2.1.2.2 指数函数及其性质的应用

第2课时指数函数及其性质的应用1.理解指数函数的单调性与底数a的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题.1.指数函数单调性在比较大小，解不等式及求最值中的应用．(重点)1．函数y＝ax(a0，且a≠1)的定义域是R，值域是________．若a1，则当x＝0时，y__1；当x0时，y1；当x0时，y__1.若0a1，则当x＝0时，y__1；当x0时，y1，当x0时，y__1.2．a1时，函数y＝ax在R上是_______．0a1时，函数y＝ax在R上是_______．(0，＋∞)＝＝增函数减函数3．若ab1，当x0时，函数y＝ax图象在y＝bx图象的上方；当x0时，函数y＝ax图象在y＝bx图象的下方；若1ab0，当x0时，函数y＝ax图象在y＝bx图象的上方；当x0时，函数y＝ax图象在y＝bx图象的下方．函数y＝ax(a0，且a≠1)和y＝a－x(a0，且a≠1)的图象关于____对称．y轴复合函数y＝af(x)单调性的确定：当a1时，单调区间与f(x)的单调区间_____；当0a1时，f(x)的单调增区间是y的单调________．f(x)的单调减区间是y的单调_______．相同减区间增区间1．函数f(x)＝1－2x的定义域是()A．(－∞，0]B．[0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，＋∞)解析：要使函数有意义，则1－2x≥0，即2x≤1，∴x≤0.故选A.答案：A2．函数y＝121－x的单调递增区间为()A．(－∞，＋∞)B．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0,1)解析：定义域为R.设u＝1－x，y＝12u，∵u＝1－x在R上为减函数，又∵y＝12u在(－∞，＋∞)上为减函数，∴y＝121－x在(－∞，＋∞)上是增函数，故选A.答案：A3．设23－2x0.53x－4，则x的取值范围是________．解析：23－2x0.53x－4⇒23－2x24－3x⇒3－2x4－3x⇒x1.答案：{x|x1}4．函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a的值．解析：当a1时，f(x)＝ax为增函数，在x∈[1,2]上，f(x)最大＝f(2)＝a2，f(x)最小＝f(1)＝a，∴a2－a＝a2，即a(2a－3)＝0，∴a＝0(舍)或a＝321，∴a＝32.当0a1时，f(x)＝ax为减函数，在x∈[1,2]上，f(x)最大＝f(1)＝a，f(x)最小＝f(2)＝a2.∴a－a2＝a2，∴a(2a－1)＝0，∴a＝0(舍)或a＝12，∴a＝12.综上可知，a＝12或a＝32.与指数函数有关的定义域、值域问题求下列函数的定义域与值域：(1)y＝31x－1；(2)y＝12x2－4x.由题目可获取以下主要信息：①所给函数与指数函数有关；②定义域是使函数式有意义的自变量的取值集合，③值域是函数值的集合，依据定义域和函数的单调性求解.[解题过程](1)∵x－1≠0，∴x≠1，∴函数y＝31x－1的定义域为{x|x≠1}，又∵1x－1≠0，∴y≠30＝1.∴函数的值域为{y|y0且y≠1}，(2)函数的定义域为R∵x2－4x＝(x－2)2－4≥－4，y＝12x在R上是减函数∴012x2－4x≤12－4＝16.∴函数的值域为(0,16]．[题后感悟]对于y＝af(x)这类函数，(1)定义域是指只要使f(x)有意义的x的取值范围(2)值域问题，应分以下两步求解：①由定义域求出u＝f(x)的值域；②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域．1.求下列函数的值域．(1)y＝131x－1；(2)y＝2x2－4x.解析：(1)∵x－1≠0，∴x≠1∴函数定义域为{x|x≠1}．∵1x－1≠0，∴131x－1≠130＝1∴函数值域为{y|y0且y≠1}．(2)函数定义域为R，∵x2－4x＝(x－2)2－4≥－4，又∵y＝2x在R上是增函数，∴2x2－4x≥2－4＝116.∴函数值域为[116，＋∞)．求函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域．解答本题可以看成关于2x的一个二次函数，故可令t＝2x，利用换元法求值域.[解题过程]函数定义域为R.令2x＝t(t0)，则y＝4x＋2x＋1＋1＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2.∵t0，∴t＋11，∴(t＋1)21，∴y1，∴值域为{y|y1，y∈R}．[题后感悟]如何求形如y＝b(ax)2＋c·ax＋d的值域？①换元，令t＝ax；②求t的范围，t∈D；③求二次函数y＝bt＋ct＋d，t∈D的值域．2.已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2·3x＋1－9x的值域．解析：f(x)＝3＋2·3x＋1－9x＝－(3x)2＋6·3x＋3.令3x＝t，则y＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12.∵－1≤x≤2，∴13≤t≤9.∴当t＝3，即x＝1时，y取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，y取得最小值－24，即f(x)的最大值为12，最小值为－24.