2.2.2《间接证明-反证法》课件(新人教选修2-2).

2.2.2间接证明---------反证法一.复习1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：综合法:分已知条件⇒⇒⇒结论结析法:论已知条件由因导果执果索因3、在实际解题时，两种方法如何运用？（1）通常用分析法提供思路，再由综合法写过程（2）“两边凑”综合分析法练习二.练习思考？A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？假设C没有撒谎,则C真;由A假,知B真.那么假设“C没有撒谎”不成立;则C必定是在撒谎.那么A假且B假;这与B假矛盾.推出矛盾.推翻假设.原命题成立.分析:由假设反证法反证法：假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而间接证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。反证法的思维方法：正难则反把这种不是直接证明的方法称为间接证明（indirectproof）.注：反证法是最常见的间接证法•请你概括反证法的证明过程：•否定结论——推出矛盾——肯定结论，•即分三个步骤：反设—归谬—存真反设－－假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真.归谬－－从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果.存真－－由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.•请你概括反证法的证明过程：•否定结论——推出矛盾——肯定结论，•即分三个步骤：反设—归谬—存真归谬矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与反设矛盾；（3）与已有公理、定理、定义矛盾；（4）自相矛盾。应用反证法的情形：(1)直接证明比较困难;(2)直接证明需分成很多类,而对立命题分类较少;（3)结论有“至少”,“至多”,“有无穷多个”之类字样（4）结论为“唯一”之类的命题；例1：若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6，求证：a，b，c至少有一个大于0.假设a，b，c三个数均不大于0证明：即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，222222236abcxyyzzx又＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.0与假设矛盾，所以假设不成立．故原命题成立即a，b，c至少有一个大于0.解题反思：•证明本题时，你是怎么想到反证法的？•反设时应注意什么？•反证法中归谬是核心步骤，本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？例1：若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6，求证：a，b，c至少有一个大于0.例2：用反证法证明：如果ab0，那么ab证明假设不大于则：ab，ab（）当时则1a=b，a=b,与已知ab矛盾,（）当时2ab与已知ab矛盾,故假设不成立，结论ab成立。因为b0,a0所以aabb即0ab例2：用反证法证明：如果ab0，那么ab•解题反思：证明该问题的关键要注意什么？本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？（1）必须先否定结论，对于结论的反面出现多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的。•解题反思：用反证法证题要把握三点：三维P49（2）反正法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法（3）推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定理、公里相违背等，但推导出的矛盾必须是明显的。例3：求证：两条相交直线有且只有一个交点．[证明]设两直线为a、b，假设结论不成立，即有两种可能：无交点；不只有一个交点．(1)若直线a，b无交点，那么a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾；(2)若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点设为A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．故假设不成立，原命题正确．即两条相交直线有且只有一个交点本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？例4求证：是无理数。2证：假设2是有理数，m则存在互质的整数m，n使得2=，n∴m=2n22∴m=2n2∴m是偶数，从而m必是偶数，故设m=2k（k∈N）2222从而有4k=2n，即n=2k2∴n也是偶数，这与m，n互质矛盾！所以假设不成立，2是有理数成立。从而数n也是偶，.,,.,、事实矛盾等或与定义、公理、定理假设矛盾或与条件矛盾这个矛盾可以是与已知理下得出矛盾的推反证法的关键是在正确由上面的例子可以看出!,.,,)(:,全局拱手让予对方数学家索性把或顶多一子棋对奕者不外牺牲一卒象它还要高明势的让棋法局时牺牲一子以取得优比起象棋开武器是数学家最有力的一件反证法归谬法赞它数学家哈代曾经这样称国近代英问题的有力工具疑难反证法常常是解决某些.,.)(,用及应用进一步了解反证法的作己查找相关书籍感兴趣的同学可以自就采用了反证法的证明个质数有无限多如数史上有许多经典证明事实上例5、设a3+b3=2，求证a+b≤2证明：假设a+b2，则有a2－b，从而a38－12b+6b2－b3，a3+b36b2－12b+8=6(b－1)2+2.因为6(b－1)2+2≥2，所以a3+b32，这与题设条件a3+b3=2矛盾，所以，原不等式a+b≤2成立。练习.已知四面体S－ABC中，SA⊥底面ABC，△ABC是锐角三角形，H是点A在面SBC上的射影．求证：H不可能是△SBC的垂心．ABCHDS•解题反思：证明该问题的关键是哪一步？本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类？•一、选择题•1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()•①结论相反判断，即假设②原命题的结论•③公理、定理、定义等④原命题的条件•A．①④B．①②③•C．①③④D．②③•[答案]C•[解析]由反证法的规则可知①③④都可作为条件使用，故应选C.•2．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()•A．