1999年高考数学试题及答案(全国理)

1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷第1至2页。第II卷3至8页。共150分。考试时间120分钟。第I卷（选择题共60分）注意事项1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。参考公式：三角函数的积化和差公式sinsin21cossinsinsin21sincoscoscos21coscoscoscos21sinsin正棱台、圆台的侧面积公式lccS21台侧其中c、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式hSSSSV31台体其中S、S分别表示上、下底面积，h表示高一、选择题：本大题共14小题；第（1）—（10）题每小题4分，第（11）—（14）题每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）如图，I是全集，M、P、S是I3个子集，则阴影部分所表示的集合是（A）（M∩P）∩S（B）（M∩P）∪S（C）（M∩P）∩S（D）（M∩P）∪S（2）已知映射f：BA，其中，集合,4,3,2,1,1,2,3A集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的,Aa在B中和它对应的元素是a，则集合B中元素的个数是（A）4（B）5（C）6（D）7（3）若函数xfy的反函数是0,,abbafxgy，则bg等于（A）a（B）1a（C）b（D）1b（4）函数0sinxMxf在区间ba,上是增函数，且,,MbfMxf则函数xMxgcos在ba,上（A）是增函数（B）是减函数（C）可以取得最大值M（D）可以取得最小值M（5）若xxfsin是周期为的奇函数，则xf可以是（A）xsin（B）xcos（C）x2sin（D）x2cos（6）在极坐标系中，曲线3sin4关于（A）直线3轴对称（B）直线65轴对称（C）点3,2中心对称（D）极点中心对称（7）若干毫升水倒入底面半径为cm2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm6，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（A）cm36（B）cm6（C）cm3182（D）cm3123（8）若,323322104xaxaxaax则2312420aaaaa的值为（A）1（B）1（C）0（D）2（9）直线0323yx截圆422yx得的劣弧所对的圆心角为（A）6（B）4（C）3（D）2（10）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF23，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（A）29（B）5（C）6（D）215（11）若,22sinctgtg则（A）4,2（B）0,4（C）4,0（D）2,4（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R=（A）10（B）15（C）20（D）25（13）已知两点,45,4,45,1NM给出下列曲线方程：①0124yx②322yx③1222yx④1222yx在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（A）①③（B）②④（C）①②③（D）②③④（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（A）5种（B）6种（C）7种（D）8种1999年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）第II卷（非选择题共90分）注意事项：1．第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接写答在试题卷中。2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号二三总分192021222324分数得分评卷人二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。（15）设椭圆012222babyax的右焦点为1F，右准线为1l，若过1F且垂直于x轴的弦长等于点1F到1l的距离，则椭圆的率心率是_____。（16）在一块并排10龚的田地中，选择2龚分别种植A、B两种作物，每种作物种植一龚，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6龚，则不同的选龚方法共有_____种（用数学作答）。（17）若正数a、b满足,3baab则ab的取值范围是_____。（18）、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n②⊥③n⊥④m⊥以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：__________________________________。三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。得分评卷人（19）（本小题满分10分）解不等式得分评卷人（20）（本小题满分12分）设复数.sin2cos3iz求函数20argzy的最大值以及对应的值。得分评卷人（21）（本小题满分12分）如图，已知正四棱柱1111DCBAABCD，点E在棱DD1上，截面EAC∥BD1，且面EAC与底面ABCD所成的角为.,45aAB（I）求截面EAC的面积；（II）求异面直线11BA与AC之间的距离；.1,01log22log3aaxxaa（III）求三棱锥EACB1的体积。得分评卷人（22）（本小题满分12分）右图为一台冷轧机的示意图。冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出。（I）输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过0r。问冷轧机至少需要安装多少对轧锟？（一对轧辊减薄率输入该对的带钢厚度从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度）（II）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧锟，所有轧辊周长均为1600.mm若第k对轧锟有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，庇点的间距为.kL为了便于检修，请计算1L、2L、3L并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）。轧锟序号k1234疵点间距kL（单位：mm）1600得分评卷人（23）（本小题满分14分）已知函数xfy的图象是自原点出发的一条折线，当,2,1,01nnyn时，该图象是斜率为nb的线段（其中正常数1b），设数列nx由,2,1nnxfn定义。（I）求1x、2x和nx的表达式；（II）求xf的表达式，并写出其定义域；（III）证明：xfy的图象与xy的图象没有横坐标大于1的交点。得分评卷人（24）（本小题满分14分）如图，给出定点00,aaA和直线Bxl.1:是直线l上的动点，BOA的角平分线交AB于点C。求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本题解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较重的错误，就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本题考查基础知识和基础运算。第（1）—（10）每小题4分，第（11）—（14）题每小题5分，满分60分。CAACBBBACDBDDC二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。（15）21（16）12（17）,9（18）nmnm,,或nmnm,,三、解答题（19）本小题主要考查对数函数的性质、对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类讨论的思想。满分10分。解：原不等式等价于3.01log22,1log22log31,02log32xxxxaaaa————4分由①得,32logxa由②得,43logxa或1logxa，由③得.21logxa由此得,43log32xa或.1logxa————8分当1a时得所求的解是axxaxax||4332；当10a时得所求的解是.0||3243axxaxax————10分（20）本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用所学数学知识解决问题的能力。满分12分。解：由20得.0tg由sincos3iz得2arg0z及.32cos3sin2argtgztg故ztgtgyarg232132tgtgtg————4分,231tgtg∵,6223tgtg∴.126231tgtg————8分当且仅当2023tgtg时，即26tg时，上式取等号。所以当26arctg时，函数tgy取得最大值.126由zyarg得.2,2y由于在2,2内正切函数是递增函数，函数y也取最大值.126arctg————12分（21）本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力。满分12分。（1）解：如图，连结BD交AC于O，连结EO∵底面ABCD是正方形，∴DO⊥AC又∵ED⊥底面AC，∴EO⊥AC∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角。————2分∴.45EOD.45sec22,2,22aaEOaACaDO故.222aSEAC————4分（II）解：由题设1111DCBAABCD是正四棱柱，得AA1⊥底面AC，AA1⊥AC，又AA1⊥,11BA∴AA1是异面直线11BA与AC间的公垂线。————6分∵11BD∥面EAC，且面BDD1与面EAC交线为EO，∴11BD∥EO又O是DB的中点，∴E是DD1的中点，11BD=2EO=2a∴DD1.2221aDBBD异面直线11BA与AC间的距离为.2a————8分（III）解法一：如图，连结11BD∵DD1=DB=.2a∴11BBDD是正方形连结DB1交BD1于P，交EO于Q∵DB1⊥BD1，EO∥BD1，∴DB1⊥EO又AC⊥EO，AC⊥ED∴AC⊥面11BBDD，∴DB1⊥AC，∴DB1⊥面EAC∴QB1是三棱锥EACB1的高。————10分由DQ=PQ，得.234311aDBQB∴.42232231321aaaVEACB所以三棱锥EACB1的体积是.423a————12分解法二：连结OB1，则112EOBAEACBVV————10分∵AO⊥面11BBDD，∴AO是三棱锥1EOBA的高，AO.22a在正方形11BBDD中，E、O分别是DD1、DB的中点（如右图），则.4321aSEOB∴.422243312321aaaVEACB所以三棱锥EAC