∴函数f(x)的值域为[－24,12]．◎求函数y＝14x＋12x＋1的值域．【错解】令t＝12x，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝t＋122＋34≥34，当t＝－12时，ymin＝34，即函数的值域是[34，＋∞)．【错因】原函数的自变量x的取值范围是R，换元后t＝12x0，而不是t∈R，错解中，把t的取值范围错当成了R.【正解】令t＝12x，t∈(0，＋∞)，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝t＋122＋34.因为函数y＝t＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数，所以y0＋122＋34＝1，即原函数的值域是(1，＋∞).与指数函数有关的图象问题利用函数f(x)＝12x的图象，作出下列各函数的图象：(1)f(x－1)；(2)－f(x)；(3)f(－x)．作出f(x)＝12x的图象―→明确f(x)与f(x－1)，－f(x)，f(－x)图象间的关系―――→利用图象变换规律分别得出图象．指数函数单调性的应用比较下列各组数的大小(1)1.8－π与1.8－3；(2)1.7－0.3与1.9－0.3；(3)0.80.6与0.60.8；(4)4313，－233，3412.[规范作答](1)构造函数f(x)＝1.8x，∵a＝1.81，3分∴f(x)＝1.8x在R上是增函数．∵－π－3，∴1.8－π1.8－3.(2)方法一：∵1.7－0.31.9－0.3＝1.71.9－0.31.71.90＝1(∵y＝1.71.9x在R上是减函数)，又∵1.7－0.3与1.9－0.3都大于0.∴1.7－0.31.9－0.3.方法二：在同一坐标系中作出y＝1.7x与y＝1.9x的图象，如图所示，再作直线x＝－0.3，与两图象分别交于A、B点，过AB分别作y轴的垂线，垂足对应点分别为1.7－0.3,1.9－0.3，由图象知1.7－0.31.9－0.3.6分(3)取中间值0.80.8，∵y＝0.8x在R上单调递减，而0.60.8，∴0.80.60.80.8.又∵0.80.80.60.8＝0.80.60.80.80.60＝1，且0.60.80，∴0.80.80.60.8.∴0.80.60.60.8.9分(4)∵－2330，4313430＝1，3412340＝1，∴－23334124313.12分[题后感悟]比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较．1、已知下列不等式，比较m、n的大小。①2m2n②0.2m0.2n③aman(a0且a≠1)解：①mn②mn③当a1时，mn,当0a1时mn练习313232323132323231313232212131)(212131)(312121)(213121)()(,.2DCBA正确的是下列不等式中解:D32323221312131增函数且xy31322121313221是减函数且xy第17张4.比较下列各组数的大小：(1)56－0.24与(56)－14；(2)(1π)－π与1；(3)(0.8)－2与(54)－12.解析：(1)考察函数y＝56x.∵0561，∴函数y＝56x在(－∞，＋∞)上是减函数．又－0.24－14，∴56－0.2456－14.(2)考察函数y＝1πx.∵01π1，∴函数y＝1πx在(－∞，＋∞)上是减函数．又－π0，∴1π－π1π0＝1.(3)先考察函数y＝0.8x.∵00.81，∴函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上是减函数．又－20，∴0.8－20.80＝1.再考察函数y＝54x.∵541，∴函数y＝54x在(－∞，＋∞)上是增函数．又－120，∴54－12540＝1.综上可知0.8－254－12.5．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a、b、c的大小关系是()A．abcB．bacC．cbaD．cab解析：1.20.81.20＝1，0．80.90.80.70.80＝1∴bac，故选D.答案：D[解题过程]作出f(x)＝12x的图象，如图所示：(1)f(x－1)的图象：需将f(x)的图象向右平移1个单位得f(x－1)的图象，如下图(2)－f(x)的图象：作f(x)的图象关于x轴对称的图象得－f(x)的图象，如图(1)(3)f(－x)的图象：作f(x)的图象关于y轴对称的图象得f(－x)的图象，如图(2)[题后感悟]利用熟悉的函数图象作图，主要运用图象的平移、对称等变换，平移需分清楚向何方向移，要移多少个单位，如(1)(2)；对称需分清对称轴是什么，如(3)(4)．3.函数y＝13|x|的图象有什么特征？你能根据图象指出其值域和单调区间吗？解析：因为|x|＝xx≥0－xx0.故当x0时，函数为y＝13x；当x0时，函数为y＝13－x＝3x，其图象由y＝13x(x≥0)和y＝3x(x0)的图象合并而成．而y＝13x(x0)和y＝3x(x0)的图象关于y轴对称，所以原函数图象关于y轴对称．由图象可知值域是(0,1]，递增区间是(－∞，0]，递减区间是[0，＋∞)．与指数函数有关的单调性问题求下列函数的单调区间：(1)y＝ax2＋2x－3；(2)y＝10.2x－1.利用复合函数的单调规律求之.[解题过程](1)设y＝au，u＝x2＋2x－3.由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4知，u在(－