()|20lg(1)|()|ppjjpjHeHeHe阻带最小衰减s02|()|20lg20lg|()|20lg|()|ssjjsjHeHeHe此时为截止频率，对应的带宽为3dB带宽通常1|)(|0jeH当22|)(|pjeH时，3,pdBdB3通带最大衰减，越小越好阻带最小衰减，越大越好p15IIR数字滤波器设计主要工作：用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能指标01()5101MkkkkNkkkbzHzaaz（其中系数不全为零）（）主要的方法是首先设计一个模拟滤波器系统函数H(s)，然后通过离散化的方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。由式（5-10）可见，设计一个IIR数字滤波器，实质上是寻找一组系数{ak、bk}合适的值，使数字滤波器的性能指标满足给定的指标要求本质上是属于数学逼近问题。这与模拟滤波器的设计思想是完全一致的。16根据具体设计任务，确定滤波器性能指标。转换数字滤波器指标成模拟低通指标（一般需两次转换,低通除外)。(通、阻带边界频率和通、阻带衰减）设计一个满足设计指标的归一化模拟滤波器系统函数。去归一化并转换成与数字滤波器同型的模拟滤波器系统函数即Ha(s)将设计的模拟滤波器系统函数Ha(s)离散化成数字滤波器系统函数HD(z)IIR滤波器设计主要步骤()aHs()aHs175.2.3常用模拟滤波器设计方法1由幅度平方函数确定系统函数模拟滤波器幅度响应用幅度平方函数表示2*|()|()(),aaaHjHjHj模拟滤波器的理论已经相当成熟，滤波器设计有严格的设计公式，还有完善的曲线和图表供设计者使用，这些以归一化低通原型为基础，常见的模拟滤波器包括巴特沃斯（Butterworth）滤波器、切比雪夫（Chebyshev）滤波器、椭圆函数滤波器（Ellipse或Cauer）、贝赛尔（Bessel）滤波器等。重点介绍巴特沃斯（Butterworth）模拟归一化低通滤波器的设计方法。18因为滤波器冲激响应是实函数，则有)(tha)()(*jHjHaa所以2|()|()()()()|aaaaasjHjHjHjHsHs)(sHa为模拟滤波器的系统函数,它是关于s的多项式之比的形式（关于s的有理函数）可见为频率响应函数与频率响应函数取共轭之积其中:19模拟滤波器设计是根据一组设计指来设计模拟滤波器的系统函数Ha(s)，使其逼近某个理想幅度特性。例如逼近理想模拟低通滤波器的幅频特性，具体如图5-5所示。图5-5理想模拟低通滤波器的幅频特性这是根据幅度平方函数来逼近的。202巴特沃斯滤波器(模拟滤波器）巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数定义为NCajH22)(11|)(|N为滤波器阶次为滤波器截止频率C巴特沃斯低通滤波器的特点：（1）处无衰减0,1|)(|02jHa为3dB频率,且对应于巴特沃斯低通滤波器的3dB带宽C（2）21|()|2CaHj21|)(jHa|(0)|20lg3,|()|pCHjdBHj为通带最大衰减,越小滤波越好p与数字滤波器类似则有21且在处0（3）C前（2N－1）阶导数为02|)(|jHa即具有最大平坦幅度特性，附近最平坦,在通带内单调减小，阶次越高，衰减越慢。（通带内）2|)(|jHa（4）C2|)(|jHa的增加而快速减小。阶次越高，衰减越快。（阻带内）随着可见巴特沃斯滤波器的幅频滤波特性由滤波器的阶次决定。NCaaajssHsHjHjs22)(11)()(|)(|0图5-6巴特沃斯低通的幅度特性与N的关系221121[]222(1)()1,2,3,,2kjNNCCksjekN极点（特征根）的极点分布特点如图5-7所示。①极点为：以虚轴为对称轴，且不会分布在虚轴上。②N为奇数时，实轴上有两个极点，N为偶数时，实轴上没有极点。③极点间隔为。取左半s平面极点，即为Ha(s)的极点，这是由于滤波器必须是稳定的，因此系统函数的极点必须在s平面的左平面。2211()01()NNCCssjjaa()()HsHs特征方程aa()()HsHs巴特沃斯低通滤波器的系统函数和极点分别为：π/N23图5-7三阶巴特沃斯滤波器的极点分布1/Crads012()()()()aNKHsssssss02012()aNNKHsaasasas当时,称为归一化频率，通常在设计中频率都采用归一化形式归一化后的低通滤波器为原型滤波器。或NkessssHNkjCkNkkNCa,3,2,1)()(]21221[1当C1rad/s24【例5-1】试写出三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设解：三阶巴特沃斯归一化原型滤波器系统函数为sradC/20230123()aKHsaasasas由附录A-1可查出所以2,221aa023()122aKHssss若令，则有1)0(anH10K在频率下sradC/2Ca238()()()884saasCsHsHsHsss在设计中用替代中的(即去归一化），得到所需要的实际滤波器系统函数Cs()aHss()aHs253根据实际滤波器性能指标设计巴特沃斯滤波器通带最大衰减阻带最小衰减给定ps|)(|jH通带阻带过渡带1psps滤波器类型转换衰减指标不变26从该题的求解过程中，可以总结出由N求实际低通滤波器的系统函数的步骤如下。①由给定指标（两个边界频率和两个衰减等），计算出滤波器的阶数。②根据N查找归一化表格（有三种形式，根据需要选一种，附录A提供两种），得到归一化原型低通滤波器的系统函数。③根据选定的归一化频率，进行去归一化，求出实际的低通滤波器的系统函数。如何利用实际滤波器给定的性能指标，推导出求巴特沃斯低通滤波器的阶数N和求归一化截止频率Ωc公式？27分别由通带最大衰减和阻带最小衰减求N和归一化频率|)(|lg20|)(||)0(|lg20papaapjHjHjH|)(|lg20|)(||)0(|lg20sasaasjHjHjH代入NCajH22)(11|)(|])(1lg[102NCPp])(1lg[102NCSs有及212])(11[|)(|NCppajH212])(11[|)(|NCssajH1.求N28]lg[2/]110110lg[101.01.0spSPN2.求:C阻带指标满足，通带指标有富裕量通带指标满足，阻带指标有富裕量NsCs211.0]110[NpCp211.0]110[NPCCPNNCPppp2110/2110/210/)110()110()(110(取大于或等于计算结果的整数N)29例5-2设要求在通带频率低于1kHz时，允许幅度误差在1dB以内，在频率大于1.8kH