两个内角是直角•B．有三个内角是直角•C．至少有两个内角是直角•D．没有一个内角是直角•[答案]C•[解析]“最多只有一个”即为“至多一个”，反设应为“至少有两个”，故应选C.•3．如果两个实数之和为正数，则这两个数()•A．一个是正数，一个是负数•B．两个都是正数•C．至少有一个正数•D．两个都是负数•[答案]C•[解析]假设两个数都是负数，则两个数之和为负数，与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.归纳总结：1.哪些命题适宜用反证法加以证明？•笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法；•具体地讲，当所证命题的结论为否定形式或含有“至多”、“至少”等不确定词，此外，“存在性”、“唯一性”问题.2.归谬是“反证法”的核心步骤，归谬得到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？•归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾，或与已知条件、临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形.证:假设这两个方程都没有实根,则△10且△20,从而有:△1+△20.又∵△1+△2=(p12-4q1)+(p22-4q2)=p12+p22-4(q1+q2)=p12+p22-2p1p2=(p1-p2)2≥0,与△1+△20矛盾.即△1+△2≥0,∴假设不成立.故这两个方程至少有一个有实根.4.若p1p2=2(q1+q2),证明关于x的方程x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.练习，P教材914.设三个正数a,b,c满足条件++=2,求证:a,b,c中至少有两个不小于1.b1a1c1①a,b,c三数均小于1,证:假设a,b,c中至多有一个数不小于1,这包含两种情况:即0a1,0b1,0c1,则:与已知条件矛盾;1,1,1,b1a1c1∴++3,b1a1c1也与已知条件矛盾.②a,b,c中恰有两数小于1,不妨设0a1,0b1,而c≥1,则1,1,b1a1c1∴++2+2,b1a1c1∴假设不成立.∴a,b,c中至少有两个不小于1.证:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全小于,即:12-1+a+b1212-4+2a+b1212-9+3a+b1212-a+b-①3212-2a+b-②9272-3a+b-③2192173212由①式得-a-b,与②式相加得-4a-2④与③式相加得-6a-4⑤9272由②式得-2a-b,显然④与⑤矛盾,∴假设不成立.故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.123.设f(x)=x2+ax+b,求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.12课堂练习1.已知abc0,求证:三个方程ax2+bx+=0、bx2+cx+=0与a4c4cx2+ax+=0中至少有一个方程有实数根.b42.对于函数f(x)=x2+ax+b(a,bR),当x[-1,1]时,|f(x)|的最大值为M,求证:M≥.123.方程x2-mx+4=0在[-1,1]上有解,求实数m的取值范围.1.证:设三个方程的判别式分别为△1,△2,△3,由△1+△2+△3=b2-ac+c2-ba+a2-cb=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥012即△1+△2+△3≥0.故所述三个方程中至少有一个方程有实数根.∴△1,△2,△3中至少有一个非负.2.对于函数f(x)=x2+ax+b(a,bR),当x[-1,1]时,|f(x)|的最大值为M,求证:M≥.12|f(-1)|=|1-a+b|.12证:假设M,则|f(1)|=|1+a+b|,|f(0)|=|b|,121212121212∴|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|+2+=2,即|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|2.①又∵|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|≥|(1+a+b)-2b+(1-a+b)|=2,即|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|≥2,与①式矛盾.∴假设不成立.12∴M≥.3.方程x2-mx+4=0在[-1,1]上有解,求实数m的取值范围.解:先考虑x2-mx+4=0在[-1,1]上无解时m的取值范围.包含两种情况:①方程x2-mx+4=0无实数解;②方程有实数解,但解不在[-1,1]上.设f(x)=x2-mx+4,则①等价于△=m2-16＜0;②等价于:△≥0;-1;2mf(-1)0.△≥0;1;2mf(1)0.或-1≤≤1;△≥0;2mf(-1)0;f(1)0.或解得实数m取值的集合A=(-5,5).故所求实数m的取值范围是:CRA=(-∞,-5]∪[5,+∞).1.若a≠0，证明：x的方程ax=b有且只有一个根.2.证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.4.已知:0a1,0b1,0c1，1求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于.4练习1()(1)()12(2)()()();(3)()111.().4fxffxyfxfyfxfx已知函数满足下列条件：的值域为－，试证明：不在的定义域内3.2.设a,b是异面直线，在a上任取两点A,C，在b上任取两点B,D，试证：AB和CD也是异面直线.ADBCab用反证法证明命题“若p则q”的过程用框图表示为：肯定条件p否定结论q导致逻辑矛盾“p且非q”为假“若p则q”为真反证法的基本步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成-------立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结------论正确归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。[例2]设f(x)＝x2＋bx＋c，x∈[－1,1]，证明：b－2时，在其定义域范围内至少存在一个x，使|f(x)|≥12成立．•[分析]本题中，含有“至少存在一个”词，可考虑使用反证法．[证明]假设不存在x∈[－1,1]上一个x满足|f(x)|≥12.则对于x∈[－1,1]上任意x，都有－12f(x)12成立．当b－2时，其对